Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

При и, ) ио вероятность нахождения частицы на стороне г) 0 больше, чем на стороне г(0, а при и, ио — наоборот. Непрерывному спектру (Е ) 0) соответствует непрерывный спектр вещественных значений параметров )1„!)«в уравнениях (37,8) (разумеется, по-прежнему связанных соотношением (37,9)); мы не станем выписывать здесь соответствующих волновых функций.

Уравнения (37,8), рассматриваемые как уравнения для «собственных значений» величин !)„ро, обладают (при Е ) 0) также и спектром комплексных значенйй. Соответствующие волновые функции будут выписаны в 5 !36, где мы воспользуемся ими для решения задачи о рассеянии е кулонозом поле. Существование стационарных состояний ~ и,иот) связано с наличием дополнительного закона сохранения (36,29). В этих со. стояниях имеют определенные значения, наряду с энергией, величины 1, = т и А,. Вычислив диагональные матричные элементы вператора А„ найдем, что А,= "' (37, 17) л [66 движение в центРАльно.симмвтРичном полн [Гл. Р Согласно общим формулам (!06,9) — (!06,!!) имеем фала = Е (1т ~ М»Р«) фа»а»„ а +а»=а» а — [ фар»Р» — — Е (!»р[+ р;) р»р.) фа»»а ь=а (37,20) (7), Рагй, 1960).

Прн этом и, = и, — и„а проекции «моментов» 1» и 1 [ !ы аа 2 (т+п,— л,) гн [[ы !», = — (т — и,+и,) = — р,, (37,18) Эти свойства состояний ~ п»п«т) (или, что то же, ~ лр»[»«)) позволяют легко установить связь между их волновыми функциями и волновыми функциями состояний ! л[т). Поскольку 1 = 1» + )„то переход от одного из этих способов описания к другому сводится к задаче о составлении волновых функций при сложении двух моментов (рассмотренной ниже, в 2 106). В терминах «момеитов» 1, и 1, состояния ~ п!т) и ~ л,л,т) описываются как ! Ы»![л) и !1,!»[А»р«), где, согласно (36,35) и (37,13), 1 ! и — 1 л»+ а»+!а»1 2 2 (37,19) ГЛАВА У! ТЕОРИЯ ВОЗйчУЩЕНИИ й 38.

Возмущения, не зависящие от времени Точное решение уравнения Шредингера может быть найдено лишь в сравнительно небольшом числе простейших случаев. Большинство задач квантовой механики приводит к слишком сложным уравнениям, которые не могут быть решены точным образом. Часто, однако, в условиях задачи фигурируют величины разного порядка; среди них могут оказаться малые величины, после пренебрежения которыми задача упрощается настолько, что делается возможным ее точное решение. В таком случае пер. вый шаг в решении поставленной физической задачи состоит в точном решении упрощенной задачи, а второй — в приближенном вычислении поправок, обусловленных малыми членами, отброшенными в упрощенной задаче. Общий метод для вычисления этих поправок называется теорией возмущений.

Предположим, что гамильтониан данной физической системы имеет внд й=й,+У, где У представляет собой малую поправку (возмущение) к аневозмущенному» оператору Й . В $38, 39 мы будем рассматривать возмущения У, не зависящие явно от времени (то же самое пред. полагается и в отношении О,). Условия, необходимые для того, чтобы можно было рассматривать оператор У как»малый» по сравнению с оператором Й„будут выяснены ниже. Задача теории возмущений для дискретного спектра может быть сформулирована следующим образом.

Предполагается, что собственные функции ф" и собственные значения Е„'" дискретного спектра невозмущенного оператора Й, известны, т. е. известны точные решения уравнения Й Фо) = е(0)ФО). (38,1) Требуется найти приближенные решения уравнения Й)() = (й»+ )))) )р = еф, (38,2) теОРия Воем»ипяннн ~гл, чг т. е.

приближенные выражения для собственных функций ор„ и значений Е„ возмущенного оператора Й. В этом параграфе мы будем предполагать, что все собственные значения оператора Й, не вырождены. Кроме того, для упрощения выводов будем счйтать сначала, что имеется только дискретный спектр уровней энергии. Вычисления удобно производить с самого начала в матричном виде. Для этого разложим искомую функцию ф по функциям ороо'~ ф = Е с.М.о).

(38,3) Подставляя это разложение в (38,2), получим (Е о~ ) у)й<м ~~ Еф<о) а умножив это равенство с обеих сторон на»ф" и интегрируя, найдем (38,7) (Е Е(о~)с» ~~ ~У„с . (38,4) Здесь введена матрица У» оператора возмущения У, определенная с помощью невозмущенных функций ф"'~ У» = ) Щ" Уф'" о(ф (38,5) Будем искать значения коэффициентов с и энергии Е в виде рядов Е = Е"' -)- Ео ' + Е" '+..., с„= ссз + с' " + ся' +..., где величины Е"', со' — того же порядка малости, что и возмущение У, величины Е'", см' — второго порядка малости, и т, д.

Определим поправки к и-му собственному значению и собственной функции, соответственно чему полагаем: с,'" = 1, с'" = = О, и ~ л. Для отыскания первого приближения подставим в уравнение (38,4) Е = ЕР + Е„"', с» = с»о1 + с»", сохранив только члены первого порядка. Уравнение с 7» = и дает Ел~ У ) К*Уф»147 (386) Таким образом, поправка первого приближения к собственному значению ЕР' равна среднему значению возмущения в состоянии ф'".

