Главная » Просмотр файлов » Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория)

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 41

Файл №1185132 Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu) 41 страницаЛандау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132) страница 412020-08-21СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 41)

т) Переход же в обратном направлении теряет смысл в том отношеннн, что уже небольшое изменение волновой функцнн справа в (47,5) может прнвестн к появлению вкспоненцнально возрастаюжего члена в фупкцнн слева. а) В классической меканнке в таком поле частица совершала бы перкодвческое двнженне с периодом (время дввження от точки Ь до а н обратно) а а Т=2) — =2а )— Р ь (о скорость частжш). 1гл. Ун КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ 2!О а ! г и ) р1(х — — = пп 2 ь (причем С = ( — 1)" С').

Отсюда ! е 1 — б1рдх = и+— 2пву' 2' (48,2) а где интеграл ~ р е(х = 2 ) р ах взят по полному периоду классиь ческого движения частицы. Это и есть условие, определяющее в квазиклассическом случае стационарные состояния частицы. Оно соответствует правилу кванпювания Бора — Зоммер!Ьельда старой квантовой теории 1 .Г Величина 7 = — у р дх называется адиабатическим инва2п 9 риангпом (см. 1, 5 49), так что условие квантования (48,2) можно записать как 7 (Б) = й (и + 'I ) В 5 41 уже упоминалось, что при достаточно медленном, «адиабатическом», изменении параметров система остается в том же квантовом состоянии, в данном случае в состоянии с некоторым и.

Мы видим, что в квазиклассическом пределе это утверждение совпадает с классической теоремой о постоянстве адиабатического инварианта при медленном изменении параметров. Легко видеть, что целое число и равно числу нулей волновой функции, а потому есть порядковый номер стационарного состояния. Действительно, фаза волновой функции (48,1) растет от — и!4 в точке х = Ь до (и + †) и в точке х = а, так что ко. ! Согласно правилу (47,5) граничное условие в точке х = Ь приводит (в области справа от нее) к волновой функции С 1!с и »р = =сов — ) рдх —— — ~а 3 4 (48 1)' в 3 Применив это же правило к области слева от точки х *= а, получим ту же волновую функцию в виде а С' ! 1 Г я ф = = соз — ) р дх — — .

к Для того чтобы эти два выражения совпадали во всей области, сумма их фаз (которая есть величина постоянная) должна быть целым кратным от и! 4 4Р! ПРАВИЛО КВАНТОВАНИЯ бОРА ЗОММВРФЯЛЬДА 2(! ь где оз .= 2п!Т вЂ” частота классического периодического движения.

Таким образом, нормированная квазиклассическая функция а ч/2ю 1 Г ф = ~l — соз — ) рдх —— '(, а .') 4 /' ь (48,3) Следует помнить, что частота ю — функция энергии и, вообще говоря, различна для разных уровней. Соотношение (48,2) можно истолковать еще и другим образом. Интеграл ~ р г(х есть площадь, охватываемая замкнутой классической фазовой траекторией частицы (т. е.

кривой в плоскости р, х — фазовом пространстве частицы). Разделив эту площадь на клетки площадью 2пй каждая, мы получим всего п клеток. Но и есть число квантовых состояний с энергиями, не превышающими заданного ее значения (соответствующего рассматриваемой фазовой траектории). Таким образом, мы можем сказать, что в квазиклассическом случае каждому квантовому состоянию соответствует клетка в фазовом пространстве площадью 2па.

Иначе, !) Строго говоря, подсчет числа нулей должен производиться с учетом точного вида волновой функции вблизи точек поворота-. Такое исследование подтверждает указанный результат. я) В иеноторых случаях точное выражение для уровней энергии Е (л) (кан функции квантового числа и), получающееся из точного уравнения Шредингера, таково, что при л - аа оно сохраняет свой вид; примерами явлнются уровни энергии в кулоновом поле и уровни энергии гармонического осциллятора. Естественно, что в этик случаях правило квантования (48,2), применимое прн боль. ших л, дает для функции Е (л) выражение, совпадающее с точным. синус обращается в этом интервале в нуль л раз (вне интервала Ь ( к ( а волновая функция затухает монотонно, не имея нулей на конечных расстоя пня х) ').

Согласно сказанному выше в квазиклассическом случае число л велико. Подчеркнем, однако, что сохранение члена 1/2 рядом с и в (48,2) тем не менее законно: учет следующих поправочных членов в фазе волновых функций привел бы к появлению в правой стороне (48,2) лишь членов -А/!'., Малых по сравнению с 1 (см. замечание в конце 2 46) '). Для нормировки волновой функции достаточно интегрировать ) ф (а лишь в интервале Ь < х ( а, так как вне его ф (и) экспоненцпально затухает.

Поскольку аргумент косинуса в (48„1) есть быстро меняющаяся функция, можно с достаточной точностью заменить квадрат. косинуса его средним значением, т. е. !!2. Тогда получим (гл. чп КВАЗИКЛАССИЧВСКИЙ СЛУЧАЙ число состояний, отнесенное к элементу объема Ьр Лх фазового пространства, есть (48,4) Если ввести вместо импульса волновой вектор й = р/й, то это число напишется, как М Ьх(2п. Оно совпадает, как и следовало ожидать, с известным выражением для числа собственных колебаний волнового поля (см.

П, 5 52). Исходя из правила квантования (48,2) можно выяснить общий характер распределения уровней в энергетическом спектре. Пусть ЬЕ есть расстояние между двумя соседними уровнями, т. е. уровнями с отличающимися на единицу квантовыми числами и. Поскольку ЬЕ мало (при больших п) по сравнению с самой энергией уровней, то на основании (48,2) можно написать Ь Е ~у — ((х 2лй. .('.

