Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Решение, конечное при к = 1 (т. е. при х = ов), есть ф = (1 — й')" г (в — зв е+ 3+ 1, 3 + 1, (! $)/2), Ггл гн УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Для того из обы ~р оста ввлось конечным и при 5 = — ! (т. е. при х = — ао], должно быть е — з = — и, где и = О, !, 2, ... (тогдз г есть полипом степени и, ког нечный при ~= — !). Таким образом, уровни энергии определяются условием з — в = и, откуда А'и' ! втгг„)' (! +2л)+ ~~г 1+ ь и Зщ азт1з Имеется конечное число уровней, определяемое условием е ) О, т, е, л ( з, $24.
Движение в однородном поле Рассмотрим движение частицы в однородном внешнем поле. Направленне поля выберем в качестве оси х, и пусть Е есть сила, действующая в поле на частицу; в электрическом поле напряженности Е эта сила равна Е = еЕ, где е — заряд частицы. Потенциальная энергия частицы в однородном поле имеет вид (! = — Ех + сопз(; выбирая постоянную так, чтобы было (г' = О при х = О, имеем (г' = — Ех. Уравнение Шредингера рассматриваемой задачи имеет вид — „з + — „, (Е + Ех) ф = О.
язв' 2гп (24,1) (24,2) Тогда уравнение (24,!) принимает вид Ф" + еф= О. (24,3) Это уравнение вовсе не содержит параметра энергии. Поэтому, получив его решение, удовлетворяющее необходимым условиям конечности, мы тем самым получим собственную функцию для произвольных значений энергии, Решение уравнений (24,3), конечное при всех х, имеет вид (см.
$ Ь математических дополнений) ф($) = АФ( — $), (24,4) Поскольку (з' стремится к +оо при х — — сю и (Т - — оо при х — +оо, то заранее очевидно, что уровни энергии образукп непрерывный спектр, заполняющий весь интервал значений от — оо до +со. Все эти собственные значения не вырождены и соответствуют движению, финитному со стороны х = — оо и инфиннтному в направлении х — + оо, Введем вместо координаты х безразмерную переменную движение в однородном полн где ОЭ Ф Д) = —. ) соз ( — + и$) г(и е есть так называемая функция Эйрн, а Л вЂ” нормировочный множитель, который мы определим ниже.
При К -в — оо функция ф Д) стремится к нулю экспоненциально. Асимптотическое выражение, определяющее ф ($) при больших по абсолютной величине отрицательных значениях имеет вид (см. (Ь, 4)) А з 2 3/з ф($) ж — е 2151пе (24,5) (24,5) Согласно общему правилу (5,4) нормировки собственных функций непрерывного спектра, приведем функции (24,4) к нормированному на б-функцию от энергии виду ) зрйИК'М = 5(Е' — Е). (24,7) В 2 21 был указан простой способ определения нормировочного коэффициента с помощью асимптотического выражения волно- вых функций. Следуя этому способу, представляем функцию (24,6) в виде суммы двух бегущих волн: фФ /4 ~ехр~((з в 4))+ехр~ — е~з ~ Гф Плотность потока, вычисленная для каждого из этих двух чле- нов, есть ') Отметим, забегая вперед, что асямптотнческяе выражения (24,5) н (24,б) как раз соответствуют квазяклассяческнм выраженням волновой функции в класснческн недоступной н доступной областях 6 47).
При больших же положительных значениях $ асимптотическое выражение функции ф Я) будет следующим (см. (Ь, 5) '): (гл. цт пплвнвнив шпвдингвпа !02 Приравняв ее 1(2пй, находим А= (2гп)~(э п«рпеа»м . (24,8) Зпднче р" и' Н = — — ИŠ—, 2гп ид ' тэн что уравнение Шредингера для волновой функпнн а (р) имеет внд и'а г р' — ИŠ— + ~ — — Е)а= О. нд 'т 2)п Реп>пь это уревненне, получим искомые функппн Этн функппн нормированы условием +Ф ) па (р) пп. (р)Ф=Е(Š— Е).
й 25. Коэффициент прохождения Рассмотрим движение частиц в поле изображенного на рис. 5 типа: У (х) монотонно возрастает от одного постоянного предела ((l = 0 при х — оо) до другого ((>' = У, при х + ). Согласно классической механике частица с энергией Е ' (>'„движущаяся в таком поле слева направо, дойдя до потенциальной стенки, отрахеается от нее, начиная двигаться в обратном направлении; если же Е ) Уе, то частица продолжает двигаться в прежнем направлении с уменьшенной скоростью.
В квантовой механике возникает новое явление — даже при Е ) (>е частица может отразиться от потенциальной стенки. Вероятность отражения должна вычисляться в принципе следующим образом. Пусть частица движется слева направо. При больших положительных значениях х волновая функция должна описывать частицу, прошедшую «над стенкой» и дни>кущу>осп в положительном направлеяии оси х, т. е. должна иметь асимптотическпй вид » *: э А ', «,= — у« (Я вЂ” еп (25,1) » Определить волновые функпнп в импульсном предетнвленнн для чветнпы в однородном поле.
