Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 23
Текст из файла (страница 23)
— М + 1), (27,13) (М) Е,з(М вЂ” 1> — (М вЂ” ! ! Ез(М> = — — )l (Е.+М)(Е.— М+1). Обратим внимание на отсутствие диагональных элементов в матрицах величин Е„Е.п. Поскольку диагональный матричный элемент дает среднее значение величины в соответствующем состоянии, то зто значит, что в состояниях с определенными значениями Е, средние значения Е.„Ез = О. Таким образом, если имеет определенное значение проекция момента на какое-либо направление в пространстве, то в этом же направлении лежит и весь вектор 1.. ') В обозначениях матричных элементов мы опускаем для краткости асе индексы, по которым онв диагональны <в том числе индекс Е). з) Выбор знака в этой формуле согласован с выбором фазовых миожителед в собсгвеннык функциях момента, !гл.
н МОМЕНТ ИМПУЛЬСА !!3 $ 28. Собственные функции момента где Ф (ч) — собственные функции оператора 1„определяемые формулой (2?,3). Поскольку функции Ф„уже нормированы условием (2?,4), то 6, должны быть нормированы согласно условию ) !О!ы,(оз!ПОбО = !. о Функции У,„с разлнчнымн 1 или и автоматически оказываются взаимно ортогональными: ) ~ У~ ° У~ з!п 0 М с(ф = бп 8 (28,3) о о как собственные функции операторов момента, соответствующие различным собственным значениям. В отдельности ортогональны также и функции Ф (ф) (см.
(2?,4)) как собственные функции оператора 1„соответствующие различным его собственным значениям гл. Функции же Й~ (О) сами по ссбс нс являются собственными функциями какого-либо из операторов момента; овн взаимно ортогональны при различных 1, но не при различных гп. Наиболее прямой способ вычисления искомых функций есть непосредственное решение задачи об отыскании собственных функпий оператора !', Написанного в сферических координатах (формула (26,!б)).
Уравнение !оф = !оф гласит: О ав (,з!п 0 аз ? + †., Π†„ + 1(1 + !) ф = О. (28,2) Заданием значений 1 н гл волновая функция частицы не определяется полностью. Это видно уже из того, что выражения для операторов зтих величин в сферических координатах содержат. только углы 0 н ч, так что их собственные функции могут содержать произвольный, зависящий от г множитель.
Мы будем рассматривать здесь только характерную для собственных функций момента угловую часть волной функции. Обозначим ее кан У, (О, ~р) и нормируем условием 11У, !Чо=! (с(о =- гбп ОНОŠ— элемент телесного угла). Как показывают дальнейшие вычисления, задача об определенин общих собственных функций операторов !' и 1, допускает разделение переменных О и ~, и зти функции можно искать в виде У,„= Ф„,(ч) Е,„(0), (28,!) сОБстбенные Функции моментв $22! Подставив в зто уравнение ф в виде (28,1), получим для функции 8, уравнение 2,.„0 щ (з1пй — 0) — —,0 8„„+1(!+1)8, =О.
(28,4) Это уравнение хорошо известно из теории шаровых функций. Оиа имеет решения, удовлетворяющие условиям конечности и однозначности, при целых положительных значениях 1)~ ~ лг !, в согласии с полученными выгне матричным методом собственными значениями момента. Соответствующие решения представляют собой так называемые присоединенные полиномы Лежандра Рг (соз 0) (см.
5 с математических дополнений), Нормируя решение условием (28,2), получим ') Здесь предполагается, что лг ) О. Для отрицательных лг определим 8, соотношением 8Н 1м1= ( — 1) 8г1т1, (28,6) т. е. 8, с лг ( О дается формулой (28,6), в которой надо написать ! гн ) вместо т и Опустить множитель ( — 1)'". Таким образом, собственные функции момента оказываются, с математической точки зрения, определенным образом нормированными сферическими функциями. Выпишем, для удобства дальнейших ссылок, полное их выражение, учитывающее все уиазанные определения: м+1 м 1 (28,7) В частности, У~з = гг р' 4 Р~ (соз9).
(28,8) Очевидно, что функции, отличающиеся знаком лт, связаны друг с др угом соотно шеи и я ми ( — 1)' ~'н = 'г'г, (28,8) '1 Выбор фззового множители, разумеется, не определяется условием нормировки. Определение, которым мы будем пользоваться в втой книге, наиболее естественно с точки зрения общей теории сложения моментов; оно отличается от обычно применяемого множителем Р. Преимущества такого выбора будут очевидны нз примечаний на стр.
270, 505, 515. (гл. «У 120 момент импульсА При 1 =- 0 (так что и т = 0) шаровая функция сводится к постоянной. Другими словами, волновые функции состояний частицы с равным нулю моментом зависят только от г, т. е. обладают солио10 шаровой симметрией — в соответствии со сделанным в (г 27 общим утверждением. При заданном т значения 1, начинающиеся с ! пг (, нумеруюв последовательные собственные значения величины !' в порядке нх возрастания. Поэтому на основании общей теоремы о нулях собственных функций Е 21) мы можем заключить, что функция <', обращается в нуль при 1 — ) гц ) различных значениях угла О; другими словами, она имеет в качестве узловых линий 1 — ~ и1 «кругов широт» шара.
