Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Функции (33,9) могут быть выражены через функции Бесселя полуцелого порядка: Яа| = ~/ —,»|+!ге(йг» = 2/т/! (йг); (33,10) вводимые в этой связи функции /! (х) = ~/ —,/,+!|а(х) называют сферическими функциями Бесселя '). Для получения асимптотического выражения радиальной функции (33,9) на больших расстояниях замечаем, что член, наименее быстро убывающий с г при г- оо, получается при 1-кратном дифференцировании синуса. Поскольку каждое дифференцирование, — с»/с(г, синуса прибавляет член — п/2 в его аргументе, то получаем следующее асимптотическое выражение: Йд! ж — 31п (йг — — ). (33,12) Нормировку функций»са| можно производить по их асимптотическим выраженйям, как это было объяснено в 3 21.
Сравнив асимптотическую формулу (33,12) с нормированной функцией 3»аа (33,6), видим, что функции йа| с выбранным в (33,9) коэффициентом действительно нормированы должным образом. Вблизи начала координат (малые г) находим, разложив 3!п йг в ряд и сохранив только член, дающий после дифференцирований наиболее низкую степень г '): Таким образом, вблизи начала координат функции»са| имеют вид 2Д'+! (21+ Ц!1 (33,13) в согласии с общим результатом (32,15). В некоторых задачах (в теории рассеяния) приходится рассматривать волновые функции, не удовлетворяющие обычным условиям конечности, а соответствующие потоку частиц, вылетаю- ') Первые кеснолько функпнй /|: Мах а1пх соах Г 3 ! Х . Зсоах /а= — а /а= — — —, »,= ~ — — — /а|пах —— х ха х х/ х' В лктературе встречается также определение фуккпня /|, отлнча|оп|еесн от (33,11) множителем х.
') Энак и означает пронаведенке всех чнсел одннановой четностк до данного вкл|очнтельно. 14б движаниа в центрально-симметричном поли 1гл. ч щих из центра или, напротив, падающих на него. Волновая функция, описывающая такой поток частиц с моментом 1 ~ 0; получится, если взять вместо стоячей сферической волны (33,6) решение в виде расходящейся (г)ао) или сходящейся ()тае) сферической волны: гтае = —,е*~ г (33,14) В общем случае для отличного от нуля момента! получим решение уравнения (33,3) в виде л та ьгаг )(~В~ ( 1) А г ~ ) Га г ог ) (33,15) (33,18) ') Как будет показано в $124, поле должно убывать быстрее, чеы )/г.
Зги функции могут быть выражены через функции Ганкеля КЙ = ~)А ~ — Н7,',"„(йг) (33,16) (первого и второго рода — соответственно для знаков + и — ). Асимптотическое выражение функции (33,15) Ий ю — ехр ~~1(йг — — )~. (33,17) Вблизи же начала координат она имеет вид к (щ — 1)И зти жА, г а' Нормируем эти функции так, чтобы они соответствовали испусканию (илн поглощению) в единицу времени одной частицы. Для этого заметим, что на больших расстояниях сферическая волна в каждом небольшом участке может рассматриваться как плоская и плотность потока в ней равна 1 о4пре, где о = = ййlпт — скорость частиц. Нормировка определяется условием 1 а() = 1, где интегрирование производится по сферической поверхности большого радиуса г, т.
е. ) )га с(о = 1, где до — эле. мент телесного угла. Оставляя нормировку угловых функций прежней, мы должны, следовательно, положить коэффициент А в радиальной функции равным (33,19) Асимптотическое выражение, аналогичное (33,12), имеет место не только для радиальной части волновой функции свободного движения, ио и при движении (с положительной энергией) в любом поле, достаточно быстро убывающем с расстоянием '). На СФЕРИЧЕСК11Е ВОЛНЫ % 331 больших расстояниях можно пренебречь в уравнении Шредингера как полем, так и центробежной энергией, и остается приближенное уравнение 1 У(гР31) +йети = О, г Общее решение этого уравнения гп Мп (йг — — + б1 ) Рш ж 2 2 (33,20) где б, — постоянная (фазовый сдвиг), а общий множитель выбран в соответствии с нормировкой волновой функции «по шкале е/2п» '). Постоянная фаза 6, определяется граничным условием (конечность )(ш при г — ь О), при котором должно решаться точное уравнение Шредингера, и не может быть вычислена в общем виде.
Фазы Ь, являются, разумеется, функциями как от (, так и от й и представляют собой существенную характеристику собственных функций непрерывного спектра, Зядячн 1. Определить уровни энергии для двнження частицы с моментол1 1 О в сферической прямоугольной потенцнельной яме: У(г)= — Уе прн г(а, У(г) О прятала. Р е ш е н н е, Прн 1 = О волновые функцнн зависят только от г. Внутри ямы урввненне Шредннгерв нмеет внд — — (гф)+йф=о, й- — )'а (У,— )Ы)). 1 3Р 1 г Йе й Решенне, конечное прн г = О, 31п ег ф=А— г Прн г ) а ямеем урввненне 1 оч 1 — —,(гф) — нзф= о, н — „)г22лш~)Е). г Решение, сбрнщвющееся в нуль нз бесконечностн, е '"" ф А'— Г Условие непрерывностн логарифмической пронзводной от гф прн г = а дает й с(а йа — н — 1г —" — й' - ° ~ 2шУ„ лз (1) 1 Член — )п/2 в аргументе синуса прибавлен для того, чтобы в отсутствие поля былобг О.
