Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Здесь же мы приведем эти правила без вывода. й зз! МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРОВ Матричные элементы всех компонент вектора могут быть отличны от нули только для таких переходов, в которых момент Е, меняется не более чем на единицу: Е. -э. Е., Е. ~ !. (29,5) Кроме того, имеет место дополнительное правило отбора, запрещающее переходы между всякими двумя состояниями с Е = 0; это правило является очевидным следствием полной сферической симметрии состояний с равным нулю моментом. Правила отбора по проекции момента М различны для разных компонент вектора. Именно, могут быть отличны от нуля матричные элементы для переходов со следующими изл!енениями значения М! для А,= А„+!Аз М- М+1, для А = А„— зАа М-э-М вЂ” 1, (29,6) для А, М вЂ” е М.
Далее, оказывается возможным определить в общем виде за- висимость матричных элементов вектора от числа М. Зти важ- ные, часто используемые формулы мы приведем здесь тоже без вывода, поскольку и они являются в действительности частным случаем более общих (относящихся к любым теизорным величи- нам) соотношений, которые будут получены в 9 107. Отличные от нуля матричные элементы величины А, опреде- ляются следующими формулами: (л'Е.М (А,)аЕ.М) = (л'Е,)А(лЕ), 'а' с (!. + !) (2! -(- (! (и'ЕМ ! Л,(гг, Е.
— 1, М) = ~7г „) (2„) (ггЕ,~ А $л, Е.— 1), (29,7) (а', Е, — 1, М(А,)иЕМ) = 1/ ! 2Е ! 2ь ! (л', Е. — 1()А1иЕ). Здесь символ (и'Е' (! А (! иЕ.) обозначает так называемые приведенные матричные алел!еиты— величины, не зависящие от квантового числа М '). Они связаны ') Появление в формулах (29,7), (29,9) аавнсящнх от Е, знаменателей соотвегствует общим обозначенням, введенным в $ !07. (Еелесообразнссть этна знаменателей проявлвется, в частности, в простом виде, который прнннмает формуля (29,)2) для матричных элементов сяалярного пронзэедення двух венторов, Символ прнведенного матричного элемента вздо понимать яая еднное цика (в отлнчне от того, что было сказано в связи с символом матричного элемента (! ),! 7)).
(гл. гг 124 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА друг с другом соотношениями (л'Е ~~ А () пЕ) = (лЕ ~ А ) и'Ь')~, (29,8) непосредственно следующими из эрмитовости оператора А,. Через те же приведенные элементы выражаются матричные элементы величин А и А,. Отличные от нуля матричные элементы А равны (л', Ь, М вЂ” 1)А ~ ЬМ) (Š— М + 1) (С + А4) ( „,) ( „',) (а'Ь)А(лЬ), (и', Ь, М вЂ” 1(А )и, Š— 1, М) (1. — М + 1) (1. — А() (п'Ь(А ~п, Ь вЂ” 1), (29,9) (л', Š— 1, М вЂ” 11А (аЕМ) = т l (( + А( — 1) (1.
+ А() — 1) (2) 1 1) (л ~ Š— 11(АПпц. Матричные элементы А, не требуют особых формул, поскольку в силу вещественности А„и А„имеем (л'Ь'М' ~ А, ! ПЕМ) = (лЬМ ~ А )л'Ь'М')~. (29,10 Отметим формулу, выражающую матричные элементы скаляра АВ через приведенные матричные элементы двух векторных величин А и В. Вычисление удобно производить, представив оператор АВ в виде АВ = — (А,В + А В,) + А,В,. Матрица величины АВ (как и всякого скаляра) диагональна по Ь н М. Вычисление с помощью (29,7) — (29,9) приводит к результату1 (и'ЬМ ! АВ ! ПЬМ) = — (и'Ц А Д а" Е") (и" Е' Д В ~ пЦ, (29, 12) и", ы где Е" пробегает значения Ь, Ь ~ 1. Выпишем, для справок, приведенные матричные элементы для самого вектора Ь.
Из сравнения формул (29,9) и (27,12) находим (Ь'1Ь'((Ь) =УГЕ(Ь+1)(2Е+!), (Ь вЂ” 1)Ь1Ь) =(Ь1ЕУ вЂ” 1) =0. (29,18) % зв! МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРОВ Часто встречающейся в применениях величиной является единичный вектор и в направлении радиуса-вектора частицы; найдем его приведенные матричные элементы. Для этого достаточно вычислить, например, матричные элементы от и, = соз 8 при равной нулю проекции момента: лт = О. Имеем (à — 1, О[а,/ГО) =) В! Г, осо386,оз(НОГ[8 о с функциями Вге из (28,11). Вычисление интеграла приводит к результату ') з — 1, О !, ! 1О! = П!у (2 ! — ше 1 -( е .
