Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Введем вместо радиусов-векторов частиц г, и г, новые переменные К и ьч К «а«г«+ «а««1 (32,2) т, +а«, г — вектор взаимного расстояния, а И вЂ” радиус-вектор центра инерции частиц. Простое вычисление приводит к результату: Н = — 2 Аа — 2 А+ И(г) (32,3) (Аа и А — операторы Лапласа соответственно по компонентам векторов К и г; л«1+а«, — полная масса системы; т=«л«л« /(л«1+а«1) — приведенная масса). Таким образом, гамильтониан распадается на сумму двух независимых частей.
Соответственно этому, можно искать ф (г„г,) в виде произведения «р (И) ф (г), где функция «р (К) описывает движение центра инерции (как свободное движение частицы с массой «п1 + л«1), а ф (г) описывает относительное движение частиц (как движение частицы массы «л в центрально-симметричном поле Н = Н (г)). Уравнение Шредингера для движения частицы в центрально- симметричном поле имеет внд Аф + —, (Š— У (г)) ф = О. (32,4) Воспользовавшись известным выражением для оператора Лапласа 1з«движение в центрально-симматричном пола (гл н в сферических координатах, напишем это уравнение в виде + га !Е (7 (г)) ф = О (32,5) Если ввести сюда оператор (26,!6) квадрата момента, то мы получим ') — — — — (~ л ) + — е т ) + () (г) ф = Еф.
(32,6) При движении в центрально-симметричном поле момент импульса сохраняется. Будем рассматривать стационарные состояния с определенными значениями момента 1 и его проекции т. Заданием значений 1 и тн определяется угловая зависимость вслновых функций. Соответственно этому, ищем решения уравнения (32,6) в виде ф = Р (г) !', (О, ср), (32,7) где У1 (О, ф) — сферические функции. Поскольку 1'У, = 1(1 -( !) У,, то для «радиальной функции» (с (г) получаем уравнение ,'а —,", ('ф) — '",+," Я++(Š— и(г)) г = О, (32,8) Зто уравнение не содержит вовсе значения 1, = тп, что соответствует известному уже нам (21 (- !)-кратному вырождению уровней по направлениям момента.
Займемся исследованием радиальной часуи волновых функций. Подстановкой В(г) =— Х (г) (32,9) уравнение (32,8) приводится к виду — „+ !" — „, (Š— (7) —,а (Х= О. 1 (1 + 1) т (Зг,!О) т) Если ввести оператор радиальной компоненты вяпульса и в виде 1 д " Г д 1т р ф = — РА — — (гф) = — (А ~ — + — )ф г дг ~ дг Я то гамильтониан »впишется в виде АЯ1 н -, (й, + — „. !+и(.), совпадающем по форме с классической функцией Гамильтона в сферическин ноордниатад.
э зы движание в цвнтехльно-симметгичном пола гзз Если потенциальная энергия У(г) везде конечна, то должна быть конечной во всем пространстве, включая начало координат, также и волновая функция ~р, а следовательно, и ее радиальная часть Й (г). Отсюда следует, что Х (г) должна обращаться при г = 0 в нуль: х(о) =о. (32,11) В действительности это условие сохраняется (см.
2 35) также и для поля, обращающегося при г -~ 0 в бесконечность. Уравнение (32,10) по форме совпадает с уравнением Шредингера для одномерного движения в поле с потенциальной энергией ~ю(~)= ()+ зм м (32,12) равной сумме энергии У(г) и члена М~(Я+ В ща Змга ~~~а ° который можно назвать центробежной энергией. Таким образом, задача о движении в центрально-симметричном поле сводится к задаче об одномерном движении в области, ограниченной с одной стороны (граничное условие при г'= 0).
«Одномерный характер» имеет также и условие нормировки для функций Х, определяющееся интегралом ° 0 1 ! а!'г' ( = 1 ! Х!Чг. э 9 При одномерном движении в ограниченной с одной стороны области уровня энергии ие вырождены 8 21), Поэтому можно сказать, что заданием значения энергии решение уравнения (32,!0), т.
е. радиальная часть волновой функции, определяется полностью. Имея также в виду, что угловая часть волновой функции полностью определяется значениями 1 и т, мы приходим к выводу, что при движении в центрально-симметричном поле волновая функция полностью определяется значениями Е, 1, т. Другими словами, энергия, квадрат момента и его проекция составляют вместе полный набор физических величин для такого движения. Сведение задачи о движении в центрально-симметричном поле к одномерному позволяет применить осцилляционную теорему ($ 21). Расположим собственные значения энергии (дискретного спектра) при заданном 1 в порядке возрастания, перенумеровав их порядковыми номерами а„ причем наиболее низкому уровню приписывается номер и, = О.
Тогда и, определяет число узлов радиальной части волновой функции при конечных значениях г (не считая точки г = 0). Число л„ называют радиальным хаачлю- 1зе движении в цантглльно-симметгичном пола Егл: т вым числом. Число 1 при движении в центрально-симметричном поле иногда называют азимуталькым квантовым числом, а т— магнитным квантовым числом.
