Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Р е ш е н не. Уразиение границы ямы х'+ у' га а' с' путем замены переменных х -ь ах//«, у -ь ауЯ, г -«сг//1 превращается в уравнение сферы радиуса /7: х'+ уз+ га = /7«. Этой же заменой гамильтбниан частицы Й = ра/2М = — Нза/2М (М вЂ” масса частицы; энергии отсчитывается от дна ямы) преобразуется в Н = Не+ (/, где — — — — ~ ( — — 1) ( —. + —.) + (-г- — 1) — ~ Таким образом, задача о движении в эллипсоидальной яме сводится к задаче о движении в сфегвнчесной яме.
Если эллипсоид мало отличае(йй бу сферы ра. днуса /« = (аас) /, то у можно рассматривать как малое возмущение. Введя а 1/ «степень эллипсоидальностиа () (((11 ~ 1), согласно представим оператор возмущения в виде 6- Р = — (р — зр-). ЗЛ1 (ГЛ.
>Сг ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ЛЕл Ел — Е>ес> (Ые ( У ) л!т) «и т — величнна момента частнцы н его проекция на ось зллнясонда; л нумерует уровни в сферической нме прн заданном 1; последнне ог числа т ве 'завнсят). Заметив, что выражение рз — Зра представляет собой гз-компоненту непрнводвмого тензора (тензор с равным нулю следом) бс,р' — Зрсрз, согласно (1 07,2) н (107,6). найдем, что матричный элемент (л!т ) У ) л1е) пропорцнонален Г 1 2 ( — 1) ),н потому х-е 0 тс Зез (лст ( У ) л!т) = (1 — ) (и!О ) У ) лЮ) (таблица 3)-снмволов дана на стр.
512). Далее пашем (л!О) У( п!О) — 8Ел>ес>+ 8 — л10 — ~ л10) 2 кЕ>з> "' л з > гз дед,> 3 "' М )) дз (в первом члене нспользовзно уравнение Шредннгера Йлфлст Еплсс'фа>трлн сфернческой вмы, а во втором яронзведено ннтегрнрованйе по частям).
Длн пронзводной от функцнн ф„се »7вс (г) Уы(О, >р) находим, используя выра.- женне УМ в анде (28,11] д Г д з1п О д > — ф„сл 1 сов Π— — — — ) ф>ыл да дг г дО / 1«+ 1) ! (, )7е — — )глс» с+1. о+ --(4«+.т-1)>с ~— с! 7, !+1 + (4!з 1)«т ( е+ г ~лс) с-г,о. Радиальные нвтегралы вычнсляются по формулам >л >л о »7лс»7лс'д - — 2 ) !7т о >л лэ )7;>с> г> с(г Ла Е "с' 1 «+ 1) ~ )7>лсс(г> о о получающимся путем янтегрнровання по частям н использовании раднального уравнения Шредннгерз (33,3) 2, 1«+ 1) 2М Члены с ннтеграламн от )7з >в ответе взаимно сокращаются, н окончательный результат «+1» Г ' 1) Е., лст (2! 1) (2!+3) ( 1«+ 1) 3 ! лс ° В перном порядке теорнн возмущений изменение уровней знергян частицы, по сравненню с уровнямн в сфернческой яме: З' ее1 СЗХУЛЯРНОВ УРАВНЕНИВ Отметим, что 1 ~Ъ >о> о111 7 пт и е. е.
оцентр тн>нестно мультнплета не смещоетси. $ 39. Секулярное уравнение Обратимся теперь и случаю, когда невозмущенный опера. тор Йо имеет вырожденные собственные значения. Будем обозначать посредством ф,'",орйо', ... собственные функции, относящиеся к одному н тому же собственному значению энергии Е„'".
Выбор этих функций, как мы знаем, неоднозначен — вместо ннх можно выбрать любые з (з — кратность вырождения уровня Е' ) независимых линейных комбинаций этих же функций. Он перестает, однако, быть произвольным, если мы подчиним волновые функции требованию, чтобы их изменение под влиянием приложенного малого возмущения было малым. Пока что будем подразумевать под >р>о', >р>о>, ...
некоторые произвольно выбранные невозмущенные собственные функции. Правильные функции нулевого приближения — линейные комбинации вида ,>о>ф>о>+ С>о>ф>о>+ Коэффициенты в этих комбинациях определяются, вместе с поправками первого приближения к собственным значениям, следующим образом. Выпишем уравнения (38,4) с й = и, и', ..., подставив в них в перном приближении Е = Е'„" -)- Е"', причем для величин се достаточно ограничиться нулевыми значениями с„= с„'", с„.
с>з>, ...; сж = О пРн л>'чь и, и', ... Тогда полУчим Е»>с>о> ч> р с>о> й> пп' и' и нли ~'„Япп — Е"'Ьпп )с~с" = О и' где п, а' пробегают все значения, нумерующие состояния, отно. сящнеся к данному невозмущенному собственному значению Е„'а'. Эта система однородных линейных уравнений для величин р„'о> имеет отличные от нуля решения прн условии обращения в йуль определителя, составленного из коэффициентов при неизвестных. Таким образом, получаем уравнение ~ ь>„— Е" '3„,1 = О. (зй,й) !гл, и ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 174 Это уравнение — з-й степени по Е!'! и имеет, вообще говоря, з различных вещественных корней.
Эти корни и представляют собой искомые поправки первого приближения к собственным значениям. Уравнение (39,2) называют секулярныз« '). Отметим, нто сумма его корней равна сумме диагональных матричных элементов У„„, У, а, ... (это есть коэффициент при Е!'! '-~ в уравнении). Подставляя поочередно корни уравнения (39,2) в систему (39,1) и решая последнюю, найдем коэффициенты сио и таким образом определим собственные функции нулевого приближения.
