Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 25
Текст из файла (страница 25)
отличны от нуля матричные элементы только для переходов д- и и и — и (индексы ст и и означают соответственно четные и нечетные состояния). Для оператора же псевдоскалярной величины имеем Ру = = — )Р; операторья Р и Г' «антикоммутативны». Матричный элемент этого равенства для перехода д- д есть Раз!ва = — ~ввР«а и поскольку Р„= 1, то / = О; таким же образом находим, что и у„„= О. Тайиги образом, матрица псевдоскалярной величины имеет отличные от нуля элементы только для псрсходов с изменением четности. Итак, правила отбора для матричных элементов скалярных величин: истинные скаляры: а-ь я, и -ь и, (30,4) псевдоскаляры: д-ь и, и — д.
') Во избежании недоразумений напомним, что речь идет о нерелитивистсной теории. В природе существуни взаимодействии (рассматриваемые в релативистсной теории), нарушающие сохранение четности. !гл ш 128 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА полярные векторы. д- и, и -м д, (30,5) аксиальные векторы: я - д, и — и. Определим четпость состояния одной частицы с моментом 1.
Преобразование инверсии (х- — х, у- — у, г- — г) состоит, для сферических координат, в преобразовании г-+г, О-ьп — О, ф-~ф -(-и, (30,6) Зависимость волновой функции частицы от углов задается сферической функцией у,, которая, с точностью до несущественной для нас здесь постоянной, имеет вид Р, (соз О) е' ч, При замене ~р на Ч~ + и множитель е' ч умножается на ( — !), а при замене О на и — О Р7(соз О) переходит в Р, ( — соз О) = ( — !)' Р~ (соз О). Таким образом.
вся функция умножится на число ( — !)' (не зависящее от т, в согласии со сказанным выше), т. е. четность состояния с данным значением 1 есть Р = ( — !)'. Мы видим, что все состояния с четным 1 четны, а с нечетным 1 нечетны. Векторная физическая величина, относящаяся к отделысой частице, может иметь матричные элементы лишь для переходов с 1 — «1, 1~! (8 29). Имея это в виду н сопоставляя формулу (30,7) со сказанным выше относительно изменения четности в матричных элементах векторов, мы приходим к выводу, что матричные элементы векторных величин, относящихся к отдельной частице, отличны от нуля только для переходов: полярные векторы: 1 — 1-~ (, аксиальные векторы: 1 — 1. (30,8) Эти правила можно получить и другим способом, прямо из определения матричных элементов.
Рассмотрим, например, интеграл 1„а — — ~ ф„')ф„й), где функция ф — четна, а ф„— нечетна. При изменении знака всех координат подынтегральное выражение меняет знак, если 1 есть истинный скаляр; с другой стороны, интеграл, взятый по всему пространству, не может измениться от изменения обозначения переменных интегрирования. Отсюда следует, что 1„а — — - — )„„т. е, )„, = — О. Аналогичным образом можно получить правила отбора для векторных величин. При этом надо помнить, что обычные, полярные, векторы при инверсии меняют знак, а аксиальные векторы при этом преобразовании ие меняются (таков, например, вектор момента — векторное произведение двух полярных векторов р н г).
Учтя это, найдем правила отбора: сложвнив момвнтов Е зы й 31. Сложение моментов Рассмотрим систему, состоящую из двух слабо взаимодействующих частей, При полном пренебрежении взаимодействием для каждой из них справедлив закон сохранения момента импульса, а полный момент Е всей системы можно рассматривать «ак сумму моментов Ез и 1 ее частей. В следующем приближении при учете слабого взаимодействия законы сохранения 1., и 1„уже не выполняются строго, но.определяющие их квадраты чисел Е, и остаются «хорошими» квантовыми числами, пригодными для приближенного описания состояния системы.
