Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Наконец, выражая снова ф,<р' через ф),ф„получим <р) в виде линейной комбинации от ф„ф, с коэффициентами. зависящими от времени. Квадрат модуля коэффициента при ф, определяет искомую вероятность перехода шгм Вычисление с использованием (1) н (2) задачи 1 дает ш,с = 2 (1 — созга )С). ! Уы!' <1) (с)ы<1))1 1) Обратим внимание на то, что условие малости величин (1) и (2) (а тем самым и условие применимости рассматриваемого метода теории возмущений) требует по-прежиему соблюдения условий (38,9) лишь для переходов между состонинямн, относящимися к различным уровням энергии. Переходы же между состояниями, относящимися к одному я тому же вырожденному уровню, учитываются секулярным уравнением в известном смысле точным образом.
з 401 ВОЗМУШЕНИЯ, ЗАВИСЯШИЕ ОТ ВРЕМЕНИ Мы видим, что вероятность периодически колеблется с частотой в"'. Для вре- мен Г, малых по сравнению с соответствующим периодом, выражение в фигур- ных скобках, а с иим и веРоЯтность ем пРопоРпнональны П: - а, !Угз1 (: з з. агу формулу можно совсем просто получить изложенным в следующем параграфе методом (с помощью уравнения (40,4)).
$40. Возмущения, зависящие от времени (й — '„=(Й,+ У)ч (40,1) в виде суммы Чг ~~ (() Чг) зг (40,2) где коэффициенты разложения являются функциями времени. Подставив (40,2) в (40,!) и помня, что функции Ч7" удовлетворяюз уравнению ДЯГ~О! (й — = Наг),"', получим (й ~Ч)ч~ Чпо~ о"А ~ г ь)гЧпв Перейдем к изучению возмущений, зависящих явно от времени. Говорить о поправках к собственным значениям энергии в этом случае вообще нельзя, поскольку при зависящем от времени гамильтониане (каковым будет возмущенный оператор Й = Й + + у' (()) энергия вообще не сохраняется, так что стационарных состояний не существует.
Задача заключается здесь в приближенном вычислении волновых функций по волновым функциям стационарных состояний невозмущенной системы. Для этой цели мы применим метод, соответствующий известному методу вариации постоянных для решения линейных дифференциальных уравнений (Р. А. М. магас, 1926).
Пусть Чг1е' — волновые функции (включающие временной множитель) стапионарных состояний невозмущенной системы. Тогда произвольное решение невозмущенного волнового уравнения моигер быть написано в виде суммы Ч' = 2, аАЧгдю. Будем теперь искать решение возмущенного уравнения тзоэия зозмэшзнин >гл ч> 1тз Умножив обе стороны равенства слева на Ч""' и интегрируя> получим йй — „= ~~~э ~У»» (>) аю (40,З) где Ем> Е~о> »» >з>»> = а У„,(~) = ~ Ч'Ж'УЧТ'й~= У де'" з', ла$>! д> = Уьэ (>). (40,4) Для того чтобы указать, к какой из невозмушениых функций вычисляется поправка, введем второй индекс у коэффициентов аы написав >р ~~ ~(>) Ч>>>а> Соответственно этому, напишем результат интегрирования уравнения (40,4) в виде а~>„~ = — — „~У>,„ЯЖ = — — „~У>„е' ь»'>(>.
(40,5) Этим определяются волновые функции первого приближения. Рассмотрим более подробно важный случай периодического по времени возмущения, имеющего внд У = Ге — '"'+ бе'">> (40,6) где г и б — операторы, не зависящие от времени, В силу эрмнто- вости У должно быть ре — и»+ Се ' Г е»»+ О>е — »» откуда находим 6 = Р', т, е. 0»»> = к>»». (40,7) — матричные элементы возмущения, включающие временной множитель (надо, впрочем, иметь в виду, что при зависящем явно от времени У величины У„„тоже являются функциями времени). В качестве невозмущенной волновой функции выберем волно* вую функцию и-го стационарного состояния, чему соответствуют значения коэффициентов в (40,2): а'"' = 1, а>м = 0 при л Ф п.
Для определения первого приближения ищем аь в виде а„ = а>" + аэ", причем в правую сторону уравнения (40,3) (уже содержащую малые величины У ь) подставляем аз аэ", Это дает ВОЗМУШЕНИЯ. ВАВИСЯШИЕ ОТ ВРЕМЕНИ Используя это соотношение, имеем 1"еч(1) = Уьче<"Аа' = )оьче' ("> и) '+ г чье' ("А ™ <. (40,8) Подставляя в (40,5) и интегрируя, получаем следующее выражение для коэффициентов разложения волновых функций> р <(иьч-и)< и'Е'("-™)' а)<„> —— а (ыь — ы) А (ыа, + ы) (40,9) Эти выражения применимы, если ни один из знаменателей не обращается в нуль '), т. е. если для всех й (при данном л) д)а< Ейе> ь ~й (40, 1О) Для ряда применений полезно иметь выражения для матричных элементов произвольной величины Г, определенных с помощью возмущенных волновых функций.
