Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 15
Текст из файла (страница 15)
гп Уравнение шредингера Это уравнение имеет наглядный физический смысл: пл есть плотность вероятности нахождения частицы в том или ином месте пространства ((з)г!з = аз); т(Ь)пг =- р/гп есть классическая скорость у частицы. Поэтому уравнение (17,11) есть не что иное, как уравнение непрерывности, показывающее, что плотность вероятности «перемещается» по законам классической механики с классической скоростью у в каждой точке.
Задача Найти закон преобразования волновой функции при преобразовании Га.- лилея. Р е ш е и и е. Произведем преобразование над волновой функцией снобе«ь ного движения частицы (плоской волной). Поскольку всякая функция %' может быть разложена по плоским волнам, то тем самым будет найден закон преобраеовання и для произвольной волновой функции. Плоские волны в системах отсчета К и К' (К' двнжетсн относительно К со скоростью У): 1р(г, 1) =сон»!.е' !»г-а'>!а ч'(г', !) =сон»! е'"'"' причем г = г'+ УК а импульсы и энергии частицы в обеих системах связаны друг с другом формулами р= р'+шЧ, Е= Е'+ Чр'+— (см.
1, $ 8), Подставив зги выражения в Ч', получим Г ! /, туз Чг(г, 1) =Ч" (г', Ф) ехр ( а ( тЧ«'+— = Чг' (г — Че 1) ехр ~ — ~шУг — — 1) ~, (1) Ф ! а 2 В таком виде ага формула уже не содержит величин, характеризующих свободное движение частицы, и устанавливает исхомый общий закон преобразования волновой функции произвольного состояния частицы. Для системы частиц в по. казателе вкспоненты в (!) должна стоять сумма по частицам. й 18.
Основные свойства уравнения Шредингера Условия, которым должны удовлетворять решения уравнения Шредингера, имеют весьма общий характер. Прежде всего волно. вая функция должна быть однозначной и непрерывной во всем пространстве. Требование непрерывности сохраняется и в тех случаях, когда само поле () (х, у, г) имеет поверхности разрыва. На такой поверхности должны оставаться непрерывными кан волновая функция, так и ее производные. Непрерывность последних, однако, не имеет места, если за некоторой поверхностью потенциальная энергия (У обращается в бесконечность. В область пространства, где (У = оо, частица вообще не может проникнуть, т. е.
в этой области должно быть везде ф = О. Непрерывность ф требует, чтобы на границе втой области зР обращалось в нуль; З гз) основные сиопстид зидининия шнидимгизд 75 производные же от ф в этом случае испытывают, вообще говоря, скачок. Если поле У (х, у, г) нигде не обращается в бесконечность, то волновая функция тоже должна быть конечной во всем пространстве, Это же условие должно соблюдаться н в тех случаях, когда (7 обращается в некоторой точке в бесконечность, но не слишком быстро — как 1/г' с з < 2 (см.
также й 35). Пусть У ы есть минимальное значение функции У (х, у, г). Поскольку гамнльтоннан частицы есть сумма двух членов— операторов кинетической Т н потенциальной У энергий, то среднее значение энергии в произвольном состоянии равно сумме Е = Т + (7. Но все собственные значения оператора Т (совпадающего с гамнльтоннаном свободной частицы) положительны; поэтому н среднее значение Т ) О.
Имея также в виду очевидное неравенство У ) У м, найдем, что н Е ) У„м. Поскольку это неравенство имеет место для любого состояния, то ясно, что оно справедливо н для всех собственных значений энергии Е„) Унио. (18,1) Рассмотрим частицу, движущуюся в силовом поле, исчезающем на бесконечности; функцию У (х, у, г), как обычно принято, определим так, чтобы на бесконечности она обращалась в нуль. Легко видеть, что спектр отрицательных собственных значений энергии будет тогда дискретным, т.
е. все состояния с Е < 0 в исчезающем на бесконечности поле являются связанными. Действительно, в стационарных состояниях непрерывного спектра, соответствующих ивфнннтному движению, частица находится на бесконечности (см. 5 10). Но на достаточно больших расстояниях наличием поля можно пренебречь, н движение частицы может рассматриваться как свободное; прн свободном, же движении энергия может быть только положительной.
Напротив, положительные собственные значения образуют непрерывный спектр н состветствуют ннфннитному движению; прн Е ) 0 уравнение Шредингера, вообще говоря, не имеет (в рассматриваемом поле) решений, для которых бы интеграл ~ !ф )аЛ' сходился '). Обратим внимание на то, что в квантовой механике прн фпнитном движении частица может находиться н в тех областях пространства, в которых Е < (/; вероятность ~ф (з нахождения частицы хотя н стремится быстро к нулю в глубь такой области, но на всех конечных расстояниях все же отлична от нуля. В этом ') С чисто математической точки зрении надо, однако, оговорнтьси, что при некоторых определенных видах фуикпии О (х, р, г) (не именинна физического значении) из непрерывного спектра мажет выпадать дисхретимй набор значений.
