Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 38
Текст из файла (страница 38)
При этом, однако, увеличивается и число неизвестных (импульсы электрона мемеду столкновениями), и легко сообразить, что при любом числе столкновений число не. известных будет превышать на три число уравнений. Поэтому для измерения импульса электрона необходимо привлечь, наряду с законом сохранения импульса, также и закон сохранения энергии в каждом столкновении. Последний, однако, может быть применен, как мы видели, лишь с точностью до величины порядка Й/И, где с»( — время между началом и концом рассматриваемого процесса.
Для упрощения дальнейших рассуждений удобно рассмотреть идеализированный мысленный эксперимент, в котором «измери. тельной частицей» является идеально отражающее плоское зеркало; тогда играет роль лишь одна компонента импульса, перпендикулярная к плоскости зеркала. Для определения импульса Р частицы законы сохранения импульса и энергии дают уравнения (гл. ш 196 твория Возмущений точно, т. е. их погрешности равны нулю. Тогда для погрешностей в остальных величинах имеем из написанных уравнений ЬР = ЬР', ) ЬЕ' — ЬЕ ! ~М ' Но ЬЕ = — ЬР=оЬР дЕ ор где и — скорость электрона (до столкновения), и аналогично ЬЕ' = о' ЬР' = и' ЬР.
Поэтому получаем )(и„' — о ) ЬР ) (44,5) Мы приписали здесь индексы х у скоростей н импульса, с целью подчеркнуть, что зто соотношение относится к каждой из их компонент в отдельности. Это и есть искомое соотношение. Оно показывает, что измерение импульса электрона (при заданной степени точности ЬР) неизбежно связано с изменением его скорости (т. е. и самого импульса). Это изменение тем больше, чем короче длится самый процесс измерения. Изменение скорости может быть сделано сколь угодно малым лишь при Ь( -» оо, но измерения импульса, длящиеся в течение большого времени, вообще могут иметь смысл лишь для свободной частицы. Здесь в особенности ярко проявляется неповторимость измерения импульса через короткие промежутки времени и «двуликая» природа измерения в квантовой механике — необходимость различать между измеряемым значением величины и значением, создаваемьш в результате процесса измерения ').
К приведенному в начале этого параграфа выводу, основанному на теории возмущений, можно подойти с другой точки зрения, применив его к распаду системы, происходящему под влиянием какого-либо возмущения. Пусть Е, есть некоторый уровень энергии системы, вычисленный при полном пренебрежении возможностью ее распада. Посредством т обозначим продолжительность жизни этого состояния системы, т. е. величину, обратную вероятности распада в единицу времени.
Тогда тем же способом найдем, что (Е, — Š— е~ й/т, (44,6) где Е, е — энергии обеих частей, на которые распалась система. Но по сумме Е + е можно судить об энергии системы до распада. ') Соотношенне (44,5), нан н выясненне физического смысла соотношения неопределенностн для анергнн, прннадленснт Н. Бору (1928), Поэтому полученное соотношение показывает, что энергия способной к распаду системы в некотором квоаистационарном состоянии может быть определена лишь с точностью до величины порядка гс/х. Эту величину обычно называют шириной Г уровня. Таким образом Г й/т. (44,7) й 45.
Потенциальная энергия как возмущение Особого рассмотрения заслуживает случай, когда в качестве возмущения может рассматриваться полная потенциальная энергия частицы во внешнем поле. Невозмущенное уравнение Шредингера есть тогда уравнение свободного движения частицы ЬЧвс1+ й'ф<с> = О, /с = = ~ (45,1) и и н имеет решениями плоские волны. Энергетический спектр свободного движения непрерывен, так что мы имеем дело со своеобразным случаем теории возмущений в непрерывном спектре. Решение задачи удобнее получить здесь непосредственно, не прибегая к общим формулам. Уравнение для поправки фи1 первого приближения к волновой функции гласит: ( РИ1 + мсф(П 2т() Ия (45,2) (У вЂ” потенциальная энергия).
Решение этого уравнения, как известно из электродинамики, может быть написано в виде «запаздывающих потенциалов», т. е. в виде ') фи>(х, у, г) = — — „„, ~ф(о1У(х', у', г')ета' —, й)г' = йх' йу' йг', г' = (х — х')'+ (у — у')'+ (г — г')'. Выясним, каким условиям должно удовлетворять поле У для того, чтобы его можно было рассматривать как возмущение. Условие применимости теории возмущений заключается в требовании фи) с( ф1с>. Пусть а есть порядок величины размеров области пространства, в котором поле заметно отличается от нуля.
