Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(4) г) Решение этой задачи можно применить также к прохоисдению в достаточной близости к вершине любого барьера У (х), квадратично зависящего от к вблизи своего максимума. Р) Ооход же через нижнюю палупласкасть для определении А был бы ие. пригоден, так как иа участке пути ( — л < ср ( — л/2), примыкающем к его лсааму краю (где ф дается формулой (2)), член с ехр (газ/2) экспоненциальиа мал па сравнению с членом с ехр ( — Щ2). (гл. чн квдзиклдссическип случая 226 Иэ (3) н (4) находнм нсхомый коэффнцнент прохождения 1 0 !В!э= 1 ! е — эае' Эта формула справедлива прв любых Е. Если энергия отрицательна н велика по абсолютной величине, получаем 0 ан е э"1'1 в согласна с формулой (50,5), И в Е > О величина Р ! )т = ! — !7= 1 + еэпе есть коэффициевт надбарьерного отражения.
й 5!. Вычнслеине.квазикласснческнх матричных алементов Непосредственное вычисление матричных элементов какой-либо физической величины 7" с помощью квазнклассических волновых функций представляет большие трудности. Мы предполагаем, что ' энергнн состояний, для перехода между которыми вычисляется матричный элемент, не близки друг к другу, так что последний не сводится к компоненте Фурье от величины 7 ($ 48). Трудности связаны с тем, что в силу экспоненциального (с 1 большой мнимой экспонентой) характера волновых функций, подынтегральное выражение оказывается быстро осцнллируеа ег ющей величиной. Рис. !7 Будем рассматривать одномерный слу- чай (двнженне в поле У (х)) н предположим для простоты, что оператор физической величины 7 есть просто функция координаты х.
Пусть ф, и фэ — волновые функцни, соответствующие некоторым значенням Е, и Е, энергии частицы (причем Е, ) Е„рис. 17); будем считать, чтоф„фэвыбраны вещественнымн. Мы должны вычислить интеграл + (гэ = ) фэ(фэс(х. (51,1) О Согласно (47,5) волновая функция ф, в областях по обе стороны от точки поворота х а, (в достаточном удалении от нее) имеет вид к (,,„~) г Р'! л, 1 (51,2) с, /(г при х)а,: эр ==сов~ — ~~р с(х — — ~ а, н аналогично для фэ (с заменой индекса 1 ннденсом 2).
4 Ы! ВЫЧИСЛЕНИЕ КВАЗИКЛАССИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ 227 Однако вычисление интеграла (5!,1) путем подстановки в него этих аснмптотических выражений для волновых функций дало бы неправильный результат. Дело в том, что, как мы увидим ниже, этот интеграл является экспоненциально малой величиной, между тем как подынтегральная функция сама по себе не мала, Поэтому уже относительно малое изменение последней изменяет, вообще говоря„порядок величины интеграла.
Эта трудность может быть обойдена следующим образом. Функцию ф, представим в виде суммы фз = фз + фз, разложив косинус (в области х > а,) на сумму двух экспоненциальных выражений. Согласно (50,2) будем иметь к + ~Се " -" '= — -Ч'"~) 2 )г( р„~ (51,3) + с, Ь г ья пРи х>аз. фз ==ехР~ — ) Р,бх — — )! 4)' а~ функция ~, комплексно сопряжена с фз (фз = (фг)*). Интеграл (5!,1) тоже разобьется на сумму двух комплексно сопРЯженных интегРалов, 1м — — 1м -!-11ь вычислением котоРых мы и займемся.
Предварительно заметим, что интеграл +Ф 11'з = ) Ччйг ~(х сходится. Действительно, хотя функция фз в области х < ав экспоненциально возрастает, но зато функция ф, в области х < а, еще быстрее экспоненциально убывает (поскольку везде в области х < а, имеем ) р,( > ~ р, 1). Будем рассматривать координату х как комплексную переменную и сместим путь интегрирования с вещественной осн в верхнюю полуплоскость.
Когда х получает положительное мнимое приращение, в функции ф1 (в области х > а,) появляется возрастающий член, но зато функция ай убывает быстрее, так как везде в области х > а, имеем р, > в,. Поэтому подынтегральное выражение убывает. Смещенный путь интегрирования не проходит уже через точки х = аи а, на вещественной оси, вблизи которых квазиклассическое приближение неприменимо. Поэтому на всем пути можно пользоваться для ф, и ф функциями, являющимися их асимптотическими выражениями в верхней полуплоскости. Это будут (гл Уп КВАЗИКЛАССИЧВСКИИ СЛУЧАЙ 228 фуиКЦИИ к ,, ехр~ — ) 1) 2т([! — Ер)г[х (1г 2 [2т (У вЂ” Е)1[)1~ (5[,4) р1- *р( — — ) !'р )а — а.)р*).