др '3'дЕ Но дЕ(др = и, так что (~) Е ох =(~) — = Т. Поэтому получаем ЛЕ= — й = йа. 2л т (48,5) Таким образом, расстояние между соседними уровнями оказывается равным йа. Для целого ряда соседних уровней (разность номеров и которых мала по сравнению с самими и) соответствующие частоты а можно приближенно считать одинаковыми. Поэтому мы приходим к выводу, что в каждом небольшом участке квазиклассической части спектра уровни расположены эквидистантно, через одинаковые интервалы йа. Этот результат, впрочем, можно было ожидать заранее, так как в квазиклассическом случае частоты, соответствующие переходам между различными уровнями энергии, должны быть целыми кратными классической частоты в.

Представляет интерес проследить, во что переходят в классическом пределе матричные элементы какой-либо физической величины (. Для этого исходим из того, что среднее значение г в некотором квантовом состоянии в пределе должно перейти просто в классическое значение этой величины, если только само состояние в пределе дает движение частицы по определенной траектории. Такому состоянию соответствует волновой пакет (см. З 6), получающийся суперпозицией ряда стационарных со- л вв! пРАВилО кВАнтОВАния БОРА — ЗОммеРФальдА З1З стояний с близкими значениями энергии. Волновая функция такого состояния имеет вид Чт = ~~ а„Чт„, л где коэффициенты а„заметно отличны от нуля только в некотором интервале Ап значений квантового числа н — таком, что ! (( Ап (( дк числа а предполагаются большими соответственно квазнклассичиости стационарных состояний.

Среднее значение 1 равно, по определению, ~ = ~ Ч'*~Чтох =,~~ ~', а' а4 „еьв ', или, заменив суммирование по и, тп суммированием по и и разности з = т — и: ч' а ивм , ~~ а„'+,а„1„+, „е где написано Вт „= звт в соответствии с (48,5). Матричные элементы ~„, вычисленные с помощью квазиклассических волновых функций, быстро падают по величине с увеличением разности и — и, являясь в то же время медленно меняющимися функциями самого числа п (при заданном ш — л). Ввиду этого приближенно можно написать г = ~ ~' а,",а„(,е~ " = ~ ( а„1~ ~' (,е'"", где введено обозначение 1в =~Аль л, а й — некоторое среднее значение квантового числа в интервале Ап.

Но ~~ (а„(в = 1; поэтому 1= ~,~е"*'. Получившаяся сумма имеет вид обычного ряда Фурье. Поскольку ~ должно в пределе совпадать с классической величиной ~ (1), то мы приходим к результату, что матричные элементы в пределе переходят в компоненты ~ „разложения классической функции )'(т) в ряд Фурье. Аналогично, матричные элементы для переходов между состояниями непрерывного спектра переходят в компоненты разложения ~(1) в интеграл Фурье. При этом волновые функции стационарных состояний должны быть нормированы на 6-функцию от энергии, деленной на й. [гл, ум КВАЭИКЛАССИЧВСКИЙ СЛУЧАЙ 214 Все изложенные результаты непосредственно обобщаются на системы со многими степенями свободы, совершающие финнтное движение, для кспорого механическая (классическая) задача допускает полное разделение переменных в методе Гамильтона— Якоби (так называемое условно-периодическое движение„см.

), 2 62). После разделения переменных для каждон степени свободы задача сводится к одномерной и соответствующие условия квантования имеют вид ф Р! «й)! = 2пй (пг + 7!), (48,6) й))г Дог аоааР« АР« (2на)» (48,7) квантовых состояний '), Задачи 1. Определить (приближенно) число дискретных уровней энергии частицы, двнжушейся в поле Ьг (г], удовлетворяюшем условию нвазикласснчиости. х) Так, для движения в центрально-симметричном поле Рг Лг = 2нд (нг + ) г $ Раав=2нд(1 — гл+ — ).

$Реб%=2 а ! (где л, =- и — 1 — 1 — радиальное квантовое число). Последнее равенство свя вано пРосто с тем, что Ре есть Я-компонента момента. РавнаЯ йп. е) См. з. и. К«11«г, йппа!з о) Рьуз!сз 4, !80 (1958). з) В частности, йля одной частицы оер/(2па)э есть число состояний, прико дяшихся на интервал г)»Р значений импульса в единичном объеме пространства. Этны объясняется совпадение двум истолкований нормировки плоской волны (!5,8), отмеченное в примечании на стр. 54. где интеграл берется по периоду изменения обобщенной координаты г)1, а уг — число порядка единицы, зависящее от характера граничных условий для данной степени свободы '), В общем случае произвольного (не условно-периодического) многомерного движения формулировка квазиклассических условий квантования требует более глубоких рассуждений ').

Понятие же о «клетках» в фазовом пространстве применимо (в квазиклассическом приближении) всегда в одинаковом виде. Это ясно из отмеченной выше его связи с числом собственных колебаний волнового поля в заданном объеме пространства. В общем случае системы с з степенями свободы на элемент объема фазового пространства приходится 215 кнлэиклдссцчвсков движвпив Р е ш е н и е. Число состояний, »приходящихся» нэ объем фазового про.

странстаа, соответствующий нмнульсам в интервале О к; р ~ р,„н коорди. натам частицы в элементе объема л'г', равно ап 3 (2па)э Прн заданном г частица может обладать (а своем классическом движении) р» импульсом, удовлетворяющим условию Е = — + У (г) ( О, Подстазляя 2п~ рм,„= )г — 2л»У (г), получим поюще число состояний дискретного спектра где интегрирование производится по той области пространства, а которой У ч.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6559
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее