Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Поскольку мы пока установили только относительное расположение номеров состояний и, но не их абсолютные значения, то мы можем произвольно выбрать значение а, соответствующее первому — нормальному — состоянию осциллятора. Положим его равным нулю. Соответственно этому, ха,, надо считать тождественно равным нулю, и последовательное применение уравнений (23,3) с а = О, 1, ... приводит к результату' иа (х, -1) =2„,„ Таким образом, окончательно получаем следующее выражение для отличчых от нуля матричных элементов координаты ')) ч/ ва Хв, п-х — «и-ы п 2л1ы ' (23,4) Нип = Еи = 2 ((л')пи+ ы'(Хз)ви) = ( х.1 ™в1хи11озеихеп+ оз д1 хи1х1п1' —. а %' 1 = — Е (ОЗ + Оьи1) Х1и.
2 В сумме по 1 отличны от нуля только члены с 1 — а ~ 1; подстав- ляя (23,4), получаем Еи пи (и + 1/з) 11ео, и = О, 1, 2, ... (23,5) Таким образом, уровни энергии осциллятора расположены через равные интервалы 111». Энергия нормального состояния (а = О) равна ггсо/2; подчеркнем, что она оказывается отличной от нуля. ') Мы выбираем неопределенные фазы ап (см. примечание на стр. 49) таким образом, чтобы получить во всех матричных злементах (23,4) знак+ перед корнем. Такой выбор всегда возможен для матрицы, в которой отличны от нули ъиько злементы для переходов между состояниями с соседними номерами, Матрица оператора Й диагональна и матричные элементы Нии представляют собой искомые собственные значения энергии Еи осциллятора.
Для их вычисления пишем 1гл. Рп УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Результат (23,5) можно получить н путем решения уравнения Шредингера. Это уравнение для осциллятора имеет вид (23,6) Здесь удобно ввести вместо координаты х безразмерную пере- менную е согласно соотношению (23,7) Тогда получим уравнение Ф + ~ ~~ — $') ф = О. (23,8) (Здесь штрих означает дифференцирование по е.) При больших $ можно опустить 2Е/йы по сравнению с Р; уравнение ф'= $'чр имеет агимптотические интегралы ~р = еАОГз. (Дифференцирование этой функции действительно дает, при пренебрежении членами более низкого порядка по в, чг' = е'Ф.) Поскольку волновая функция ф должна оставаться при $ = ~со конечной, то в показателе должен быть выбран знак минус.
В связи с этим естественно сделать в уравнении (23,8) подстановку Ф = е х(е). (23,9) Для функции Х ($) получаем уравнение (вводим обозначение 2Е(йы — 1 = 2и; поскольку нам заранее известно, что Е О, то п ) — !/2) Х' — 2$Х' + 2иХ = О, (23,10) причем функция Х должна быть конечной при всех конечных $, а при $ = ~со может обращаться в бесконечность не быстрее конечной степени $ (так, чтобы функция Ф обращалась в нуль).
Такие решения уравнения (23,10) существуют лишь при целых положительных (включая значение нуль) значениях числа и (см. З а математических дополнений); это дает для энергии известные уже нам собственные значения (23,5). Соответствующие различным целым значениям и решения уравнения (23,10) имеют вид х = сопз(.Н„(э), где Н„(5) — так называемые полиномы Зрмита, представляющие собой полиномы и-й степени по $, определяемые формулой ~а Н„($) = ( — 1)" ез —,„ (23,11) Определяя сопз1 так, чтобы функции ф„удовлетворяли условию $23) ЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР нормировки ~ Ч„(х)г(х = 1, 0 получим (см. (а, 7)) ч„(х) = ( †„ ) . е " ггР (х 1ф а ). (23 12) Р' 2"Л! Так, волновая функция нормального состояния есть ггг гг Чго(х) = ( — „— '-')"" е (23,13) Как и следовало быть, она не имеет нулей при конечных х.
+Ю Вычисляя интегралы ) Ф„Чг $г(2~, можно определить матричные элементы координаты; такое вычисление приводит, разумеется, к тем же значениям (23,4). В заключение покажем, каким образом можно вычислить волновые функции Ч'„ кгатричным методом. Замечаем, что в матрицах операторов х 1- 1егх отличны от нуля только элементы (х — ггзх) -г,я = — (х + (гзх)„,„ г = — г у — . (23,!4) . Т/2ВМ Исходя из общей формулы (11,!1) и учитывая, что Чг г = О, заключаем, что (х — 1гггх) ф„= О.
