Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 18
Текст из файла (страница 18)
й 22, Потенциальная яма В качестве простого примера одномерного движения рассмотрим движение в прямоугольной потенциальной я»се, т. е. в поле в функцией У (х), изображенной на рис. 1с У (х) = 0 прн О < х < а, У(х) = У, при х < О, х ) а. Заранее очевидно, что прн Е < (I» спектр будет дискретным, а при Е ) (/, имеется непрерывный спектр двукратно вырожденных уровней, [гл. Рн УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА В области О < х < а имеем уравнение Шредингера ф" + — ',",, Еф= О (22,!) (штрих означает дифференцирование по х), а в области вне ямы ф" + — '., (Е и,)ф=о. (22,2) При х = О, а решения этих уравнений должны переходить друг в друга непрерывно и с непрерывной производной, а при х = ~со решение уравнения (22,2) должно оставаться конечным (для дискретного спектра, Е < (l, — обращаться в нуль).
и Прн Е < с1, обра1цающееся на бесконечности в нуль решение уравнения (22,2) есть чнн а 'т' = соп51 е Рис. ! к = — „Р'2гп ф, — Е) (22„3) (знака — и + в показателе относятся соответственно к областям х ) а и х < О). Вероятность ) ф !х нахождения частицы экспоненциально затухает в глубь области, в которой Е < У (к), Вместо непрерывности 5Р и ф' на границе потенциальной ямы удобно потребовать непрерывности ф и логарифмической производной 52'1ф.
Учитывая (22,3), получаем граничное условие в виде ! 2' — = т-к. Ф (22,4) Мы не станем останавливаться здесь на определении уровней энергии в яме произвольной глубины (Ус (см, задачу 2) и разберем полностью только предельный случай бесконечно высоких стенок (~/с — ~ сс). При Ос = сс движение происходит лишь на ограниченном точками х = О, а отрезке, и, как было указано в 2 !8, граничное условие в этих ~очках Ф=О. (22,5) (Легко видеть, что это условие получается и из общего условия (22.4), Действительно, при У„- сс имеем также и х — сс и потому ф'Я- сс; поскольку ф' не может обращаться в бесконечность, то отсюда следует ф = О.) Ищем решение уравнения (22,1) внутри ямы в виде ф = с51п(ах+6), й = — „".
1' 2те (22,6) й гг) потвнцилльнля ямл 89 и'л' Е„= —,и', и=1, 2, 3, п — йщаз (22,7) Этим определяются уровни энергии частицы в потенциальной яме. Нормированные волновые функции стационарных состояний— ч/ 2 . пп ф = !.à — 5|П вЂ” Х, (22,8) На основании этих результатов можно непосредственно написать уровни энергии для частицы в прямоугольном «потенциальном ящике», т. е. для трехмерного движения в поле с потенциальной энергией (7 =0 при 0(х(а, 0(у(Ь, 0(х(с и (т' = оо вне этой области. Именно, эти уровни представлщотся суммами и, г г Х а соответствующие волновые функции — произведениями фл,и = ~ 5|П вЂ” Х 5)П вЂ” Р 5!П вЂ” Х. ч/8 . ж, ж, ~ айс а ' В ' с (22,10) Отметим, что энергия основного состояния оказывается, согласно (22,7) или (22,0), порядка Е, йз/т(г, где 1 — линейные размеры области движения частицы.
Этот результат находится в соответствии с соотношениями неопределенности: при неопределенности координаты -1 неопределенность импульса, а с нею и порядок величины самого импульса -Й71; соответствующая энергия (ЛЧ)г/и. Задачи |. Определить распределение псроятгости различных значений пмпульса для нормального состояния частицы, наког|ящейся в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. Р е щ е н и е.
Козффнциепты а (р) разложения функции ф, (92,8) по собственным функциям импульса равны а а(р) = "ф"ф|с(х = 1 — "з|п ~ — х) е 'з"(з с(х, о з) Прн и = О с»лучилось бы тождественно ф = О, Условие тр = 0 при х = 0 дает б = О, после чего то же условие при х = а дает 5(п йа = О, откуда йа = пи (п — целые положи- тельные числа, начиная с единицы ')) или (гл. !и УРЛВНЯНИП ШРПДННГВРЛ Вычислив интеграл и возведя его модуль в квадрат, получим нскомое распределение вероятностей , др 4пйза ра (а(р) (' 2яй= (рзн — пзйз)з соз' йй ~р' 1 нх = — й Р 2т (Уд — Е), 1р — с сх1х а в области х) а ф = сзе *, мэ = — )/ 2т (Уэ — Е).
-к,х й Внутри пмы (0(х(а) ищем ф в виде ф = се!п (йх+ б), й =— )/2тЕ й Рис. 2 Условие непрерывности ф'/ф на границах ямы дает уравнения йс!аб = к~ = У вЂ” „, У~-йз, йс!а (ой+ б) = — н = — ~/ —,Уз — йз, ч / 2т г/ й' или Мп б = з!п (йа + Ь) =— йй йй У2шУг ' УЯ У, Искл!очая б, получим трансцендентное уравиекие йй . йй йа = яп — агсз!п — агсып )/'2л!У, )/а У, П) где л = 1, 2, 3, „„а значения агсмп берутся между 0 и —, корни которого ( 2/' определяют уровни энергии Е = йейт/2ль Для каждого л имеется, вообще говоря, один корень; значения я нумеруют уровни в порядке их возрастания. Поскольку аргумент у агсып не может превышать 1, то ясно, что значения й могут лежать только в интервале между О и 3~2шУГ/й.