1гл. Гн 76 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА отношении имеется принципиальное отличие от классической механики, в которой частица вообще йе может проникнуть в область, где (/ ) Е. В классической механике невозможность проникновения в эту область связана с тем, что при Е < (/ кинетическая энергия была бы отрицательной, т. е. скорость — мнимой.
В квантовой механике собственные значения кинетической энергии тоже положительны; тем не менее мы не приходим здесь к противоречию, так как если процессом измерения частица локализуется в некоторой определенной точке пространства, то в результате этого же процесса состояние частицы нарушается таким образом, что она вообще перестает обладать какой-либо определенной кинетической энергией.
Если во всем пространстве (/ (х, у, г) ) О (причем на бесконечности (l †» О), то в силу неравенства (18,1) имеем Е„ ) О. Поскольку, с другой стороны, при Е ) О спектр должен быть непрерывным, то мы заключаем, что в рассматряваемом случае дискретный спектр вообще отсутствует, т. е. возможно только инфнннтное движение частицы. Предположим, что (/ в некоторой точке (которую выберем в качестве начала координат) обращается в — ао по закону (/ ж — а/Г' (с» ) О). (18,2) Рассмотрим волновую функцию, конечную в некоторой малой области (радиуса Г,) вокруг начала координат и равную нулю вне ее. Неопределенность в значениях координат частицы в таком волновом пакете порядка Г;1 поэтому неопределенность в значении импульса й/Г,.
Среднее значение кинетической энергии в этом состоянии порядка величины Ь'/тг-'„а среднее значение потенциальной энергии — — а/Г',. Предположим сначала, что з) 2. Тогда сумма » МГВ Го при достаточно малых Г, принимает сколь угодно большие по абсолютной величине отрицательные значения. Но если средняя энергия может принимать такие значения, то это во всяком случае означает, что существуют отрицательные собственные значения энергии, сколь угодно большие по абсолютной величине. Уровням энергии с большим ) Е ) соответствует движение частицы в очень малой области пространства вокруг начала координат.
ВНормальное» состояние будет соответствовать частице, находящейся в самом начале координат, т. е. произойдет ападение» частицы в точку Г=О. Если же з < 2, то энергия не может принимать сколь угодно больших по абсолютной величине отрицательных значений. Дискретный спектр начинается с некоторого конечного отрицатель- $ !8] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЯ !НРЕДИНГЕРА 11 ного значения. Падения частицы на центр в этом случае не происходит.
Обратим внимание на то, что в классической механике падение частицы на центр в принципе возможно во всяком поле притяжения (т. е. при любом положительном 8). Случай з = 2 будет рассмотрен особо в 2 35. Далее, исследуем характер энергетического спектра в зависимости от поведения поля на больших расстояниях, Предположим, что при г- оо потенциальная энергия, будучи отрицательной, стремится к нулю по степенному закону (18,2) (в этой формуле теперь г велико). Рассмотрим волновой пакет, «заполняющий» шаровой слой большого радиуса г, и толщины Лг «8, г,. Тогда снова порядок величины кинетической энергии будет йа/и (Лг)а, а потенциальной: — а/г'„.
Будем увеличивать г„увеличивая одновременно и Лг (так, чтобы /«г росло пропорционально г,). Если 8 < 2, то прн достаточно больших г, сумма В'/т (с!г)' — «х/г', станет отрицательной. Отсюда следует, что существуют стационарные состояния с отрицательной энергией, в которых частица может с заметной вероятностью находиться на больших расстояниях от начала координат. Но это означает, что существуют сколь угодно малые по абсолютной величине отрицательные уровни энергии (надо помнить, что в области пространства, где (/ ~ Е, волновые функции быстро затухают).
Таким образом, в рассматриваемом случае дискретный спектр содержит бесконечное множество уровней, которые сгущаются по направлению к уровню Е=О. Если же на бесконечности поле спадает, как — !/г' с з- 2, то сколь угодно малых по абсолютной величине отрицательных уровней нет. Дискретный спектр кончается уровнем с отличным от нуля абсолютным значеняем, так что общее число уровней конечно. Уравнение Шредингера для волновых функций ф стационарных состояний, как и накладываемые на его решения условия,— вещественно.
Поэтому его решения всегда могут быть выбраны вещественными '). Что касается собственных функций невырожденных значений энергии, то они автоматически оказываются вещественными с точностью до несущественного фазового множителя. В самом деле, «ре удовлетворяет тому же уравнению, что и тр, и потому тоже есть собственная функция для того же зна-. чения энергии; поэтому если это значение не вырождено, то «р и тр» должны быть по существу одинаковыми, т. е. могут отличаться лишь постоянным множителем (с модулем, равным единице).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