а г2 После подстановки выражения х = — г — — получаем отсюда гл г22 уравнение г!г!гг Лгггг — = — — хЧ> ггх а м нормированное рещение которого есть (23,!3). Далее, поскольку (х+ гых)4:„г — — (х+ ггзх)„,„тЧг„= г' у — Чг„г . ' ° / Егггал получаем рекуррентную формулу Вгг !г Бг л-кратное применение которой к функции (23,13) приводит к выр ажению (23,12) для нормированных функций Чг„. (гл ГИ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 96 Задачи !. Определить распределение вероятностей различных значений импульса для осциллятора. Р е ш е и и е.
Вместо того чтобы разлагать волновую функцию стационарного состояния по собственным функциям импульса, в случае осциллятора проще исходить непосредственно из уравнения Шредингера в импульсном представлении. Подставляя в (23,1) оператор координаты (15,!2) М = Гги((йр, получим гамильтониан в импульсном представлении ра тызда аз Й= — — — —, 2т 2 4Р' Соответствующее уравнение Шредингера Йа (р) = Еа (р) дли волновой функ- ции а (р) в импульсном представлении — + — ! Š— — )а(р)=0. ара(р) 2 г р д Ирз тыздз ~ 2т ) Это уравнение — в точности такого же вила, как и (23,6); поэтому его решения могут быть написаны непосредственно по аналогии с (23,12). Таким образом, находим искомое распределение вероятностей в виде 2пд 2"п) р' йтыд л ( р'гпюд 2, Определить нижний предел для возможных значений энергии осциллятора с помощью соотношения неопределенности (16,7).
Р е ш е н и е. Замечая, что хз = х'+ (бх)з, рз = рз+ (бр)з и использун (16,7), имеем для среднего значения энергии осциллятора тыз — р' т ыз, ! тыздз (бр) з Е = — ха+ — ) — (бх)я + — (бр)' > -)- —. 2 2т 2 2т б (бр)з 2т Найдя минимальное значение этого выражения (кзк функция от бр), получим нижний прелел для средних, а потому и для всех вообще возможных значений энергии: Е ) Ды/2. 3, Найти волновые фуякции состояний линейного осциллятора, минимизирующих соотношение неопределенностей, т. е. состояний, в которых средние квадратичные флуктуации координаты и нмпульса в волновом пакете связаны равенством бр бх = а!2 (Е. БсЛгощпйег, 1926) ').
Р е ш е и н е. Р!скомые волновые функции должны иметь вид 1 Прх (х — х)з йг(х, !) = (2п)И4 (6 )!т ~ л 4 (6х)г ехр ~ — ' —, — пр (Е)~. (!) Их координатная зависимость в каждый данный л1омеит времени соответствует формуле (16,6), причел1 х = х (() и р = р (1) = тх (Г) — средние значения координаты и импульса; согласно (19,3) для лине!шаго осциллятора ") Эти состояния называют коггргнтиыли. линейный Обниллятбп Ч зз) 97 (У = ти»х«12! имеем р = — ти»х, а потому и для средних значений р = — леи«х или я+май=б, (2) к.
е. функция х (О удовлетворяет классическому уравнению движения. Постоян« иый коэффициент в (1) определяется условием нормировки ~ )Ч')' «Ех = 1; помимо этого множителя Ч" может содержать еще фазовый множитель с зависящей от времени фазой и (1). Неизвестные постоянная бх и фуниция и (1) определяеотся подстановкой (1) в волновое уравнение 6«д»Ч' тиэх» . дЧ' — — — + — Ч'= 16— 2т дх» 2 д1 С учетом (2) подстановка дает Очсеода находим (бх)' = 6/2тв н затем т, . и 1 еэ ф = — (х' — и'х') + — ер = — рх + — 1.
