Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 41
Текст из файла (страница 41)
т) Переход же в обратном направлении теряет смысл в том отношеннн, что уже небольшое изменение волновой функцнн справа в (47,5) может прнвестн к появлению вкспоненцнально возрастаюжего члена в фупкцнн слева. а) В классической меканнке в таком поле частица совершала бы перкодвческое двнженне с периодом (время дввження от точки Ь до а н обратно) а а Т=2) — =2а )— Р ь (о скорость частжш). 1гл. Ун КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ 2!О а ! г и ) р1(х — — = пп 2 ь (причем С = ( — 1)" С').
Отсюда ! е 1 — б1рдх = и+— 2пву' 2' (48,2) а где интеграл ~ р е(х = 2 ) р ах взят по полному периоду классиь ческого движения частицы. Это и есть условие, определяющее в квазиклассическом случае стационарные состояния частицы. Оно соответствует правилу кванпювания Бора — Зоммер!Ьельда старой квантовой теории 1 .Г Величина 7 = — у р дх называется адиабатическим инва2п 9 риангпом (см. 1, 5 49), так что условие квантования (48,2) можно записать как 7 (Б) = й (и + 'I ) В 5 41 уже упоминалось, что при достаточно медленном, «адиабатическом», изменении параметров система остается в том же квантовом состоянии, в данном случае в состоянии с некоторым и.
Мы видим, что в квазиклассическом пределе это утверждение совпадает с классической теоремой о постоянстве адиабатического инварианта при медленном изменении параметров. Легко видеть, что целое число и равно числу нулей волновой функции, а потому есть порядковый номер стационарного состояния. Действительно, фаза волновой функции (48,1) растет от — и!4 в точке х = Ь до (и + †) и в точке х = а, так что ко. ! Согласно правилу (47,5) граничное условие в точке х = Ь приводит (в области справа от нее) к волновой функции С 1!с и »р = =сов — ) рдх —— — ~а 3 4 (48 1)' в 3 Применив это же правило к области слева от точки х *= а, получим ту же волновую функцию в виде а С' ! 1 Г я ф = = соз — ) р дх — — .
к Для того чтобы эти два выражения совпадали во всей области, сумма их фаз (которая есть величина постоянная) должна быть целым кратным от и! 4 4Р! ПРАВИЛО КВАНТОВАНИЯ бОРА ЗОММВРФЯЛЬДА 2(! ь где оз .= 2п!Т вЂ” частота классического периодического движения.
Таким образом, нормированная квазиклассическая функция а ч/2ю 1 Г ф = ~l — соз — ) рдх —— '(, а .') 4 /' ь (48,3) Следует помнить, что частота ю — функция энергии и, вообще говоря, различна для разных уровней. Соотношение (48,2) можно истолковать еще и другим образом. Интеграл ~ р г(х есть площадь, охватываемая замкнутой классической фазовой траекторией частицы (т. е.
кривой в плоскости р, х — фазовом пространстве частицы). Разделив эту площадь на клетки площадью 2пй каждая, мы получим всего п клеток. Но и есть число квантовых состояний с энергиями, не превышающими заданного ее значения (соответствующего рассматриваемой фазовой траектории). Таким образом, мы можем сказать, что в квазиклассическом случае каждому квантовому состоянию соответствует клетка в фазовом пространстве площадью 2па.
Иначе, !) Строго говоря, подсчет числа нулей должен производиться с учетом точного вида волновой функции вблизи точек поворота-. Такое исследование подтверждает указанный результат. я) В иеноторых случаях точное выражение для уровней энергии Е (л) (кан функции квантового числа и), получающееся из точного уравнения Шредингера, таково, что при л - аа оно сохраняет свой вид; примерами явлнются уровни энергии в кулоновом поле и уровни энергии гармонического осциллятора. Естественно, что в этик случаях правило квантования (48,2), применимое прн боль. ших л, дает для функции Е (л) выражение, совпадающее с точным. синус обращается в этом интервале в нуль л раз (вне интервала Ь ( к ( а волновая функция затухает монотонно, не имея нулей на конечных расстоя пня х) ').
Согласно сказанному выше в квазиклассическом случае число л велико. Подчеркнем, однако, что сохранение члена 1/2 рядом с и в (48,2) тем не менее законно: учет следующих поправочных членов в фазе волновых функций привел бы к появлению в правой стороне (48,2) лишь членов -А/!'., Малых по сравнению с 1 (см. замечание в конце 2 46) '). Для нормировки волновой функции достаточно интегрировать ) ф (а лишь в интервале Ь < х ( а, так как вне его ф (и) экспоненцпально затухает.
Поскольку аргумент косинуса в (48„1) есть быстро меняющаяся функция, можно с достаточной точностью заменить квадрат. косинуса его средним значением, т. е. !!2. Тогда получим (гл. чп КВАЗИКЛАССИЧВСКИЙ СЛУЧАЙ число состояний, отнесенное к элементу объема Ьр Лх фазового пространства, есть (48,4) Если ввести вместо импульса волновой вектор й = р/й, то это число напишется, как М Ьх(2п. Оно совпадает, как и следовало ожидать, с известным выражением для числа собственных колебаний волнового поля (см.
П, 5 52). Исходя из правила квантования (48,2) можно выяснить общий характер распределения уровней в энергетическом спектре. Пусть ЬЕ есть расстояние между двумя соседними уровнями, т. е. уровнями с отличающимися на единицу квантовыми числами и. Поскольку ЬЕ мало (при больших п) по сравнению с самой энергией уровней, то на основании (48,2) можно написать Ь Е ~у — ((х 2лй. .('.