В результате возмущения первоначально вырожденный уровень энергии перестает, вообще говоря, быть вырожденным (корни уравнения (39,2), вообще говоря, различны); как говорят, возмущение «снимает» вырождение. Снятие вырождения может быть как полным, так и частичным (в последнем случае после наложения возмущения остается вырождение меньшей кратности, чем первоначальная). Может оказаться, что по тем или иным причинам все матричные элементы для переходов внутри одной группы взаимно вырожденных состояний л, л', ... особенно малы (или даже вообще равны нулю). Тогда может иметь смысл вместе о учетом в первом порядке матричных элементов Утм учесть в более высоких порядках матричные элементы У„т (т Ф л, л', ...) длн переходов в состояния с другими энергиями. Сделаем это с учетом матричных элементов К „ во втором порядке.
В уравнении (38,4) с й = л в левой стороне равенства полагаем Е = Е„'" + Е"' (сохраняем обозначение Еоо для поправки к энергии в рассматриваемом приближении), а вместо с„пишем с„'"', Имея в виду, что с'"' = О для всех лз чь л, л', ..., имеем Еп'с,"т = ~ Уптст + Е Утмсал' ° (39,3) Уравнения же (38,4) с й = и ~ л, л', ... дают, с точностью до членов первого порядка, (Е'„" — Ет') стт~~ — Е Ут» сюа ~~ а' откуда д от ~~! Е~з~ Е<о~ а т а' Подставив это в (39,3), находим с!01 а '"'=Х"'( ~ --) ! лт! та' « = и' ат З~З Е~о~ Е~з~ з' з\ л т ») Иаи вековым (французское слово з!4«!е — век); название заимствовано нз небесной механики.
свккляпнов ирлвнннив й 391 175 Эта система уравнений заменяет теперь систему (39,!); условие их совместности снова приводит к секулярному уравнению, отлнчаюн(емуся от (39,2) заменой У.мУм' 1 чл' ь Улл'+ ~ Епо ро> л м Задачи 1. Определить поправки первого приближения к собствеяному значению и правильные функции нулевого приближения для двукратно вырожденного уровня. Р е ш е н и е. Уравнение (39,2) имеет здесь вид Уг! — Еы' Ум ! , 1=О Уда Узз — Епо ~ (индексы 1, 2 соответствуют двум произвольно выбранным невозмущенным соб. ствениым функциям ф(е' и ф)е' данного вырсакденного уровна). Решая его, иалодим Ест> = — (Угт+ У ~ йы~г~), 1 2 (1) где введено обозначение Ды~гг = )г(Угг — Уаа)е -1-4 ) У,)г для разности двух значений поправки Е'".
Решая, далее, уравнения (39,1) е этими звзчевиями Е"', получим для иезффикнеитов и нормкрованвыа правильных фуикцняз нулевого приближения фе' = с(е'ф)е'+ с)е>ф)ег значения (2) 2. Вывести формулы для поправок первого приближения н собственным функциям и второго приближения для собственных значений.
Р е ш е и и е. Будем считать, что в качестве функций ф„'е' выбраны правильные функиии нулевого приближения. Определениаа с кх помощью матрица У„„„очевидно, диагональна по индексам и, л' (относящимся к одной и той же группе функпий вырожденного уровня), причем диагональные элементы У„, У„,„, равны соответствующим поправиам первого прнблюкения Е,',ы, Е„'У, ... Рассматриваем возмущение собственной функции ф„'е', так что в нулевом приближении Е = Е„'"', с'„"' = 1, с'"' = О при гл ~ л. В первом приближению Е = Е„'"'+ У„„, с„1+ с<~', с = с"'. Выпишем из общей системы (33,4) уравнение с й ~ л, л', ..., сохраняя в ием члены первого порадкаг (Е' е! Е~еж счг) — У с~о> — У откуда л (гл. и! теория позмвщниии (УО с)алев, выписываем уравнение с А л', сохранив в нем члены второго порядкас (з сумме по и опускаются члены с и л, л', ...).
Подставляя Е<1) л лл н выражение (1) для с'", получим при л' чь л Сор вл 1 ЧЬ) Рл'т(гтл л ()) )), ),й) Е<в Е<в) (2) (комрфицнент же с„'1' в этом приближении равен нулю). Формулы (1), (лс определяют поправку ф<'1 ~~ ~с<')ф<з) первого приближения к собственным функциям 1). Наконец, выписывая члены второго порядка в уравневии (38,4) с А = л, получим для поправки второго порядка к энергии формулу )т тл (3) л т ! Е<в) Е<в) ) л т формально совпадающу)о с (38,!0). 3.
В начальный момент времени С = 0 система находится в состоянии ф(е), относящемся к двукратно вырохщениому уровню. Определить вероятность того, что в дальнейший момент времени С система будет находиться в другом состоя- нии ф(в) той же энергии; переход происходит под влиянием постоянного возму- щенна, Р е ш е н и е. Составляем правильные функции нулевого приближения: ф = с,ф, + с,фт, ф' с(ф) + с.,'фт где сс, сз н с,', ст — две пары коэффициентов, определяемые формуламн (л) задачи 1 (верхние индексы (О) у всех величии ддя краткости опускаем). Обратно: с.,'ф — с,ф' ф) = С,С1 — С,'С Функции ф н ф' отиосятси к состояниям с возмущенными энергиями Е+ Е'1) и Е + Е<1)', где Е<1), Е'1' — два значения поправки (1) задачи 1. Вводя временные множители, переходим к волновой функции, зависящей от времени: с ЕС г С <1) л — — и я — — е с~ с <ы, фх- ', (.(ф — с,ф'е з С,С1 — ~СЗ (в момент С 0 Ч'с ф)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