В первом приближении. < чм (() = < чт (() + < чт (() ~ где )<е> ) ~Ч«о> еЧ«о>,л )ко> <са < Ы Я = ~ (Ч"'"Ии'+ Ч<'ы'ТЧ''ю) <й). Подставив сюда Ч'Р = Е аеч„>%~а~ с а1,", определяющимися формулой (40,9), легко получить искомое выражение <~е1р 1а<е')» ~а ( 1А(мам — Ы) А (Ыаа+ <о) ) ><Е) и а<о~И: В<и< 40 11 <.Л (мам+ ы) б (ы໠— ы) Л Эта формула применима, если ни одни из членов не становится большим, т.
е. если все частоты о>а„, <оа не слишком близки к о>. При <о = 0 мы возвращаемся к формуле (38,12). Во всех написанных здесь формулах подразумевается, что имеется только дискретный спектр невозмущенных уровней энергии. Онн, однако, непосредственно обобщаются на случай наличия также и непрерывного спектра (причем речь по-прежнему идет о возмущении состояний дискретного спектра), что достигается просто прибавлением к суммам по уровням дискретного спектра соответствующих интегралов по непрерывному спектру.
') Точнее — не должны быть настолько малымн, чтобы Величины а)'„' пере. стали быть малыми по сравнению с единицей. (гл, эт теория возмущении 180 Есе>„Есзс» й (40,!2) где Е "1„— энергия наиболее низкого уровня непрерывного спектра, Задача Определить изменение и-го и ш-го решений уравнении Шредингера пра наличии периодического возмущенна (вида (40,6)) с частотой е такой, чсо Есе'— — Ес„"' а (в + в), где в — малан величина. Р е ш е н и е. Развитый в тексте метод здесь неприменим, тзн кан нсмффнцнент д"„' (40,3) отановнтся большим.
Исходим снова из точных уравнений (40,3) с 1',ь (С) из (40,8). Очевидно, что наиболее существенный вффент возникает от тех членов в суммах в правой стороне уравнений (40,3), в которых зависимость от времени определяетса малой частотой ⠄— в. Опусная все остаяьные члены, получим систему из двух уравнений с(дпс с(а -а)с пм 1» — ~ г „е спп ап гане д„, с(с с» — г" е д . '1'сп и — сы с(С ап т Делаем подстановку дпе = Эп сес и получаем уравнениа сиа„= Р паса са('и, (еап) = Р;„пд Исялючаи из них д„„получим 1 Эя — сввп+ — )г" „)з Ь„=о. дя В качестве двух независимых решений этих ураввеннй можно выбрать д А са,с А с са,с ~тп оп Ве ° > -са,с д,„=  — „е йаз — са,с ~тп где А,  — постоянные (ноторые должны быть определеяы ровни) и введены обозначения (2) из условия нормн- "= Ф'-+1' 1* ч/ ес рап 4 ' а е а,= — +й 2 У При этом необходимо, чтобы в формулах (40,9), (40,11) знаменатели вь„~ в были отличны от нуля при пробегании энергией Ейе' всех значений не только дискретного, но и непрерывного спектров.
Если, как это обычно имеет место, непрерывный спектр лежит выше всех уровней дискретного спектра, то, например, условие (40,10) должно быть дополнено условием Таким обрааом, под влиянием возмущения функции Ч'„'е', Ч"'>' перейдут в функпяи а„Ч'„'е'+ о Ч"е' с а„. а иа (!) нлн (2). Пусть в начальный момент времени (/= 0) система находилась в состоянии Чпе>. Состояние системы в последующие моменты времени определяется линейной комбинацией двух полученных нами функций, обращающейся прн 1 '" 0 в Ч"'"'! Ч = Еон/г /'Сеа Я/- —" а П ()/'! ЧНО/ 'Ч а-/а//га1П а/ ЧКО!, (З) Квдарат модуля коэффициента при Ч'<ю равен — (1 — соа 2И).
1Ч (г '(4) Ои определяет вероятность нахождения системы в момент времени / в состоянии Ч'<е'. Мы видим, что вто есть периодическая функция с частотой 2И, меа няющаяся в преденах от 0 до (ч )аФг. При е = 0 (точный резонанс) вероятность (4) обращается в — (1 — сов 2)Ч ! /). 1 2 Она периодически меняется в пределах между 0 и 1; другими словамн, система периодически переходит иа состояния Ч'~~> в состояние Ч'„'еь и 41.
Переходы под влиянием возмущения, действующего в течение конечного времени Предположим, что возмущение У(1) действует всего лишь в течение некоторого конечного промежутка времени (или же, что У (1) достаточно быстро затухает при 1-ь ~оо), Пусть перед началом действия возмущения (нли в пределе при (-ь — оо) система находилась в и-м стационарном состоянии (дискретного спектра).
В произвольный последующий момент времени состояние системы будет определяться функцией т- Е а~.тГ'>, где в первом приближении / аь„=ада . — — „~~ Уа,и аа с(1, й~п, 10 ! Г /н / / а..-1+аЖ=1- — „~ У„„(1; (41,1) пределы интегрирования в (40,5) выбраны таким образом, чтобы при 1-ь — оо все аьа" обращались в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
