Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 21
Текст из файла (страница 21)
к - — мО есть ') ье — гамы (С ( ьг)! гь,— а,!го+ С ( в)! (а,+а,!Га) ( !) — гь,гв(С ы,к+ С,— ип ) г) См. формулу (е,й), в каягдом из двук слагаемых которой надо брать лишь первый член разложеиия, т. е. замеиить гипергеометрические фуикции от )!к едииицей, !ОУ) коэааининнт нрохожднния гда г( — —,' е)г( — — 1й,+ !) г ( — — (е + д~)) г ( — — А+ зд+ !) Г( — '«) Г ( — 2' д,+ !) г ( — !(д„— д,)) г ( — '(е,— й,)+ !) Искомый коэффипнент отражения есть Е = (Сн'С, 1'! вычисление с помощью известной формулы и Г (к) Г (1 — к) = —. а!п пх приводит к результату: и 5)з — (йг — лз) Л— зо — (Аг + йе) Прн Е = ()е (Фз = О) )2 обращается в единнпу, а прн Е -> ео стремится к пулю пе формуле чя -( ') л(т'е дз 2т сщ темп я е е ал,) Е При предельном переходе к классической механике Я обращается, как и еле.
давало, в нуль. 4. Определить коэффипнент прохождения частипы через потенпнальиый барьер, определяемый формулой (! (к) =— ие с)зт ах (рис. 8); энергия частицы Е ( (!е. Р его е н и е. Уравнение Шредингера для зтой задачи получается нз рассмотренного в задаче 5 й 23 примера изменением знака (4, причем энергию Е Тем же способом получаем решевне ге зо Р=(1 — сз) Г ( — — — з, — — +з+ и а Рис.
8 считаем теперь положительной. 1, — — +1, — ) (1) (й 1 — $1 а где й = — Р 2юЕ> Й , + у' нт(г„) (ГЛ. Н! УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 108 8т((з при,, )1 д'аг решение которого мы запишем как «Р=о,+Ьх, х(0 и ф=а,+Ьх, х>0. (1) Решая уравнение на расстояниях (х( л, можно найти связь между а,, Ьг и аз, Ьг. Эта связь линейна н имеет вид пг = раз+ РЬз Ьг тл, + тЬ,.
(2) Коэффициенты р, Р, т, т вещественны и не зависят от энергии, так нак знергия уже не входит в уравнение '). Решение (1) должно совпадать с первыми двумя членаыи разложения функций (28,1 — 2) по степеням х, откуда аз= 1+В, Ь,=И(1 — В), а,= А, Ь,= ИА. Подставляя этн выражения в (2) и решая уравнения ошюсительио А, находим при малых й: А яэ 2ИАО откупа Р еи — Е. 4 да Таким образом коэффициент прохождения обращается в нуль пропорционально энергии частицы.
В примерах, рассмотренных в задачах 2 и 4, это общее соотношение, разумеется, выподняется, ') В силу постоянства потока они удовлетворя!от соотногпению рт — рв = !. Это решение уже удовлетворяет условию, чтобы при х -«со (т. е. при 5 1, (1 — Ц) дн 2е з") волновая функция содержала только прошедшую волну ( ешх).
Асимптотичесннй вид волновой функции при х -« — «ю (5 -ь — 1) нахо- дится путем преобразования гипергеометрнческой функции с помощью формулы (е, 7) ф е — «х Г (!Ь/а) Г (! — !Ь/а) и„Г ( — И(а) Г (1 — !й/а) +е (2) Г ( — 5) Г (1 + 5) Г ( — И/а — 5) Г ( — !Ь(а + з + 1) ' Вычислив квадрат модуля отношения коэффициентов в этой функции, получим следующее выражение для коэффициента прохождения Р = 1 — А«: 5)гав а Еш(уе Р при,, (1, . пл, ( и э/ 8шие '! д'а' 5)(г — + соя ~ — )«г 1 — — ) а '( 2 !' Дзаг ) !г ий а Р— 5(гг — + С)гг ! — !гà — — 1 ) па (гг эгг ЕшР а ! 2 Р А'сгз Первая из этих формул относится также и к случаю Рз ( О, т.
е. когда частица проходит не над потенциальным барьером, а над потенциальной ямой. Интересно, что при этом Р = 1, если 1+ (8ш(Ц,)(лгаг) = (2л+ 1)', т. е. при определенных значениях глубины ямы ) (75 ) проходящие над ней частиша не отражаются. Это видно уже нз выражения (2), в котором при целом положи- тельном з член с с газ вообще отсутствует. 8. Определить закон обращения в нуль коэффициента прохожлення при Е -«О, считая, что потенциальная энергия (7 (х) быстро убывает на расстояниях (х ! ~ и, где л — характерный размер области взаимодействия. Р е ш е н и е. В области расстояний й ! х ! «С 1 можно пренебречь знергней Е в уравпеник Шредингера.
Если при этом ( х ( д и, то можно пренебречь н потен- циальной энергией, и уравнение сводится к Д' грф — — — =О, 2гп г(хз глава ~ч МОМЕНТ ИМПУЛЬСА й 26. Момент импульса В $ 15 при выводе закона сохранения импульса мы воспользо- вались однородностью пространства по отношению к замкнутой системе частиц. Наряду с однородностью пространство обладает также и свойством изотропии — все направления в нем эквива- лентны. Поэтому гамильтаниан замкнутой системы должен не меняться при повороте всей системы как целого на произвольный угол вокруг произвольной оси. Достаточно потребовать выпол- нения этого условия для произвольного бесконечно малого по- ворота, Пусть 6(р есть вектор бесконечно малого поворота, равный по величине углу б~р поворота и направленный по оси, вокруг которой производится поворот.