26 2' 26 Таким образом, окончательно Етид Н4 11рх ти (х — х)з 1 Е еи1, ррд 1 Ч'(Х, Е) = Ех — 1Е ЕХРŠ—— ~пй) ( 6 26 ~ ) 2 26~' ехр — — — е' — (3) При х = О, р=. бэта функция переходит в ф, (х) е '""Еэ — волновуюфункцню основного состояния осциллитора. Средняя энергия осциллятора в когерентном состоянии р' ти'х' р' ти'х' ди Е= — + — = — + — + — ы йи ~6+ — ~; 2т 2 2«п 2 2 х 2 е'' (з) введенная здесь величина 6 есть среднее «число квантов» ди в данном состоянии. Мы видим, что когерентное состояние полностью определяется заданием той или иной зависимости Х (1), удовлетворяющей классическому уравнению (2), Общий вид ганой зависимости можно записать в виде тид + 1р е«ы = ае, (а)»=6. )Е 2т1«и Функция (3) л«ожет быть разложена по волновым функциям стационарных состояний осциллятора 1 Ч'= лх ааЧ'в, Ч'„(х, 1) = ф„(х) ехр~ — «(л+ — ~ и1) 2 Е' а=-о !гл.
ш н лвнвнив шнвдингйрд 93 Коэффициенты этого разложения') (б) Отсюда вероятность осциллятору находиться в и-и состоянии -а з — а й ма=(аз( =е л! ' (7) т. е. дается известнь|м распределением Пуассона. 4. Определить уровни энергии для частицы, движушейся в поле с потенциальной энергией (7 (х) = А (е з"з — 2е "") (рпс. 3, Р6. Могзе, !929). Р е ш е н и е. Спектр положительных собственных значений эиергпГ!— непрерывен (причем уровни не вырождеиы), а спектр отрицательных значений — дискретен. Уравнение Шредингера гласит: — ф-(- — (Š— Ае заз ( 2Ае аз) 1Р = О.
пхз Вводим новую переменную 2) 2шА — а» ал Рис. 3 (пробегаюшую значения от 0 до +оз) и обозначения (рассматриваем диснретный спентр, тзн что Е ~ 0) Р'2шЕ У'2шА Тогда уравнение Шредингера приобретает вид 1 , Г 1 л+3+1/2 ззй ф'+ — ф' + — — + й*/ = — — ) ф=о. ф= -17зГ а) и получаем для ш уравнение гы" + (2з + ! — $) и' + пш = О, (2) которое должно быть решено при условиях: ш нонечно при в =- О, а при $ -ь оа ш обращается в бесконечность не быстрее конечной степени в, Уравнение (2) з) Ср, вычисления в задаче ! $41, при и-ь оа функция ф ведет себя аснмптотически как еяйгз, а при й -~ О функпня ф пропорциональна $а'. Из соображений конечности должно быть выбрано решение, ведушее себя как е 17з при $ -ь оо н как г,' при $ -ь О.
Делаем подстановку линянныя осциллятор 99 есть урзвнение вырез<денной гнпергеометрической функции (см. 9 А мзтемати- ческнх дополнений) ш = Р( — л. 25+ 1, $). Решение, удовлетворяющее требуемому условию, получается при целом неотрицательном л (прнчем функции г сводятся к полиному). Согласно определениям (!) патучзем, следовательно, для уровней энергии значения — Е = А 1 — — ' — !хл+ — )1 где л пробегает целые положительные значения, начиная от нуля и до наибольшего значении, прн котором еще Р' 2шА 1 ай 2 (тэк что параметр з, в соответствии с его определением, положителен). Тзкпм образом, дискретный спектр содержит ограниченный ряд уровней. Если РйшА ! ( ай 2' чо дискретный спектр вообще отсутствует.
Ув $. То же прн У = — — в сп' ах (рис. 4). Р еще иве. Спектр положительных эне гий иеп е ывен, а о ица- ис. 4 р рр тр тельных — дискретеи; рассматриваем последний. Уравнение Шредингера йвф 2ш ( (/в Ахв й' х сйзах У вЂ” + — (Е -1- — ! ф = О. Дглзем замену переменной $ = !й ах и, вводя обозначения в )à — 2шЕ 2и, 1/ у йи,) яа ' авйв — =з(5+1), з= — !! — 1+ у)У 1+ 2 ! Р' азйв /в получаем ~(1 — Р) — „'р ~ + ~5 (з+ П вЂ”, ~ ф = О. Это — уравнение обобщенных функций Лежандра. Приводим его к гнпергеомь трическому виду подстзновкой ф = (! — йв)'" ш (Р 1 и временной звменой переменной — (1 — В) = и: 2 и (! — и) ш' + (з + 1) (1 — 2и) в' — (в — 5) (в + з+ 1) ш = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