Для обозначения состояний с различными значениями момента 1 частицы существует общепринятая символика; состояния обозначаются буквами латинского алфавита со следующим соответствием! 1=01234567 врй~дй Ей (32,13) Нормальным состоянием при движении частицы в центрально- симметричном поле всегда является в-состояние; действительно, при ! ~ 0 угловая часть волновой функции во всяком случае имеет узлы, между тем как волновая функция нормального состояния не должна иметь узлов вовсе.
Можно также утверждать, что наименьшее возможное при заданном 1 собственное значение энергии растет с увеличением 1. Это следует уже из того, что наличие момента связано с добавлением в гамильтоннане существенно положительного члена Ь'1 (1 + 1)/2тг', растущего с увеличением 1. Определим вид радиальной функции вблизи начала координат. При этом будем считать, что 11ш ЕЕ (г) г' О. (32,14) Ищем Я (г) в виде степенного ряда по г, оставляя при малых г только первый член разложения; другими словами, ищем Ет (г) в виде ЕЕ = сопз1 г'. Подставляя это в уравнение — (г* — ) — 1(Е+!) ЕЕ =* О, получающееся из (32,8) умножением последнего на гз и перехо- дом к г-~ О, найдем в (в -1- 1) 1(1 + 1).
Отсюда в = 1 или в = — (Е.-1- 1). И! ж сопз1 г'. (32,15) Решение с з = — (1 -1- 1) не удовлетворяет необходимым условиям; оно обращается в бесконечность при г = 0 (напомним, что 1)~ 0). Таким образом, остается решение с в = 1, т. е. вблизи начала координат волновые функции состояний в данным 1 пропорциональны гй СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ $331 Вероятность частице находиться на расстоянии от центра между г и г (- й определяется величиной г' ~ й ~3 н поэтому пропорциональ- на ге«+и. Мы видим, что она тем быстрее обращается в нуль в начале координат, чем больше значение 1. $33. Сфернческне волны Плоская волна Рг ф,=сонэ( е3 описывает стационарное состояние, в котором свободная частица обладает определенным импульсом р (н энергией Е = р312т). Рассмотрим теперь такие стационарные состояния свободной частицы, в которых она обладает, наряду с энергией, определенными величиной и проекцией момента.
Вместо энергии нам будет удобно ввести волновой вектор р ~Г~те й= — =— Я Я Волновая функция состояния с моментом 1 н его проекцией «3 нмеет вид фи = йи (г) )'ь (й Е) где радиальная функция определяется уравнением йи+ — йи+ ~й —,, 1 йы О 2, Г, 1(1+ 1)1 (33,2) (33,3) (уравнение (32,8) без У (г)). Волновые функции фы, относящиеся к непрерывному (по А) спектру, удовлетворяют условиям нормировки и взаимной ортогональности: ~ф;,.ф„. (У=3„.б...б( — ',— „1. Я' — Я Взаимная ортогональность при различных 1, 1' н л3, и' обеспечи- вается угловыми функциями. Радиальные же функции должны быть нормированы условием ~ г3й3 гйес 3г = 3 (:) = 2пб (й' — й).
(33,4) о г'йлчйи 3(г = 3(Е' — Е), Если нормировать волновые функции не Епо шкале й/2п», а «по шкале энергинэ, т. е. условием 138 деи)кение в центеально-симметеичном пола 1гл. ч то, согласно общей формуле (5,!4), )Ь ~'И 1 т/' о При ) = О уравнение (33,3) можно написать в виде —,)-,г И~ьо) + й газо = О) ао 2 (33,5) его решение, конечное при г = О и нормированное условием (33,4) (ср.
(2),9)), есть й„,=2 — "", (33,6) Для решения уравнения (33,3) с ) Ф О делаем подстаиовку1 йы = г'Хн (ЗЗ,?) Для Хы будем иметь уравнение Хо~+, Хи+йоХо1= О. 2 (1 + !) Если продифференцировать это уравиеиие по г, то получим Х„, + 2 (1+ 1) Х"„, + 1 йо 2 0 + 1) 1 Ь', = О. Подстановкой Хо1 —— гХо, 1+1 оно приводится к виду 2 (1 + 2) Хо.~+1 + , Хл,|+~ + А Хо,~+1 = О, действительно совпадающему с тем, которому должна удовлетворять функция Хм 1„.
Таким образом, последовательные функции Х„1 связаны друг с другом посредством 1 Хо, !+1 = — Хоо (33,8) а потому где Хьо — — йоо определяется формулой (33,6) (это выражение может быть, разумеется, умножено еще на произвольную постоянную). Таким образом, окончательно находим следующее выражение для радиальных функций свободного движения частицы: (33,9) 3 аз1 сФаричвскив волны 139 (множитель й-' введен для нормировки — см. ниже; множитель ( — 1)' — из соображений удобства).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