Изменения бг, (радиусов-векто- ров частиц г,) при таком повороте равны бг, = [б~р г„). Произвольная функция ф (г„, г„...) при этом преобразовании переходит в функцию ф(г, +бг„г, +бг„...) = ь|>(г„гм ...) + )„6г,р,ф = П = ф(г„г„... ) + ~; [6Ч> г,] у,ф = (! + 6<р ~; !г,у,]) ф(г„г„...), Выражение [+ бр Е [г,р.! есть оператор бесконечно малого поворота. Тот факт, что бесконечно малый поворот не меняет гамильтониан системы, выражается (ср. 5 !5) коммутативностью оператора поворота с оператором Й. Поскольку б~р есть постоянный вектор, то это условие сводится к соотношению (2б,!) (Е[г 7~])н Н(Е[г 71) =О, выражающему собой некоторый закон сохранения.
1гл пг МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. Величина, сохранение которой для замкнутой системы следует нз свойства изотропии пространства, есть момент импульса системы (ср. 1, З 9). Таким образом, оператор У !г,п,! должен соответствовать, с точностью да постоянного множителя, полному моменту импульса движения системы, а каждый из членов суммы !У,Ч„! — Моменту отдельной частицы. Коэффициент пропорциональности должен быть положен равным — 1й; тогда выражение для оператора момента частицы — И [гр! = !гр! будет в точности соответствовать классическому вырамсению !гр!. В дальнейшем мы будем всегда пользоваться моментом, измеренным в единицах й.
Оператор определенного таким образом момента отдельной частицы будем обозначать посредством 1, а момента всей системы — посредствам 1.. Таким образом, оператор момента частицы: (26,2) й! = !гр! 1й !г7! или в компонентах: й1„= рр, — г!ЗУ, й1У = г!$„— хр„й1, = х!9У вЂ” ур„. Для системы, находящейся во внешнем поле, момент импульса в общем случае не сохраняется. Однако сохранение момента все н1е может иметь место при определенной симметрии поля. Так, если система находится в центрально-симметричном поле, то все направления в пространстве, исходящие из центра, эквивалентны, и поэтому будет сохраняться момент количества движения относительно этого центра.
Аналогично, в аксиально-симметричном поле сохраняется составляющая момента вдоль оси симметрии. Все эти законы сохранения, имевшие место в классической механике, остаются в силе и в квантовой механике. У системы с несохраняющимся моментом в стационарных состояниях момент не имеет определенных значений. В таких случаях иногда представляет интерес среднее значение момента в данном стационарном состоянии. Легко видеть, что во всяком невырожденном стационарном состоянии среднее значение момента равно нулю. Действительно, при изменении знака времени энергия ие меняется, и поскольку данному уровню энергии соответствует всего одно стационарное состояние, то, следовательно, при замене 1 на- — 1 состояние системы должно остаться неизменным. Это значит, что должны остаться неизменными и средние значения всех величин, в частности момента.
Но при изменении знака времени момент импульса меняет знак, и мы получили бы Г= — Г; отсюда следует, что Г= О. Тот же результат можно получить и исходя из математического определения среднего значения Т как интеграла от ф~1лР, Волновые функции невырож- й зб1 момпнт импульсА денных состояний вещественны (см. конец $ [8). Поэтому выра- жение Е = — (й ') тР« ( ~' [г«1) )) !Р Й) чисто мнимо, а поскольку а.
должно быть, разумеется, вещест- венной величиной, то Т = О. Выясним правила коммутации операторов момента с операто- рами координат и импульсов. С помощью соотношений (16,2) легко находим [Х„, х[ = О, [ Е„, 9 [ = О, (26,3) [Е„г[ = О, Так, !.р — Ф. = — „(Ф. — г)ба) и — р(у)2, — грн) — „= — —, [)й р[ = гг. 1 1 г Все соотношения (26,3) могут быть написаны в тензорном виде [1П хд) = (е,юхи (26,4) где е;ю — антисимметричный единичный тензор третьего ранга '), а по дважды повторяющимся «немымя индексам подразумевается суммирование.
. Легко убедиться, что аналогичные соотношения коммутации имеют место дли операторов момента и импульса Д, Д,[ = 1«бдг)!о (26,5) При помощи этих формул легко найти правила коммутации для операторов компонент момента друг с другом. Имеем й(1„Га — (а(н) = (н(грн — х)2«) — (г)йн — «!)«) 1« = = (Г„г — г(„) б„— х (!,)У, — )й,у„) = — (уР, + 1«)йн нн (йГ«.
') Антнснмметричиый единичный тензор третьего ранга егдг (нааываемый танже единичным ансиальным тензором) определяется нан тенаор, аитнснмметричный по ноем трем индексам, причеме„а 1.Очевидно,чтоиз27егоиомпо. нент отличны от нуля только те 6, у которых индексы 1, й, (образуют какую- либо перестановку чисел 1, 2, 3. При атом яомпоиеиты равны +1, если перестановка ~', й, 1 получается из 1, 2, 3 четным числом парных перестановок чиеел (транспозипий), и равны — ! при нечетном числе транспозипий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