др '3'дЕ Но дЕ(др = и, так что (~) Е ох =(~) — = Т. Поэтому получаем ЛЕ= — й = йа. 2л т (48,5) Таким образом, расстояние между соседними уровнями оказывается равным йа. Для целого ряда соседних уровней (разность номеров и которых мала по сравнению с самими и) соответствующие частоты а можно приближенно считать одинаковыми. Поэтому мы приходим к выводу, что в каждом небольшом участке квазиклассической части спектра уровни расположены эквидистантно, через одинаковые интервалы йа. Этот результат, впрочем, можно было ожидать заранее, так как в квазиклассическом случае частоты, соответствующие переходам между различными уровнями энергии, должны быть целыми кратными классической частоты в.
Представляет интерес проследить, во что переходят в классическом пределе матричные элементы какой-либо физической величины (. Для этого исходим из того, что среднее значение г в некотором квантовом состоянии в пределе должно перейти просто в классическое значение этой величины, если только само состояние в пределе дает движение частицы по определенной траектории. Такому состоянию соответствует волновой пакет (см. З 6), получающийся суперпозицией ряда стационарных со- л вв! пРАВилО кВАнтОВАния БОРА — ЗОммеРФальдА З1З стояний с близкими значениями энергии. Волновая функция такого состояния имеет вид Чт = ~~ а„Чт„, л где коэффициенты а„заметно отличны от нуля только в некотором интервале Ап значений квантового числа н — таком, что ! (( Ап (( дк числа а предполагаются большими соответственно квазнклассичиости стационарных состояний.
Среднее значение 1 равно, по определению, ~ = ~ Ч'*~Чтох =,~~ ~', а' а4 „еьв ', или, заменив суммирование по и, тп суммированием по и и разности з = т — и: ч' а ивм , ~~ а„'+,а„1„+, „е где написано Вт „= звт в соответствии с (48,5). Матричные элементы ~„, вычисленные с помощью квазиклассических волновых функций, быстро падают по величине с увеличением разности и — и, являясь в то же время медленно меняющимися функциями самого числа п (при заданном ш — л). Ввиду этого приближенно можно написать г = ~ ~' а,",а„(,е~ " = ~ ( а„1~ ~' (,е'"", где введено обозначение 1в =~Аль л, а й — некоторое среднее значение квантового числа в интервале Ап.
Но ~~ (а„(в = 1; поэтому 1= ~,~е"*'. Получившаяся сумма имеет вид обычного ряда Фурье. Поскольку ~ должно в пределе совпадать с классической величиной ~ (1), то мы приходим к результату, что матричные элементы в пределе переходят в компоненты ~ „разложения классической функции )'(т) в ряд Фурье. Аналогично, матричные элементы для переходов между состояниями непрерывного спектра переходят в компоненты разложения ~(1) в интеграл Фурье. При этом волновые функции стационарных состояний должны быть нормированы на 6-функцию от энергии, деленной на й. [гл, ум КВАЭИКЛАССИЧВСКИЙ СЛУЧАЙ 214 Все изложенные результаты непосредственно обобщаются на системы со многими степенями свободы, совершающие финнтное движение, для кспорого механическая (классическая) задача допускает полное разделение переменных в методе Гамильтона— Якоби (так называемое условно-периодическое движение„см.
), 2 62). После разделения переменных для каждон степени свободы задача сводится к одномерной и соответствующие условия квантования имеют вид ф Р! «й)! = 2пй (пг + 7!), (48,6) й))г Дог аоааР« АР« (2на)» (48,7) квантовых состояний '), Задачи 1. Определить (приближенно) число дискретных уровней энергии частицы, двнжушейся в поле Ьг (г], удовлетворяюшем условию нвазикласснчиости. х) Так, для движения в центрально-симметричном поле Рг Лг = 2нд (нг + ) г $ Раав=2нд(1 — гл+ — ).
$Реб%=2 а ! (где л, =- и — 1 — 1 — радиальное квантовое число). Последнее равенство свя вано пРосто с тем, что Ре есть Я-компонента момента. РавнаЯ йп. е) См. з. и. К«11«г, йппа!з о) Рьуз!сз 4, !80 (1958). з) В частности, йля одной частицы оер/(2па)э есть число состояний, прико дяшихся на интервал г)»Р значений импульса в единичном объеме пространства. Этны объясняется совпадение двум истолкований нормировки плоской волны (!5,8), отмеченное в примечании на стр. 54. где интеграл берется по периоду изменения обобщенной координаты г)1, а уг — число порядка единицы, зависящее от характера граничных условий для данной степени свободы '), В общем случае произвольного (не условно-периодического) многомерного движения формулировка квазиклассических условий квантования требует более глубоких рассуждений ').
Понятие же о «клетках» в фазовом пространстве применимо (в квазиклассическом приближении) всегда в одинаковом виде. Это ясно из отмеченной выше его связи с числом собственных колебаний волнового поля в заданном объеме пространства. В общем случае системы с з степенями свободы на элемент объема фазового пространства приходится 215 кнлэиклдссцчвсков движвпив Р е ш е н и е. Число состояний, »приходящихся» нэ объем фазового про.
странстаа, соответствующий нмнульсам в интервале О к; р ~ р,„н коорди. натам частицы в элементе объема л'г', равно ап 3 (2па)э Прн заданном г частица может обладать (а своем классическом движении) р» импульсом, удовлетворяющим условию Е = — + У (г) ( О, Подстазляя 2п~ рм,„= )г — 2л»У (г), получим поюще число состояний дискретного спектра где интегрирование производится по той области пространства, а которой У ч.