Предположим сначала, что энергия частицы настолько мала, что ай меньше или порядка единицы. Тогда множитель е'а' в подынтегральном выражении в (45,3) несуществен при оценке порядка т) Это есть частный интеграл уравнения (45,2), и иоторому может быть прибавлено епте любое решение уравнения без правой части (т. е, невозмупсен. нога уравнения (4б,!)), 4 чз1 потенциАльнАЕ энергия кАк возмущение 197 [гл.
ш теория ВОзмущений 188 величины, и весь интеграл будет порядка >Р<з>((/(яз, так что >р"> (л>аз((/(/йз) тр1з>, и мы получаем условие )(/((( —, (при /за ~ !). (45,4) Отметим, что выражение Лз/>паз имеет простой физический смысл — это есть порядок величины кинетической энергии, которой обладала бы частица, заключенная в объеме с линейными размерами а (поскольку, согласно соотношению неопределенности, ее импульс Г>ыл бы Л/а). Рассмотрим, в частности, потенциальную яму настолько неглубокую, что для нее выполняется условие (45,4). Легко видеть, что в такой яме не существует отрицательных уровней энергии (Е. Ре/ег1з, !929); мы видели это уже в задаче к $ 33 для частного случая сферически-симметричной ямы. Действительно, при Е = О невозмущенная волновая функция сводится к постоянной, которую можно условно принять равной единице: ф<ш = 1.
Поскольку т(Ф> сСф1з>, то ясно, что волновая функция движения в яме, >(> = 1 + >р>з>, нигде не ОГ>ращается в нуль; собственная же функция, не имеющая узлов, относится к нормальному состоянию, так что Е = О остается наименьшим возможным значением энергии частицы. Таким оГ>разом, если яма недостаточно глубока, то возможно только инфннитное движение частицы— частица не может «захватнтьсяз ямой. Обратим внимание на то, что этот результат имеет специфически квантовый характер— в классической механике частица может совершать фннитное движение в любой потенциальной яме.
Необходимо подчеркнуть, что все сказанное относится только к трехмерной яме. В одно- и двумерной яме (т. е. в которой поле есть функция только от одной нли двух координат) всегда имеются уровни отрицательной энергии (см. задачи к этому параграфу). Это связано с тем, что в одно- и двумерном случаях рассматриваемая теория возмущений вообще неприменима при равной нулю (или очень малой) энергии Е '). В случае больших энергий, когда йа )) 1, множитель е'а' в подынтегральном выражении играет существенную роль, сильно >) В двумерном случае ф>П выражается (как известно нз теория двумерного волнового уравнения) в виде аналогичного (48,3) интеграла, в котором нместо ем — г>х' а)у' Ы стоит 1нН(>' (лг) с>х' оу' (Н'" — функцнв Гацнелн), а г = Рг(х' — х)з+ (у' — у)'. Прн х О функция Ганкеля, а с нею н весь ннтеграл стремятся логарнфмнческн к бесконечности.
Аналогнчно, в одномерном случае под знаком ннтеграла, определяюц>его ф», Иг стоит 2нг' — г>х' (где г = ! х' — х!) н нрн Ь -+ О ф" стремнтся к бесконеч х насти, как 1/я. уменьшая величину интеграла, Решение (45,3) может быть в этом случае преобразовано к другому виду, для вывода которого, однако, удобнее обратиться непосредственно к уравнению (45,2). Выберем направление невозмущеиного движения в качестве оси х; вогда невозмущенная волновая функция имеет вид ф(') = е(а (постоянный множитель условно полагаем равным единице). Ищем решение уравнения дф(!) + йтф(1) ~ш (/ (аа На в виде ф(() е(ах/, причем ввиду предполагаемой большой величины (г достаточно сохранить в бф(() только те члены, в которых дифференцируется (хотя бы один раз) множитель ага*.
Тогда мы получим для / уравнение 2(й — = —, д/ 2ш() дх ага откуда (45,5) Оцеикаэтогоннтеграладает (ф(() ~ т)(/)а/йай, так чтоусловием применимости теории возмущений в этом случае будет ((/)(~ ~дайн= е дпла Ля Йо (45,6) (о = Ай/пт — скорость частицы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