Что касается полных угловых функций, то, если выбрать их с вещественными множителями соз пггр или з|п игр вместо еьг)а'1е'), они будут иметь в качестве узловых линий еще ( и ( «меридианных кругов»; общее число узловых линий будет, таким образом, равно 1. Наконец, покажем, каким образом можно вычислить функции 6, матричным методом. Это далается аналогично тому, как были вычислены в 2 23 волновые функции осциллятора.
Исходим из равенства (27,8) 1„ГИ = О. Воспользовавшись выражением (26,15) для оператора 1„и подставляя Ъ ц = — 2вц Оц(О), 1 Уг2Л получаем для Оц уравнение — — 1с(п О (Оц = О, «(Оц откуда Оц —— сопз1 з(п' О. Определив постоянную из условия нормировки, получим Вц — — ( — 1)' —,з1п'О. (21 + 1) 1 1 (28,10) Далее, используя (27,12), пишем 1-) ь т+1 (1-)т,т+1) ~т ( Повторное применение этой формулы дает: т) Каждая такая функция соответствует состоянию, в котором )а не имеет определенного аначения, а может иметь, с равной веронтвостыо, значения ч-т. $991 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРОВ 18! Вычисление правой части равенства легко производится с помощью выражения (26,!5) для оператора 1, согласно которому 1 ()'(8)ег"е) =е'! -')РЕ1п! 8,, (!'Е1п 8).
Повторное применение этой формулы дает (' епейн = е""" з(п 8 ", (з!п'8 Вп). (г( соз О) ' Наконец, используя эти соотношения и выражение (28,10) для 8!1, получим формулу !с) 8 ( у ~1 '1 (!+~) 1 1 ~ з)пи8 (! гл) 1 2'! ! зпз~ 0 (т(созв)' (28, П) совпадающую с (28,5). 9 29. Матричные элементы векторов Рассмотрим снова замкнутую систему частиц '), и пусть | есть любая характеризующая ее скалярная физическая величина, а ) — соответствующий этой величине оператор. Всякий скаляр инвариантен по отношению к повороту системы координат. Поэтому скалярный оператор 1 не меняется под влиянием операции поворота, т.
е, коммутирует с оператором поворота. Но мы знаем, что оператор бесконечно малого поворота с точностью до постояннога множителя совпадает с оператором момента, так что (~, )=8. (29,!) Из каммутативности )' с операторам момента следует, что матрица величины ( по отношению к переходам между состояниями с определенными значениями Е и М диагональна по этим индексам.
Более того, поскольку задание числа М определяет лишь ориентацию системы по отношению к координатным осям, а значение скалярной величины от этой ориентации вообще не зависит, то можно утверждать, что матричные элементы (!т'ЕМ ! !" ( пЕМ) не зависят от значения М (буквой и условно обозначена совокупность всех остальных, помимо Е и М, квантовых чисел, апределяющих состояние системы).
Формальное доказательство этого т) Все результаты этого пярвгрвфа справедливы я для частицы в центральноснмметрвчном поле (вообпге всегда, когда нмеет место сохранение полного мотнппа системы), !гл, ш момент импэльса !22 утверждения можно получить, воспользовавшись коммутативпостыл операторов 1 и Е,: Ц,— Е,! =9. (29,2) Напишем матричный элемент этого равенства для перехода и, Е, М- и', 1., М +1. Учитывая, что матрица величины Е имеет только элементы с и, Е, М -~ и, Е, М + 1, находим (а', 1., М+ 1!1'!и, Ь., М+ 1) <в, 1., М+ 1(1.,~п, 1., М) = = (п', Е, М+ 1~ Е,~п', Е, М) (и', 1., М )1(п, Е., М), н поскольку матричные элементы Е, не зависят от индекса и, то (и', 1., М+11!!и, Е, М+1) =(и', Е, М~7~а, 1., М), (29,3) откуда следует, что вообще все (п', Е, М ~ Г'! и, Е, М > с различными М (и одинаковыми остальными индексами) равны между собой.
Если применить этот результат к самому гамильтониану, то мы получим известную уже нам независимость энергии стационарных состояний от М, т. е. (2Ь -!- !)-кратное вырождение энергетических уровней. Пусть, далее, А — некоторая векторная физическая величина, характеризующая замкнутую систему. При повороте системы координат (в частности, бесконечно малом повороте, т. е. при воздействии оператора момента) компоненты вектора преобразуются друг через друга. Поэтому и в результате коммутирования операторов Е, с операторами А, должны получиться вновь компоненты того же вектора Аь Какие именно — можно найти, замечая, что в частном случае, когда А есть радиус-вектор частицы, долисны получиться формулы (29,4).
Таким образом, находим правила коммутации: (Еь Аь) = (е;ыАн (29,4) Эти соотношения позволяют получить ряд результатов относительно формы матриц компонент вектора А(М. Борн, В. Гейзенберг, П. Иордан, 1926). Прежде всего оказывается возможным найти правила отбора, определяющие, для каких переходов матричные элементы могут быть отличны от нуля. в4ы, однако, не станем приводить здесь соответствующих, довольно громоздких, вычислений, поскольку в дальнейшем выяснится 5 !07), что эти правила являются в действительности непосредственным следствием общих трансформационных свойств векторных величин н могут быть получены из них по существу без всяких вычислений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