Матричные же элементы для переходов à — ь 1 равны нулю (как и для всякого полярного вектора, относящегося к отдельной частице — см. ниже (30.8)). Сравнение с (29,7) дает теперь (1 — 1 Ц и Ц Г) = — (Г Ц п Ц 1 — 1) = 1 ргТ, (1 Ц и Ц 1) = О. (29,! 4) Задача ! Усреднить теизор нГпь ††(где п — единичный вектор в направлении 3 радиуса-вектора частицы) по состоннию с заданной абсолютной величиной вектора 1, но не его направлением (т. е.
неопределенным 1,). Р е ш е н и е. Искомое среднее значение есть оператор, который может выражаться лишь через оператор !. Ищем его в виде — ! Г 2 пипа — 3 бга = а ЦГ;Гв+ ГАГ, — 3 бщ«1+ !) зто есть наиболее общий вид составленного нз номпонент ! симметричного тензора второго ранга с равным нулю следом. Для определения постоянной а умножаем написанное равенство слева нз Г; и справа на Га (с суммированием по 1 н д!. Поскольку вектор п перпендикулярен к вектору д = [гр1, то пГ(г = О. Произведение ГГ!ГГА1А = (р)' заменяем его собственным значением Гз (1+ !)з, а произведение 1ГГАГГГА преобразуем с помощью соотношений коммутации (26,7) следующим образом: зз 1Г!АГГ1А = 1ГГ! ГАГА — Гещ!!Г!Г1ь = (! )З вЂ” — еГА !!! (1! ГА — 1а1!) = ! = (!з)з ! — еГАГеГАм!Г!„= (Ф)з — !т = Гз (1 + !)з — 1(1 !.
!) ') Вычисление осуществляется (1 — !)-кратным интегрированием по частям по г( соз 3, Общую Формулу для интегралов такого вида — см. (!07,!4). (гл. зп МОМЕНТ ИМПУЛЬСА (мы воспользовались тем, что е!ые ь! = 26! ). После простого приведения получим в результате ! (2! — !) (2! + 3) ' 5 30. Четность состояния Наряду с параллельными переносами и поворотами системы координат (инвариантность по отношению к которым выражает соответственно однородность и изотропию пространства) существует еще одно преобразование, оставляющее неизменным гамилькониан замкнутой системы.
Это — так называемое преобразование пнверсии, заключающееся в одновременном изменении знака всех координат, т. е. изменении направления всех осей иа обратное; правовннтовая система координат переходит при этом в левовинковую, и наоборот. Инвариантность гамильтониана по отношению к этому преобразованию выражает собой симметрию пространства по отношению к зеркальным отражениям'). В классической механике инвариантность функции Гамильтона по отношению к инверсии не приводит к каким-либо новым законам сохранения. В квантовой же механике ситуация существенно иная. Введем оператор инверсии Р '), действие которого на волнову!о функцию ф (г) заключается в изменении знака координат: Рзр(г) = зр( — г).
(30,1) Легко найти собственные значения Р этого оператора, определяемые уравнением Рф(г) = Рф(г). (30,2) Для этого замечаем, что двукратное воздействие оператора инверсяи приводит к тождеству — аргументы функции вообще не меняются. Другими словами, имеем Рязр = Рвф = зр, т. е. Р* = 1, откуда Р = ~-1. (30,3) Таким образом, собственные функции оператора инверсии либо не меняются вовсе под его воздействием, либо меняют свой знак. В первом случае волновую функцию (и соответствующее состояние) называют четной, а во втором — нечетной.
Инвариантность гамильтониана по отношению к инверсии (т. е. коммутативность операторов Й и Р) выражает собой, следо- ') Иняариантеи по отношению к инверсии также и гамильтониан системы частиц, находящихся в центральносимметрнчном поле (причем начало координат должно совпааать с центром поля). а) От английского слова рап'(у — четность, чвтность состояния З за1 вительно, закон сохранения четности: если состояние замкнутой системы обладает определенной четностью (т.
е. если оно чстно или нечетно), то эта четность сохраняется со временем '). По отношению к инверсии инвариантеи также и оператор момента: инверсия меняет знак как координат, так и операторов дифференцирования по ним, а потому оператор (26,2) остается неизменным.
Другими словами, оператор инверсии коммутативен с оператором момента, а это значит, что система может обладать определенной четностью одновременно с определенными значениями момента Е и его проекции М. При этом можно утверждать, что все состояния, отличающиеся только значением М, обладают одинаковой четкостью. Это обстоятельство очевидно уже из независимости свойств замкнутой системы от ее ориентации в пространстве, а формально может быть доказано исходя из коммутации 1. Р— Р~.„= 0 тем же путем, каким было получено (29,3) из (29,2).
Для матричных элементов различных физических величин существуют определенные правила отбора по четности. Рассмотрим сначала скалярные величины. При этом надо различать истинные скаляры — не меняющиеся вовсе при инверсии, и псевдоскаляры — величины, меняющие знак при инверсии (псевдоскаляром является скалярное произведение аксиального и полярного вектороа). Оператор истинного скаляра у коммутативен с Р; отсюда следует, что если матрица Р диагональна, то и матрица ~ диагональна по индексу четности, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