Уравнение (38,4) с й ~= л дает У»о и~о) и)о1 ! о возмвшвння. нв ззвнсяшнв от врвмвни 169 а с"' остается произвольным и оно должно быть выбрано так, чтобы функция ф„ = ф" + фо' была нормирована с точностью до членов первого порядка включительно. Для этого надо положить с"' = О. Действительно, функция (38,8) й и (штрих у знака суммы означает, что прн суммировании по т надо опустить член с и = а) ортогональна к ф„'", а поэтому интеграл от 1ф'м + фо' 1' отличается от единицы лишь на величину второго порядка малости. Формула (38,8) определяет поправку первого приближения к волновым функциям.

Из нее, кстати, видно, каково условие применимости рассматриваемого метода. Именно, должно иметь место неравенство ~ У, ~ << ~ Е,"' — Е' "! (38,9) т. е. матричные элементы возмущения должны быть малы по сравнению с соответствующими разностями невозмущенных уровней энергии. Определим еще поправку второго приближения к собственному значению Е,'". Для этого подставляем в (38,4) Е = Е„'" + Е„"' -1- + ЕД', сь = с~м + с)" + с1м н рассматриваем члены второго порядка малости. Уравнение с й = л дает Ей'Сй' = ~; $'ащсо', откуда (38,10) (мы подставили сЯ' из (38,7) и воспользовались тем, что в силу эрмитовости оператора г".

У„, = Л,). Отметим, что поправка второго приближения к энергии ногпмального состояния всегда отрицательна. Действительно, если Е„" соответствует наименьшему значению, то все члены в сумме (38,10) отрицательны. Дальнейшие приближения можно вычислить аналогичным образом. Полученные результаты непосредственно обобщаются на слу. чай наличия у оператора Н, также и непрерывного спектра (причем речь идет по.прежнему о возмущенном состоянии дискретного спектра). Для этого надо только к суммам по дискретному спектру прибавить соответствующие интегралы по непрерывному спектру. Будем отличать различные состояния непрерывного спектра индексом т, пробегающим непрерывный ряд значений; под т (гл. и теория возмнщении )то условно подразумевается совокупность значений величин, достаточных для полного определения состояния (если состояния непрерывного спектра вырождены, что почти всегда и бывает„ то задания одной только энергии недостаточно для определения состояния) ').

Тогда, например, вместо (38,8) надо будет писать флы = У, Е,т "" „, ф.о + ~ Елл ", ф,-~Ь (38,)() л т л т и аналогично для других формул. Полезно привести также формулу для возмущенных значений матричных элементов какой-либо физической величины ), вы. численных с точностью до членов первого порядка с помощью функций фл = трл" + орлы с ф' " из (38,8).

Легко получить следующее выражение1 Гч' рл )а~~ Гч' р уле' (лт =(лт+ 7 Е т Е~о + 71 и т Е о) ° (38'( ) В первой сумме й ~ л, а во второй я ~ тп. Задачи 1, Определить поправку второго приближения ф<~' к собственным функциям. Р е ш е н не. Коэффициент с~~о'(Ачд л) вычисляем из уравнений (38,4) с й чь и, написанных с точностью до членов второго порядка, а коэффициент с'„о> подбираем так, чтобы функция ф„ф'„о'+ ф„"'+ флт была нормирована с точностью до членов второго порядка, В результате находим т е т т где мы ввели частоты (Е~о1 Е~о)) 1 лт З л т 2.

Определить поправку третьего прибпижекия к собственным значениям энергии. Р е ш е и и е. Выписывая в уравнении (38,4) с й = л члены третьего порядка малости, получим Е~т = ч Чч' ""' ть ал у " ытлыал .4а а ы,"лл а т т 8. Определить уровни знергин ангармонического линейного осциплятора с гамнхьтоинаном Н = — + — + ахз + рхо. да тыохз 2т 2 х) При этом волновые функпли фво> должны быть нормированы нв 6-функцию от величин т. й зз1 ВОЗМУШЕНИЯ, НЕ ЗАЕИСЯШИЕ ОТ ЕРЕМЕНИ 171 Р е ш е н и е. Матричные элементы от х' и х' можно получить непосредственно согласно правилу умножения матриц, используя выражение (23,4) для матричных элементов от х, Для отличных ст нуля матричных элементов от хз найдем ( Л ~ 3/г ч у а (л — 1) (а — 2) (хз)а з, в = (ха)п, в-а = — ) р/ (шы/ У 8 Э чз/г ч/ 9а' (х«)п ьп=(х')в,а-а= — ) ~/ —. ( глм / т/ 8 Диагональные элементы в этой матрице отсутствуют, так что поправка первого приближения от члена ах' в гамнльтониане (рассматриваемого как возмущение к гармоническому осциллятору) отсутствует, Поправка же второго приближенна от этого члена — того же порядка, что н поправка первого приближения от члена ()х«.

Диагональные матркчные элементы от х« имеют внд (х«) п, и = ( — ) — (2аа + 2н + 1). л та 3 па ~тю/ 4 С помощью общих формул (38,6) и (38, 10) находим в результате следующее при. ближенное выражение для уровней энергии ангармонического осциллятора: Е„йю (и+ — ) — — — ( — ) (л'+ л+ — ) + + — 6 ( — ) (па+и+ — ). 4. Сферическая потенциальная яма с бесконечно высокимн стенками подвергается малой деформации (без изменения объема), принимая форму слабо вытянутого илн сплюснутого эллипсоида вращения с полуосямн а = Ь и с. Найти расщепление уровней энергии частицы в яме при такой деформации (А. Б. Магдах, 1969).

Характеристики

Список файлов книги