Поскольку общнй знак волновой функции несуществен, фззыбт определены с точностью до лп (з не 2пп); поэтому нк знечення всегда могут быть прнведекы к интервалу между О н и. 1(2 движения в центрально-симметричном поле (гл. и Рнс. 9 ,7!+!/ (йа) = О, корни которого определяют положение уровней над дном ямы (У« — 1Е ) = = й«й»/2т) при различнык значениях 1. Порндок нх распада»кения, начиная от основного состояния, оказывается следующим; 1з, )р, И, 2з, 1/, 2р, 12, 23, 16, Зз, 2/,... )(ифра перед буквой нумерует в порядке возрастающей последовательности уровни с одинаковым 1'), 3.
Определить последовательность, в которой появляются урании с разлнч ными 1 по мере возрастания глубины ямы У«. ") Такое обозначение принято длв уровней частиц в ядре 5 118). -/' яз ипйа=~ ~/, йа. (2) 2та»У» Этим уравнением определяются, неявным образом, искомые уровни энергии (должны быть взяты те корни уравнения, для которых с19 йа ( О, как это следует из (1)). Первый из этих уровней (уровии с 1 = О) являетсн в то же время самым глубоким из всех вообще уровней энергии, т. е. соответствует нормальному состоянию частицы. При слишком малой глубине У«потенциальной ямы уровни отрицательной энергии вообще отсутствуют, частица не может «удержаться» ямой.
Это легко видеть из уравнения (2) с помощью следующего графического построен««я. Корни уранпения вида ~з)п к = ах изображаются тачками пересечения прямой у = ак кривымн у = ~з(п к, причем мы должны рассматривать только те точки пересечения, в которых с(йх(0; соответствующие участки кривых у = ~з(п х изображены иа рис. 9 сплошной линией. Мы видим. что прн слишком больших а (малык У«) таких точек пересечения вгюбще нет. Первая такая х точка появляется, когда прямая у = ах за\ нимаст показанное на рис.
9 положение, т. е. прн а = 2/и, н находится при к и/2. Полагая и = Я/)«2та»У«, х = йа, получаем отсюда для минимальной глубины ямы, при которой появляется первый отрицательный уровень, п»й» и, „= —. 8та» ' (3) Эта величина тем больше, чем меньше радиус имы а. Положение первого уровни Е, в момент его появления определяется из йа = и/2 и равно Е» = О, как и естественно было ожидать.
По мере дальнейшего увеличения глубины имы нормальный уровень Е, тоже понижается. При малой разности Ь У«/Узы,п — 1 это понижение происходит по закону н' 1/о пппб !б 2, Определить порядок расположения уровней энергии с различными значениями момента ! в очень глубокой (У« ~ йЧта») сферичеснай потенциальной яме (йг. Е/пиес, 1933). Р е ш е н и е. Условие па границе ямы требует, при У» -» оо, обращения ф в нуль (сч. 5 22).
Написав радиальную волновую функцию внутри ямы в виде (33,10), получим уравнение свнрическин волны й зз1 143 Решение. В момент своего первого появления новый уровень имеет энергию Е = О. Соотве>ствувщая волновая функция в сблабун вне ямы, обращающаяся в пуль при г — са, есть й! = сопи г У+'> (решение уравнения (33,3) с Л = 0). Из непрерывности Я и Я' иа границе ямы следует, в частности, непрерывность проязводиой(г>+>11!)', откуда в данном случае получается следующее условие для волновой функции внутри нмы: (/~+~Я!) = 0 при г а. Оно эквивалентно ') условию обращении в нуль функции Н> !.
и, ввиду (33,10), получаем уравнение / а Х! >>з ~ Л )/ 2тУа ) = О; при 1 = 0 функцию Х! >>т надо заменить на соз. Отсюда получается следующая последовательность появления новых уровней при увеличении Уз: !з, !р, !Л, 2з, !/, 2р, !л, 2!(, Зз, !Л, 2/, ... Отметим, что отличия ат порядка расположения уровней в глубоной яме появ. ляется лишь для сравнител~но высоких уровней. 4. Определить уровни энергии пространственного осцнллятора (частяца в поле У = >!зтызгз), кратности их вырождения н возможные значении орбитального момента в соответствующих стационарных состояниях. Р ею е н не. Уравиение Шреднигера для частицы в поле У = Узтыь (хз+ + уз+ гз) допускает разделение переменных, приводящее к трем уравненинм типа линейного осциллятора.
Поэтому уровни энергии Е = Лы > лт + па + пз + — ) и Лы ~я + — ) 2/ Кратность вырождения и-го уровня равна числу способов, которыми п может быть представлено в виде суммы трех целых неотрицательных чисел '); оно равно (п + 1)(п + 2) 2 Волновые функции стацяонарных состояний фя „„, = сопз! ехР ( — а'гз/2) Н„(ах) Н„(аУ) Нп (аа), (5) где а у'вю~й (т — масса частяцы). При изменения знака координаты полнном Н„умножается яа ( — 1)". Поэтому четиасть функции (5) есть ( — !) и*+и*+и! = = ( — 1)".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
