Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 29
Текст из файла (страница 29)
С учетом (35,8) общий внд вещественного решения может быть написан следующим образом: Р = сонМ = соз > )г у — — 1и — + сон»1/ ° (35,9) рг- < «о Эта функция обладает нулями, число которых неограниченно растет с уменьшением г,. Поскольку, с одной стороны, выражение (35,9) справедливо для волновой функции (при достаточно ма. лых г) при любом конечном значении энергии Е частицы, а, с дру. гой стороны, волновая функция нормального состояния совсем не должна иметь нулей, то мы можем заключить, что «нормальное состояние» частицы в рассматриваемом поле соответствует энергии Е = — «»>.
Но во всяком состоянии дискретного спектра частица находится в основном в области пространства, в которой Е ) У. Поэтому при Е -» — »» частица находится в бесконечно малой области вокруг начала координат, т, е. происходит «падение» частицы на центр. «Критическое» поле У„р, прн котором становится возможным падение частицы на пентр, соответствует значению у = 1/4. Наименьшее значение коэффициента при — 1/г' получается, когда 1 = О, т. е. а» У„, = — —. (35,10) Из формулы (35,3) (для з>) видно, что допускаемое решение уравнения Шредингера (вблизи точки, где У 1/г') расходится нри г -» 0 не быстрее чем 1/у г.
Если поле обращается при г -» 0 в бесконечность медленнее чем 1/г', то в уравнении Шредингера в области вблизи начала координат можно вовсе пренебречь У (г) по сравнению с остальными членамн, и мы получим те же ешення, что и для свободного движения, т. е. >р г' (см. $ 33), аконец, если поле обращается в бесконечность быстрее чем 1/г* (как — 1/г' с з = 2), то волновая функция вблизи начала координат пропорциональна г'4-' (см. задачу к $ 49), Во всех этих случаях произведение г>р обращается при г = 0 в нуль. /(алев, исследуем свойства решений уравнения Шредингера в поле, спадающем на больших расстояниях по закону У ж — р/г» при произвольном его виде на малых расстояниях.
Предположим сначала, что у С 1/4. Легко видеть, что в этом случае может ~зо движение в центрально-симметричном поле [гл н существовать лишь конечное число отрицательных уровней энергии '). Действительно, при энергии Е = 0 уравнение Шредингера на больших расстояниях имеет вид (35,!) с общим решением (35,4). Но функция (35,4) не имеет (при г чь 0) нулей; поэтому все нули искомой радиальной волновой функции лежат на конечных расстояниях от начала координат и их число, во всяком случае, конечно.
Другими словами, порядковый номер уровня Е = О, замыкающего дискретный спектр, конечен. Если же у ) 1/4, то дискретный спектр содержит бесконечное число отрипательных уровней энергии. Действительно, волновая функция состояния с Е = 0 имеет на больших расстояниях вид (35,9) с бесконечным числом нулей, так что ее порядковый номер во всяком случае бесконечен. Наконец, пусть поле У = — р/га во всем пространстве. Тогда при у ) 1/4 происходит падение частицы.
Если же у ( 1/4, то отрицательные уровни энергии отсутствуют вовсе. Действительно, волновая функция состояния с Е = 0 будет во всем пространстве вида (35,7); она не имеет вовсе нулей на конечных расстояниях, т. е. соответствует наиболее низкому (прн данном 1) уровню энергии. й 36. Движение в кулоиовом поле (сферические координаты) Очень важным случаем движения в центрально-симметричном поле является движение в кулоиоаолг лоле а У=~— г (а — положительная постоянная). Мы будем рассматривать сначала кулоново притяжение, соответственно чему будем писать У = -а/г. Из общих соображений заранее очевидно, что спектр отрицательных собственных значений энергии будет дискретным (с бесконечным числом уровней), а спектр положительных энергий — непрерывным.
Уравнение (32,8) для радиальных функций имеет вид Если речь идет об относительном движении двух притягивающихся частиц, то под лг надо подразумевать их приведенную массу. В вычислениях, связанных с кулоновым полем, удобно поль. зоваться вместо обычных особыми единицами для измерения всех величин, которые мы будем называть кулоноаылги единицами. О Предполагается, что прн малых г поле такова, что паденнн частнды нв пронсходнт. й зэ) кплоново полз <сонричнскии координаты> 151 Именно, в качестве единиц измерения массы, длины и времени выберем соответственно я аз та ' гппэ ° Все остальные единицы выводятся отсюда; так, единицей энергии будет та~ дз Ниже в этом и следующем параграфах мы везде (где зто не оговорено особо) пользуемся этими единицами т), Уравнение (36,1) в новых единицах принимает внд — + —,— — — г — )-Я+2(Е+ — ) Д' О (362) Дискретный спектр Введем вместо параметра Е н переменной г новые велнчиньн — ав 1 2г )г' — М ~ " ° (36,3) При отрицательных энергиях и есть вещественное положительное число.
