Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Поэтому все состояния с различными 1, но одинаковыми и обладают одинаковой энергией. Таким образом, каждое собственное значение оказывается вырожденным не только по магнитному квантовому числу т (как при всяком движении в центрально-симметричном поле), но и по числу 1. Это последнее вырождение (о нем говорят, как о случайном или кулоновом) специфично именно для кулонова поля. Каждому данному значению 1 соответствует 21+ 1 различных значений и; поэтому кратность вырождения л-го уровня энергии равна и-! Е (21 + 1) = л». (36,12) с-о Волновые функции стационарных состояний определяются формулами (36,5), (36,7). Вырожденная гипергеометрическая функция с целыми значениями обоих параметров совпадает, с точностью до множителя, с так называемыми обобщенными лалиномами Лагерра (см.
2' д. математических дополнений). По- этому )бв движение в центрально-симметричном поли (гл. т (вычнсленне нормировочного интеграла см. 2 1, интеграл (1, 6)) '). Вблизи начала координат 1(,! имеет внд )с г! (» + !)! ж г „т+! (2! + !)! (л ! !)! ° На больших расстояниях 2и 1)и-1-! 㻠— !с — ~!и (36 15) т „ие! .„+ Волновая функция 1(ге нормального состояния затухает экспоненцнально на расстояниях порядка г 1, т. е.
в обычных едн« ннцах, г йв/жа. Средние значения разлнчных степеней г вычисляются по фор- муле (36,14) гчч! йг о Общая формула для т' может быть получена с помощью формулы (1, 7). Приведем здесь несколько первых величин ге (с положнтельными н отрицательными й): гл = — [5п'+! — 31 (1+ 1)), (36,16) г-в «'((+ — ) . = —,' 13пв — 1(1+ 1)), — ! г ' = —. е ь и' Непрерывный спектр и'= — = = — —, р = 2(йг, (36,17) Рг2Е !) Нормировочный интеграл можно вычислять также, подставлня выражи. иие (д, (3) дли полииомов Лагерра и интегрируя по частям (подобно тому кан вычислен интеграл (с, 8) для полнномов Лежандра).
Спектр положительных собственных значений энергии непрерывен н простирается от нуля до бесконечности. Каждое нз этнх собственных значений вырождено с бесконечной кратностью; каждому значенню Е соответствует бесконечное множество состояний с 1, пробегающими все целые значения от О до оо (н со всеми возможными, прн данных 1, значениями т). Определяемое формулами (36,3) число и н переменная р теперь чисто мнимы: 1 зе) кклоново пола гсеепические коопдинлты> 155 где й = ~l 2Е '). Радиальные собстненные функции непрерывного спектра имеют вид )с»г = (2(+ И( (2"г)зе и'Е(» +1+1 21+2, 2йг), (36,18) где Сы — нормировочный множитель. Они могут быть представлены в виде комплексного интеграла (см. $ г)) 1С» — — С (2йх)г а Пм —.
()) К1 (1 — — ) " й-гг-г С(й 2ги (36,19) который берется по контуру, изображенному на рис. 10г). Подстановкой $ = 2йг ((+ 1/2) этот интеграл приводится к более симметричному виду ( — 2»г) ' $ гмж(( 1)» '(1 1)» (36,20) (путь интегрирования обходит в положительном направленки точки ( = ~1/2). Из этого выражения непосредственно видно, что функции Н»г вещественны. 4-'Лап Асимптотическое разложение ((1, ! 4) вырожденной ги пер геометр и ческой фуи- Ф"д кции позволяет непосредственно получить такое же разложение для волновой функции )1»р Два члена в Рнс, 1О (д, 14) приводят в функции йвг к двум комплексно сопряженным выражениям, и в результате получа.
ется е — я/г» )с»1 = С„, Х г ~»с — (1+ 1! + — !» г»с] я г г » Х 1(е 6(1+1+ —, — — 1, — 2(йг) г ((+1 — — ') (36,21) ') Можно было бы определнть п н р я комплексно сопряженяымя вираженнямн и = (/», р — 2ЫП вещественные функпнн м»г от способе определенна п н р, конечно, не ззвнсят. е) Вместо этого контура можно воспользовзться также любой замкнутой петлей, обходящей особые точки $ = О н е = 2йг в положительном нзпрзвленнн. Прн нелом 1 Еункпня У ($) = $ " ~ ($ — 2(»г)" г (см.
4 б) возвращается к исходному знзченню пря обходе яхоль такого контур». 4 аа1 килоново полы (севричвскии координлты) 1от Предельным переходом Й-и О можно получить радиальную функцию для особого случая равной .нулю энергии. При й -~- О Р ( — +1+ 1, 21+ 2, 2(йг) -еР( —, 21+ 2, 2(йг) = 2г Ф)' (21 + 2) 1! + (21 + 2) (21 + 3) 21 = (21+'1)1(2г)-'-Ы«.1 1 т (у' 8г), где 1«1„— функция Бесселя. Коэффициенты С„1 (36,24) прн й-»- О сводятся к С„» ж у/ бп й '+на. Отсюда находим — = 3/ — lа(„(1/ 8г). (36,25) Асимптотический вид этой функции при больших г') ~"' ! = ( В )'"з)п(уГЗг — 1п — ="), (36,26) 4 Множитель угГ исчезает при переходе к нормировке «по шкале энергии», т. е.