Наглядно, т, е. рассматривая моменты классически, можно сказать, что в этом приближении 1., и Ез вращаются вокруг направления 1., оставаясь неизменными по величине. В связи с рассмотрением таких систем возникает вопрос о законе сложения лсоментов, Каковы возможные значения Е при заданных значениях Ез и Ез? Что касается закона сложения для проекций момента, то он очевиден: из Ез = Е„ + Е„ следует, что и (31, 1) Для операторов же квадратов моментов такого простого соотношения нет и для вывода их «закона сложенияз рассуждаем следующим образом.
Если выбрать в качестве полной системы физических величин величины Езо Ь3, Еии Ез,'), то каждое состояние будет определяться значениями чисел Е„Е„М„М«. При заданных Е, и Ез числа М„М, пробегают соответственно по (2Ез -1- 1) и (2Ез -1- 1) значений, так что всего имеется (2Е, -1- 1) (2Е, -1- 1) различных состояний с одинаковыми Е„Е,.
Волновые функции состояний в этом описании обозначим как грс,с,м,м,. Вместо четырех указанных величин в качестве полной системы можно выбрать четыре величины. Е'„Е'„Е', Е,. Тогда каждое состояние будет характеризоваться значениями чисел Е„Е,, Е, М (соответствующие волновые функции обозначим как зРс,с,сы). При заданных Е, и Е, должно быть, разумеется, по-прежнему (2Е, -1- 1) (2Е« -1- 1) различных состояний, т. е. при заданных Е„ Е, пара чисел Е, М может пробегать (2Е, -1- 1) (2Е, -1- 1) пар значений. Эти значения можно определить следующими рассуждениями, '1 И ряд других величин, которые вместе с четырьми указанными ооразуют полную систему.
Эти остальные величины не играют роли в дальнейших рассуждениях, и для краткости выражений мы о них не говорим вовсе, называя условно полной систему четырех указанных величин. 1ЗО МОМЕНТ ИМПУЛЬСА !гл. ш Складывая друг с другом различные допустимые значения М, и М„получим соответствующие значения М: м, м, и /., 1., ~.,+ 1., Ь1 Еа — !~ Е ! Е Е,— ! Е~ 1.,— 1 Š— !1 1., Ь,— 2~ Ет+ Е,— 2 1.,— 2 Е~ й ° ° Мы видим, что наибольшее возможное значение М есть М = = Е, + Е„причем ему отвечает одно состояние ~р (одна пара значений М,, М,). Поэтому и наибольшее возможное значение М в состояниях ф а следовательно, и наибольшее Е, есть Ь, + Е, Далее, имеются два состояния ~р с М = Е, -1- Е, — 1. Следовательно, должны быть и два состояния ~р с этим значением М; одно из иих есть состояние с Е = Е, -1- Ь, (и М = Š— 1), а другое — с Ь = Ет -1- Ь, — 1 (причем М = Ь).
Для значения М = = Ь, -1- Ь, — 2 есть три различных состояния <р. Это значит, что наряду со значениями Е = Е, -1- Ьы Ь = Ьт -1- Е, — 1 возможно также и значение Е = Ь, + Ь, — 2, Эти рассуждения можно продолжать в таком же виде, пока при уменьшении М на ! увеличивается на 1 число состояний с заданным значением М. Легко сообразить, что это будет иметь место до тех пор, пока М не достигнет значения ~ Ь, — Е ~. При дальнейшем уменьшении М число состояний перестанет возрастать, оставаясь равным 2Е, -1- ! (если Е, ~( Ь,). Это значит, что ~ Е, — Ь, ~ есть наименьшее возможное значение Ь. Таким образом, мы приходим к результату, что при заданных Ь, и Е, число Е может пробегать значения Е = Ьт -1-Е„Ьт +ЕŠ— 1, ..., )Е,— Ех), (31,2) всего 2Ь, -1- 1 (считая, что Е, < Е,) различных значений. Легко проверить, что получается действительно (2Е, + 1) (~Е, -1- 1) различных значений пары чисел М, Е.