Левая сторона уравнения (1) есть монотонно возрастающая, а правая — монотонно убывакицая функции й. Поэтому длн существования корня уравнения (!) необходимо, чтобы прн й = )гйшУг/й правая сторона была меньше левой. В частности, неравенство Р 2шУг а ' ~ — — агсз!и згг й 2 у з (2) получающееся при и 1, есть условие того, ггобы в яме существовал по крайней мере один уровень энергии.
Мы видим, что при данных У, чь Уэ всегда существуют настолько малые значения ширины а ямы, прн которых не будет существовать ни одного дискретного уровня энергии. Прн Уг = Уе условие (2), очевидно, всегда выполняется. 2. Определить уровни знергин для потенциальной ямы, изображенной на рис, 2. Р е ш е н и е, Дискретным являетск спектр энергий Е ( Ут, котормй мы и рассматриваем.
В области х«с 0 волновая фуакцня линейный Осцнллятор 5 зз) При (/г = (/5 ж (4 (симметричная ямз) уравнение (1) сводится к ЛА пп — Ьа агс5! и Уг2гли» Вводя переменную $ = йа/2, получим при нечетном и уравнение СО55 = жтя, "г(/» (4) зги и= Ж4 (й) причем надо брать корни, для которых !к $ < О.
По корням этих двух уравнений определяготся уровни энергии Е = 2356»/ща», число уровней (при у чь Ф О) конечно. В частности, для мелкой ямы, в которой (4 « 6»/жаз, имеем у р 1, и уравнение (б) не имеет корней вовсе. Уравнеине же (4) имеет один корень 1 / 1 (при верхнем анаке в правой части), равный 5 яз — ~1 — — !. Таким обрзу Ь 2ут!' вом, в яме имеется все~о один уровень энергии Щп» 5 О О 2д» О' расположенный вблязи ее «верха». 3.
Определить давление, оказываемое на степки прямоугольного «потенциального ящика» находящейся в нем частицей. р е щ е н и е, Сила, действующая на стенку, перпендикулярную н оси г, есть среднее значенне производной — дО/да от гамнльтоиовой функции частицы по длине ящика вдоль оси к; давление же получается делением этой силы на площадь Ьс стенки. Согласно формуле (11,16) искомое среднее значение находится дифференцированием собственного значения энергии (22,9), В результате получим давление юозас 1' $23. Линейный осциллятор Рассмотрим частицу, соверцгаюц(ую одномерные малые колебания (так называемый линейный осг(маля!по/г).
Потенциальная энергия такой частицы равна тютхз/2, где го — в классической механике собственная частота колебаний. Соответствеггно этому, гамнльтониан осциллятора йа + глв»«хз 2з» 2 (23,)) Поскольку потенциальная энергия обращается в бесконечность при х = ~оо, то частица может совершать лишь финитиое дви. жение, В соответствии с этим весь энергетический спектр осцил- лятора будет дискретным. причем должны браться те корни этого уравнения, лля которых гй я ) О. При четном и получим уравнение 1гл. Рн УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Определим уровни энергии осциллятора с помощью матричного метода ').
Будем исходить из уравнений движения в форме (19,3); в данном случае они дают х+ говх = О. (23,2) В матричном виде это уравнение гласит: (х) п+ гв'х „=О. Для матричных элементов ускорения имеем, согласно (11,8) 2 Ф (х)тп = !гота (х)тп = сотпхтп. Поэтому получаем ( 2 2 го „вЂ” го)х п=О. Отсюда видно, что равны нулю все матричные элементы хтп, за исключением тех, для которых со „= ~го. Пронумеруем все стационарные состояния таким образом, чтобы частоты ~го соответствовали переходам и -и п Т- 1, т. е. гощ „в~ = ~го. Тогда отличными от нуля матричными элементами будут лишь х„пчь Будем предполагать, что волновые функции 2Р, выбраны вещественными.
Поскольку х есть величина вещественная, то такими же будут и все матричные элементы х „. Условие эрмитовости (11,!О) приводит теперь к тому, что матрица х „симметрична; Хтп = Хпт. Для вычисления отличных от нуля матричных элементов ко. ординаты воспользуемся правилом коммутации л . а хх — хх= — !в т В написав его в матричном виде га (хх)т~ Мтп бтп' С помощью правила умножения матриц (11,12) имеем отсюда для гп= и .'%2 2 и 1 Р (Гвмхп2хт Хп2т!пхгп) = 22 7~ тпсхгд = 2 2 В этой сумме отличны от нуля только члены о 1 = и ~ 1, тан что получаем (Хп+~ „) — (Хп, п 2)— (23,3) О 32о было сделано Гедаепбертм (!925) еще до отнрытия шредянгерои волнового уравнения. линзнныи осциллятор 93 Из этого равенства заключаем, что величины (х„,1 „)' образуют арифметическую прогрессию, неограниченную сверху, но непременно ограниченную снизу, так как в ней могут содержаться только положительные члены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
