Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Составляя линейные комбинации этих функций с ааданнай суммой п>+ пз+ па= и, можно образовать фуикпии фв>в=сопи г>ехр( — а~>л/2) г'>~ (8, >р) г" ~ — —, 1+ —, азг ), (6) ') Согласно (33,7) — (33,8) имеем (г >>т!)' г ~йы!. Поскэльку уравнение (33,3) не мевяетсв прн замене 1 на — 1 — 1, имеем также (/1+ !гг ! !) г>+ м > ° Ианонец, поснольку функции Й ! и )1! ! удовлетвортот одному и тому жа уравнению, получаем окончательно (г>+>Н )' - г>+>Н что н использовано в тексте. ') ))ругими словами,„это есть число способов, которыми п одниэковых ша.
ров могут быть разложены по трем ящнкам. 144 дВижение В центРАльно-'симметричном НОЛВ (гл. у где р — вырожденная гипергеометрнческая функция, (М! = О, 1, ..., !, а( пробегает значения В, 2, ..., и для четных и и 1, 3, ..., и — для нечетных а) последнее оченидно на сопостаилеииа четности ( — 1)" функций (5) и четности ( — (р функций (б), которые должны быть одннакоэыми.
Этим определяются Возможные значения орбитального момента, соотэетстзукицие рассматриэаемым уровням энергии. Последоэательность уровней простраистаениого осциллятора (э тех же обозначениях, что и з задачах 2, 3), следовательно, такова: (1з), (1р), (!Е, 2э), (1), 2р), ((г, 2«(, Зэ), ..., где а скобки заключены взаимно вырожденные состояния «). й 34. Разложение плоской волны Рассмотрим свободную частицу, движущуюся с определенным импульсом р = йй в положительном направлении оси г.
Волновая функция такой частицы имеет вид «р = сопз( е«"*. Разложим эту функцию по волновым функциям «рь! свободного движения с определенными моментами. Поскольку в рассматриваемом состоянии энергия имеет определенное значение Е = = йэйэ/2т, то ясно, что в искомое разложение войдут только функции с тем же й. Далее, поскольку функция енм обладает аксиальной симметрией вокруг оси г, то в ее разложение могут войти только функции, не зависящие от угла «р, т. е. функции с т = О. Таким образом, должно быты м ОЪ е = ~~ а«фыо = ~~~ а!)Ть«У«о И* ч' «=о «=о где ૠ— постоянные.
Подставив выражения (28,8) и (33,9) для функций )'«, и )са„получим еыо = 4))„С,Р, (соэ 9) ( — ') ( — — ) — '" ' (г = г соз 9), «=о где С« — другие постоянные. Эти постоянные удобно определить, сравнив коэффициенты при (г соз 9)" в разложениях обеих сторон равенства по степеням г. В правой стороне равенства такой член имеетси только в а-м слагаемом; прн 1) и разложение радиальной функции начинается с более высоких степеней г, а при л )! полипом )з«(соз 9) содержит более низкие степени соз О. Член с соз' О В Р! (соз 9) имеет коэффициентом (21)!!2«(Л)г (см. форму- ') Обратим зннмаиие иа изанмное вырождение уровней с раэлнчиымн мо.
ментами 1; см. по этому поаоду примечание иа стр. !бб. РАЗЛОЖВНИВ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ $34) лу (с, 1)). Пользуясь также формулой (33,13), найдем интересую- щий нас член разложения правой стороны равенства (з!1 ! (ь е)' ' З' О!1' ! З ... (Ш+ 1! ' В левой стороне равенств соответствующий (в разложении е44' "' з) член есть (4а4 сазе) Приравнивая обе величины, найдем С4 — — ( — 4)' (21+ 1).
Таким образом окончательно получаем искомое разложение а.'44= ~Ь,( — 4)'(2!+1)Р,(созО)~ а) ( —,— ) —. (34,1) В (34,1) ось а выбрана в направлении волнового вектора плос. кой волны М. Это разложение можно записать и в более общем виде, не предполагающем определенного выбора координатных осей. Ахля этого надо воспользоваться теоремой сложения шаровых функций (см. (с, 11)), выразив с ее помощью полнномы Р, (соз О) через шаровые функции от направлений (4 и г (угол между которыми и есть О). Тогда получим 4 е4"' = 4п ~~ Я Р!'4 (йг) 1 444 ( ) Ъ 4 ( — ), (34,3) 4=а =-4 Функции 1, (йг) (определенные согласно (33,11)) зависят только от произведения яг, и тем самым ясно видна симметрия формулы по отношению к векторам й и г (у которой нз двух шаровых функций стоит знак комплексного сопряжения — безразлично).
Нормируем волновую функцию е'"' на равную единице плотность потока вероятности, т. е. так, чтобы она соответствовала потоку частиц (параллельному оси г), через единицу площади сечения которого проходит в единицу времени одна частица. Такая функция есть ф ам4 у амг =У да (34,4) На больших расстояниях оно принимает аснмптотическую форму еА' ж — ) Р(2!+!) Р4 (сов О) шп (йг — — ), (342) 4-а !46 движение В центРАльно-снмметРичном полв ггл. т (и — скорость частиц; см.