Уравнение (36,2) после подстановки (36,3) приобретает вид Йч + — Д' + 1 — — + —" — + ) 1 Р = О (36,4) (штрихи означают дифференцирование по р). При малых р решение, удовлетворяющее необходимым условиям конечности, пропорционально р' (см. (32,15)). Для выяснения аснмптотпческого поведения Я прн больших р опускаем в (36,4» члены с 1(р и 1(рз и получаем уравнение ') Еслн гп 9,11 ° 1О 'з г есть масса электрона, а а = е' (е — заряд электрона), то кулоновы еднннцы совпадают с так называемымн ппоянмлп единицами. Атомная единица длнны аз/азиз 0,529 10 з см (так называемый борогский радиус).
Атомная еднннца энергии равна пге'(аэ 4,30 10 г" эрг 27,21 эп (половпяу этой велнчпны называют рпдбергом, Ку). Атомная еднннца заряда есть с 4,80 10 ы эл.-стат. еднняц. Переход в формулах к атомным единицам пронзводнтся, формально, полежав е 1, ю = 1, а = 1. Прн гэ Яеа кулоновы едннпцы отличаются от атомных. г62 движение в центрально-симметричном пола 1гл. у откуда тс = е~пте. Интересующее нас исчезающее на бесконеч. ности решение, следовательно, при больших р ведет себя, как г п~а. Ввиду этого естественно сделать подстановку )с = р~г-омв(р), (36,5) после чего уравнение (36,4) принимает вид рв" + (21+ 2 — р) в' + (и — 1 — !) в = О. (36,6) Решение этого уравнения должно расходиться на бесконечности не быстрее конечной степени р, а при р = 0 должно быть конечным, Удовлетворяющее последнему условию решение есть вырожденная гипергеометрическая функция в = )с ( — и + 1+ 1, 21 + 2, р) (36,7) (см.
9 б математических дополнений) '). Решение, удовлетворяющее условию на бесконечности, получится лишь при целых отрицательных (или равном нулю) значениях ( — и + 1+ 1), когда функция (36,7) сводится к полиному степени (л — 1 — 1).
В противном случае она расходится на бесконечности, как еп (см. (б, 14)). Таким образом, мы приходим к выводу, что число и должно быть целым положительным, причем при данном 1 должно быть и~~1+ 1. (36,8) Вспоминая определение (36,3) параметра л, находим Е= — — 1, л 1,2, (36,9) Этим решается задача об определении уровней энергии дискрет. ного спектра в кулоновом поле. Мы видим, что имеется бесконечное множество уровней между нормальным уровнем Е, = — 1/2 и нулем.
Интервалы между каждыми двумя последовательными уровнями уменьшаются с увеличением и; уровни сгущаются по мере приближения к значению Е = О, при котором дискретный спектр смыкается с непрерывным. В обычных единицах формула (36,9) имеет следующий вид *): таа (36,10) 2аане ' Целое число и называется главным квантовым числом. Радиальное же квантовое число, определенное в 2 32, равно л, = п — 1 — 1. ') Второе рмпеине уравнения (36,6) расходится при р - О, как р а) Формула (36,10) была получена впервые Н. Бором в 1913 г. до соаданвя квантовой механики.
В квантовой механике она бмла выведена В. Паули в 1926 г. матричным методом, а черен несколько месяцев — Шредилее)вм с помовью волнового уравнения. ! вв! ктлоново поле <сферические координвты! 153 гге! = соп»1 р' е о"1,„'~~+!! (р). Радиальные функции должны быть нормированы условием еь гге! г* йг = ! . о Их окончательный вид следующий ')! (36, 13) г) Приведем в явном виде несколько первых фувкява !гвг! ! !!хе —— 2», !!ге 1' 2 2 3 (гз ге», ' е г~! -м г 27 )г"8 е ~! — — ~, !(ы — е — г/гг г ~ 1 -г» е ~! — — г+ — г г! гг» / 2 2»Х 3 27 г) 4 г»е 81 ггзо При заданном значении главного квантового числа число 1 может принимать значения 1= О, 1, ..., п — 1, (36,11) всего и различных значений. В выражение (36,9) для энергии входит только число а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