— !С, 1 Г 2 [2 (У Е )[)!4 а, где корни определяются так, что на вещественной оси в области х < а они положительны. В интеграле к ! „.— ''[ ар[ — „')Ур )и — р)д* — ', 4 Р 2)и а, — — ~Р) 2л)((/ — Еа) дх (к) " (5[,5) а / [(У вЂ” Е,) (У вЂ” Е,)[)ур поставим себе целью сместить путь интегрирования таким образом, чтобы, по возможности, уменьшить экспоненциальный множитель. Экспонента имеет экстремум лишь в точках, где 0 (х) = о (при Е, чь Е, ее производная по х не обращается в нуль нн в каких других точках). Поэтому смещение контура интегрирования в верхнюю полуплоскость ограничивается лишь необходимостью обходить особые точки функции 0 (х); согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений они совпадают с особыми точками волновых функций ф (х). Конкретный выбор конРис. 18 тура зависит от конкретного вида поля (! (х).
Так, если функция [р' (х) имеет в верхней полуплоскости всего одну особую точку х = х„ то интегрирование можно производить по пути изображенного на рис. !8 типа. Главную роль в интеграле играет непосредственная окрестность особой точки, так что искомый матричный элемент !)и = 2[[е ()и в основном пропорционален экспоненциально малому выражению, которое можно представить в виде кр *![ в †„ ! [1 ь'2 )и, — а)р* — 1 ч 2 )е, — а)р*)) 1 (5[,6) $ Е13 ВЫЧИСЛЕНИЕ КВАЗИКЛАССИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ 229 (Л. Д. Ландау, 1932) '). В качестве нижних пределов интегралов можно выбрать любые точки в классически доступных областях; конкретный их выбор не влияет, очевидно, на мнимую часть интегралов.
Если функция У (к) имеет несколько особых точек в верхней полуплоскости, то в качестве х, в (51,6) надо выбрать ту, для которой экспонента имеет наименьшее по абсолютной величине значение '). Формула (51,6) упрощается в случае, когда энергии Е, и Е, близки, так что матричный элемент сводится, согласно результатам 2 48, к компоненте Фурье по времени классической величины 1 [х (1)]. Полагая Е,л = Е Е " и разлагая по йюм, получаем 2 р( — „! ]1' ь)= *р( — „2 1.
(52,6) г 2 (П вЂ” (/) Величину кч кт 2(Š— (У) ) о(х) можно рассматривать как комплексное время, за которое частица достигает точки х, в комплексной плоскости к. (Величина же ° I 2 ( — (У (к)) п (х) = г(г " есть соответствующаЯ «комплекснаЯ скот росты.) Легко убедиться в том, что (51,6а) действительно дает приближенное выражение для компоненты Фурье ( [х (1)] при условии юэт 1гп т )) !. Вычисление квазикласснческих матричных элементов для движения в центрально-симметричном поле производится тем же способом. Однако под У (г) надо теперь понимать эффективную потенциальную энергию (сумма потенциальной н центробежной энергий), н для состояний с различными значениями 1 она будет различной. Имея в виду дальнейшие применения излагаемого метода, будем писать эффективные потенциальные энергии в двух состояниях в общем виде, как некоторые У, (г) и У, (г).
Тогда показатель экспоненциального множителя в подынтегральном ') Произведенная при выводе (51,5) — (51,6) замена волновых функций вх асимптотическнми выражениями законна, поснольку порядок величины интеграла, взятого по нзображеииоиу иа рис. !8 контуру, определяется порядком величины подынтегрального выражения, и потону относительно малое изменение последнего ие имеет существенного влияния на значение интеграла. з) Мы предполагаем, что сама величина /(к) особых точек ие имеет. Отметки также, что оценка (51,6) для матричного элемента предполагает «нормальный» порядок величины прелэкспоненцаальиого множителя. Возможна, конечно, ситуация, когда этот множитель аномально мал в салу специфики задачи.
Простейшим примером является 1(к) = сопз1. В этом случае матричный элемент равен нулю кз-за ортогональностн волновых функций, что не видно из выражения (51,6). (гл. нм квлзиклдссичаскин слнчди выражении в (51,5) будет, иметь экстремум не только в точках, где (гг (г) или Ук (г) обращаются в бесконечность, но, еще и в точках, где (уев — (7 (г) = Ея — Ег, (Я,7) Поэтому в формуле !»» »» р[ — »» [!» 2»г; — с~о — 1~» ~Е,— К\к )) 1 (51,8) среди конкуриругощих значении г, надо иметь в виду не только особые точки Уг (г) и Уз (г); но и корни уравнения (51,7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