При этом существенно отметить, что (если отвлечься от 2Е -1- 1 различных значений М при заданном Е) каждому из возможных значений Е (31,2) соответствует всего по одному состоянию. Этот результат можно наглядно изобразить с помощью таи называемой векторной модели. Если ввести два вектора Е„Е, с длинами Ьт и Е„то значения Е изобразятся как целочисленные длины векторов Е, получающихся в результате векторного сложения Е, и Е„наибольшее (Ет -1- Ь,) значение Е получается ири параллельных, а наименьшее (~ Е, — Е, !) — при антипараллсльных Ет и Ез.
СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ В состояяиях с определенными значениями моментов Ц, 1.2 и полного момента Е имеют определенные значения также и скаляриые произведения 1.,1.„1.Е„(Л2. Легко найти эти значения. Для вычисления Е,$ пишем 1. = 1., -1- 1.2 или, возводя в квадрат и перенося члены, 2 2 2 21.11.2 = 1. — 1.~ — 1.2. Заменяя операторы в правой стороне равенства их собственными значениями, получим собственное значение оператора в левой стороне равенства 1.,1.~ = — ((,(й+ 1) — А~(1., + 1) — Е,((~+ 1)). (31,3) Аналогичным образом найдем 2 12.
(Е+ 1)+ 22(22+ 1) — 22(Г2+ 1)). (31,4) Выясним теперь правило сложения четностей. Волновая функция Ч' системы, состоящей из двух независимых частей, представляет собой произведение волновых функций Ч', и Ч', этих частей. Ясно поэтому, что если обе последние обладают одинаковой четностью (т. е. обе меняют или обе не меняют свой знак при изменении знака всех координат), то волновая функция всей системы будет четной.
1!апротив, если Ч', и Ч', обладают различной четностью, то функция Ч' будет нечетной. Эти утверждения можно выразить равенством Р=РР„ (31,5) где Р— четность системы в целом, а Р„Р, — четности ее частей. Это правило, разумеется, непосредственно обобщается иа случай системы, состоящей из произвольного числа невзаимодействующих частей.
В частности, если речь идет о системе частиц, находящихся в центрально-симметричном поле (причем взаимодействие частиц друг с другом можно считать слабым), то четность состояния системы в целом (31,6) р — ( 1) и+И+... (см. (30,7)). Подчеркнем, что здесь в показателе стоит алгебраическая сумма моментов частиц, вообще говоря, отличная от их «векторной суммы», т.
е. момента Ь системы. Если замкнутая система распадается на части (под влиянием действующих в ней самой сил), то ее полные момент и четность должяы сохраняться. Это обстоятельство может сделать невоз- 1гл. Уу МОМЕНТ ИМПУЛЬСА 132 можным распад системы, даже если он возможен в энергетическом отношении. Рассмотрим, например, атом, находящийся в четном состоянии с моментом т' = О, причем энергетически он мог бы распасться на свободный электрон и ион в нечетном состоянии с тем же моментом г'. =- О. Легко видеть, что фактически такой распад не может произойти (будет, как говорят, запрещен). Действительно, в силу закона сохранения момента свободный электрон должен был бы тоже обладать равным нулю моментом и потому находиться в четном состоянии (Р = ( — 1)ь = +!), но в этом случае состояние системы ион + свободный электрон был бы нечетным, между тем как первоначальное состояние атома было четным.
ГЛАВА «' ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ 2 32. Движение а центрально-симметричном цолв Задача о движении двух взаимодействующих друг с другом частиц в квантовой механике может быть сведена к задаче об одной частице, — аналогично тому, как это может быть сделано в классической механике. Гамильтониан двух частиц (с массами т1, «г«1), взаимодействующих по закону У (г) (г — расстояние между частицами), имеет вид М М Н = — — л1 — — л1+ у(г), 2а«1 2«««1 где А1, А, — операторы Лапласа по координатам частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