(! 9,7)). Умножая обе стороны равенства (34,1) на Ргпз/йб и вводя в правой его стороне нормированные функции фее = /(Д (г) 1', (В, гр), получим ф = 1 Ухп(2!+1) й (фйо — Ч'йв) г=е Квадрат модуля коэффициента при фйю (или фею) в этом раз. ложенни определяет, согласно общим правилам, вероятность того, что частица в падающем на центр (или расходящемся из центра) потоке будет обладать моментом ! (относительно начала коорди. нат).
Поскольку волновая функция ем*/у' и соответствует потоку частиц с равной единице плотностью, то эта «всроятностьь обладает размерностью квадрата длины; она может быть наглядно истолкована как величина кприцельной площадиз (в плоскости х, у), на которую должна попасть падающая частица, в случае если ее момент равен !. Обозначая эту величину посредством о„ имеем о, = —,(2!+ 1).
(34,5) При больших значениях ! сумма прицельных площадей по интервалу И значений ! (такому, что 1 с(; И сс, !) равна Х- н Ыв О1 ж — 2! И = 2п — И. ре Ы При подстановке классического выражения для момента й! = рр (где р — так называемое прицельное расстояние) это выражение переходит в 2прйр, что совпадает с классическим выражением.
Это обстоятельство не случайно: мы увидим в дальнейшем, что при больших значе. ниах ! движение квазиклассично ($ 49). Задача Разложить плоскую волну по волновым функциям состояний е определен" ными значениями проекции и момента на ось у и проекцией рв импульса на ту же ось. Ре гл е и н е. Введем пнлиндрнчесную систему координат у, р, ф с осью вдоль оси у. Волковые функции указанных состояний будут иметь внд Ям (р) Х й е е е . Если отсчитывать угол ф ог осн г, разложение можно запасать он~а ~Р.ВФ в виде: еге~ = егавсоее= ~~ !! ( )егзиге падение частицы нл центе )47 (в данном случае ре — — О), откуда тп О (р) = — ) е~ ~во соте-же) ф~ )ту (др) 1 о где 2„, (к) — фуиккия Бесселя. Приор р»! для (1„, справедливо асимптотическое выражение: тГ 2 Г и о (р) не / У вЂ” в(п ~др — — рл — )/2)~ ° пар (, 2 й 35. Падение частицы на центр .
Для выяснения некоторых особенностей квантовомеханнче» ского движения полезно изучить случай, не имеющий, правда, непосредственного физического смысла, — движение частицы в поле с потенциальной энергией, обращающейся в некоторой точке (начале координат) в бесконечность по закону (/ (г) ы ж — р/га ()) Р О); внд поля вдали от начала координат нас не будет интересовать. Мы видели в $18, что этот случай — как раз промежуточный между теми, когда имеются обычные стационарные состояния, н случаями, когда происходит кпаденне» частнцы в начало координат.
Вблизи начала коордннат уравнение Шредингера в рассматрнваемом случае будет следующим. Г+ — 'г'+ У я=О (35,1) (/с (г) — радиальная часть волновой функции), где введена постоя нная т = — „, — 1(1+1) (35,2) н опущены все члены более низкого порядка по 1/г; значепне энергия Е предполагается конечным, н потому соответствующий член в уравнении тоже опущен.
Ищем Й в виде /с г', тогда получаем для к квадратное уравнение з (з + 1) + у = О с двумя корнямн д,= — —,+ ~ — — у, У 4 2 У 4 Для дальнейшего исследования удобно поступить следующим образом. Выделим вокруг начала координат малую область раднуса г, н заменим функцню — у/г' в этой области постоянной величиной — у/го. Определив волновые функции в таком «обрезан- 14з дВижение В центРАльно.симметоичном пОле 1гл, т ном» поле„мы затем посмотрим, что получается при переходе к пределу го-» О.
Предположим сначала, что у ( 1/4. Тогда з, и з, — вещественные отрицательные числа, причем з, ) з,. При г ) г, общее решение уравнения Шредингера имеет вид (речь идет везде о малых г) Я = Аг* + Вг" (35,4) (А,  — постоянные). При г ( г, решение уравнения Г+ — 'г + — ', В=О. г го конечное в начале координат, имеет вид В=С вЂ”, звз зг 1/ т й= —.
г го (35,5) А (з1+ ! ) Го" + В (зз -(- 1) гоз' Аф+! + Вг"+' *= й С1айг к о или А (з! -1- 1) го' + В (зз + 1) го' Решенное относительно отношения В/А, зто уравнение дает выражение вида — = сОпз1'го (35,6) Переходя теперь к пределу г, — ь О, находим, что В/А -ь О (напоминаем, что з, ) а,). Таким образом, из двух расходящихся в начале координат решений уравнения Шредингера (35,1) должно быть выбрано то, которое обращается в бесконечность менее быстро: В А —, 1 г1 $11 (35,7) Пусть теперь у ) 1/4.
Тогда з, и а, комплексны1 1 .ъ 1 +1 7 Я 1г 4 ° Эз 31 ° При г = го функция Й и ее производная Н' должны быть непрерывными функциями. Удобно написать одно из условий в виде условия непрерывности логарифмической производной от ГВ. Это приводит к уравнению п»данна ч»стнць> н» цвнтг » э«1 149 Повторяя предыдущие рассуждения, снова придем к равенству (35.6), которое при подстановке значений з, и з» дает — = сопз1 го В >я«» — > (35,8) При 㻠— » 0 это выражение не стремится ни к какому бпределен. ному пределу, так что прямой переход к пределу г, — 0 невозможен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