от функций Яв» к функции )»»в» согласно (33,5); именно функция )св» остается конечной в пределе Е-» О. В кулоновом поле отталкивания (У = сс/г) имеется только непрерывный спектр положительных собственных значений энергии. Уравнение Шредингера в этом поле может быть формально получено из уравнения для поля притяжения изменением анака у г. Поэтому волновые функции стационарных состояний получаются непосредственно из (36,18) посредством этой же замены. Нормировочный коэффициент снова определяется по асимптотическому выражению и в результате получается л«в» =,+',, (2йг)'е'"Р ( — +1+1, 21+2, — 21йг), с„-»и-" ')г(»».» «- —,'))=(,„~",)'"П)/ее а» (36,27) а) Отметим, что ата функции соответствует кваанкласснческому приблнже ввю ($49), примененному к Лвнжению в области (1+ 1/2)а ~ г ~ и а.
движение в центекльно-снмметвичном поле !гл ч Асимптотическое выражение этой функции прн больших г имеет внд 2 г ! ш — з!и ~кг — — 1п 2йг — — + 6, ! 2 /' 6, = агй Г (1+ 1+ — ). (36,28) Природа кулонова вырождения Прн классическом движении частицы в кулоиовом поле имеет место специфический для этого поля закон сохранении; в случае поля притяжения А = — ' — !р!] = сопз! (36,29) (см, 1, з 16). В квантовой механике этой величине отвечает оператор А = —, — —,. («р ! — 1!р1) (36,30) коммутативный, как легко проверить, с гамнльтонианом Й р»/2 — 1/г.
Прямое вычисление приводит к следующим правилам коммутации для операторов А~ друг с другом и с операторами момента1 «1ь А„« = 1емрАп «А„А»« = — 2(Нем 1р (36,31) Некоммутативность операторов А, друг с другом означает, что величины А„, А„, А, не могут иметь в квантовой механике одновременно определенных значений.
Каждый из этих операторов, скажем А„ коммутативен с такой же компонентой момента 1„ но некоммутатнвен с оператором квадрата момента 1'. Наличие новой сохраняющейся величины, не измеримой одновременно с другими сохраняющимися величинами, приводит (5 10) к дополнительному вырождению уровней, — это и есть специфическое для кулонова поля «случайное» вырождение дискретных уровней энергии.
Происхождение этого вырождения можно сформулировать также и в терминах той повышенной симметрии (по сравнению с симметрией по отношению к пространственным вращениям), которой обладает кулонова задача в квантовой механике (В. А. Фок, 1935). Для этого замечаем, что для состояний дискретного спектра с фиксированной отрицательной энергией можно заменить У в правой стороне последнего соотношения (36,31) на Е и ввести 4 за! квлоново пола <ссьерическив коопдинлты> 159 вместо А, операторы и, = А!~уг' — 2Е. Для них правила коммутации принимают вид (Гп й~) =(к!хА !м„п„) = !е„,1п (36,32) Вместе с правилом !(и (ь) = (е;ы(! эти соотношения формально совпадают с правилами коммутации операторов бесконечно малых поворотов в четырехмерном евклидовом пространстве ').
Это и есть симметрия кулоновой задачи в квантовой механике а). Из соотношений коммутации (36,32) можно снова получить выражение для уровней энергии в кулоновом поле '). Перепишем их, введя вместо 1 и а операторы 2(+ )' )а 2( (36,33) Лля них имеем ((т! Ы=(егз!Ь Иа! !аа) =ге;и1м, (1м, (ы) =О, (36,34) Эти правила формально совпадают с правилами коммутации двух независимых векторов трехмерного момента импу!лиса. Поэтому собственные значения каждого из квадратов )*, и 1, равны /, Цх -(- + 1) и !а (/з + 1), где 1„(з = О, !/2, 1, 3/2, ... '). С дРУгой стороны, по определению операторов и н 1 [гр), находим после простого вычисления! 1п=п1 = О, 1 )а+ па 2Е (прн вычислении суммы!' + и' снова заменено Й на Е). Отсюда 1! )х 4 ь 2Е) г(з + 2 ! I ! (где 1 ээ 1, = 1,) и затем Е = — 1!2(21 + 1)'.
Обозначив 21+1=а, л=1,2,3,..., (36,35) ') При атом 1„, Га, 1, играазт роль операторов бесконечно малых поворотов в плоскостях уг, ла, ху четырехмерной декартовой системы координат х, у, а, и, а й, А„, аз — роль операторов бесконечно малых поворотов в плоскостях хи, ун, из. з) В явном виде зтз симметрия проявляется в волновых функциях в импульсном представлении: см. В. А.
Фок, Изв. АН СССР, серии физ.. № 2, стр. !69 (1966)! 2 . !. Рйузй 96, !46 (1926). ') Этот вывод в основном совпадает с выводом Паули (1926). ') Здесь мы несколько забегаем вперед и используем свойства момента, о которых будет идти речь в 9 54 (возможность существования целых и полу- целых значений 1).
Т60 движении в цвнтрдльно-симмвтричном поля (гл: у приходим к требуемому результату Е = — 1/2лв.. Кратность. вырождения уровней равна, как и следовало: (2/» -)- 1) (2/в + 1) =* = (21 + 1)* = и*. Наконец, поскольку 1 = ), + 1,, то при заданном 1! = /, = (и — 1)/2 орбитальный момент 1 пробегает значения от О до 21 = и — 1 '). Задачи !. Определить распределенне вероятностей разлнчных значений импульса в основном состоянии атома водорода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