Р е ш е н н е. Гамнльтоннэн в импульсном предстанленнн % ббб каэФФициент пРОхОждения 1ОЗ (А — постоянная). Найдя решение уравнения Шредингера, удовлетворяющее этому предельному условию, вычисляем асимптотическое выражение при х — — оо; оно является линейной комбинацией двух решений уравнения свободного движения, т. е. ил1еет вид Ве бл' Р = — ~/2тЕ ° (25 2) 1 (25,3) Аналогично можно определить коэффициент Отражения В как отношение плотности отраженного потока к падающему; очевидно, что В = ! — Ви В = (В ~' = ) — ф ~ А !' (25А) (это соотношение между А и В выполняется автоматически в силу постоянства потока вдаль оси х). Если частица движется слева направо с энергией Е ( У„ то яб чисто мнимо и волновая функция экспоненциально затухаев при х -~-+оо. Отраженный поток равен падающему, т.
е. происходит полное отражение частицы от потенциальной стенки. Подчеркнем, однако, что и в этом случае вероятность нахождения частицы в области, где Е ( О, все же отлична от нуля, хотя и быстро затухает с увеличением х. В общем случае произвольного стационарного состояния (с энергией Е = Уб) асимптатический вид волновой функции как при х — — оо, так и при х -~.
+оо представляет собой сумму двух волн, распространяющихся в абе стороны оси х: ф = А ен'э+В е а%э при х ф=А,е"*'+В,е "*" при х-л+оо. (25,5) Первый член соответствует падающей на стенку частице (предполагаем ф нормированной таким образам, чтобы коэффициент при этом члене был равен единице); второй же член изображает отражен- У Ур~ ную от стенки частицу.
Плотносгь э потока в падающей волне пропорциональна й,, в отраженной: й, ) В !б, а в прошедшей: й, ~ А )'. Определим коэффициент прохождения 0 час- е тицы как отношение плотности пото- Рис. з ка в прошедшей волне к плотности потока в падающей: КОЭФФИНИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ Задачи 1. Определить коэффициент отражения частицы от прямоугольной потенциальной стенки (рис. 6); энергия частицы Е ) (4. Р е ш е н и е. Ва всей области х ) 0 волновая функция имеет внд (25,1), а в области х ( 0 — (25,2). Постоянные А н В определяются нз условия непрерывности ф и йфи(х при к = 0: !+В=А, йт(1 — В)=йзА, откуда В= йз — йз = й,+й, 2ет А= й,+й,' Коэффяциент отражения (25А) ') ( й, — йз Хе г р, — ре 1з При Е = (4 (йз = О) г( обращается в единицу, а прн Š— со стремится к нулю как В = (Щ4Е)е, Рис. 7 Рис.
6 2. Определить коэффициент прохождения частицы через прямоугольный потенциальный барьер (рис. 7). Р е ш е н и е. Пусть Е ) Уе н падающая частица движется слева направо, Тогда имеем для волновой функции в различных областях выражения вида (со стороны х ) а должна быть только прошедшая волна, распространяющаяся в положительном направлении оси х). Постоянные А, В, В', С определяются из условий непрерывности ф н бонх в точках к = О, а.
Коэффициент прохождь ') В предельном случае классической механики хоэффицнент отражения должен обратиться в нуль. Между тем полученное выражение вовсе не содержит квантовой постоянной. Это кажущееся противоречие разъясняется следующим образом. Классическому пределу соответствует случай, когда дебройлевская длина волны часпщы Х Ь7р мала по сравнению с характеристическими размерами задачи, т. е. по сравнению с расстояниями, на которых заметно меняется позе У (х). В рассматриваемом же схематическом примере это расстояние равно пулю (о точке х = О), так что предельный переход не может быть произведен.
прн х(0; при0(х~а: при х)а; 1р= ееь*х + Ае 1р= Ве'а*'-(- В е ф Сегь1х (ГЛ. гг! уРАВнение тпРедингеРА )06 иия определяется как (г = Гг, (С(г!«г = )С)'. Вычисление приводит к результату: 4«г«г («г! — «г) г г!пг а«г + 4«г«г г' При Е ( (ге «, — чисто мнимая величина; соответствующие выражеиия для !) получаются замахай «г иа гхг, где йхг р' 2т ((гг — Е); 4«гхг к) = ! 2 («г+хг) зЬ'ахг+ 4«,хг 3. Определить козффициеит отражения частипы от потеипиальиой стеикиг определяемой формулой и(к) = и,!()+е ) (см.
рис. 5)! эиергия частицы Е ~ (гш Р е ш е и и е. Уразиеиие Шредингера гласит: Мн должны найти решеиие, которое при к - + оо имеет вид ф = сопя!.е Вводим иовую переменную — ат (пробегающую зиачеиия от — оа до 0) и ищем решение в виде: гь — ге,/а (гь) где ш (г) стремится к постоянной при я — О (т. е. при и -ь ео).
Для ю (я) получаем уравнение гипергеометрического типа ь (! — ь) м + ( 1 — — «, ) (! — ь) м + — г («г — «!) ш = О, 2! ! г г имеющее решением гипергеометрическую фуикпию Г 2! («1 г) («1 + «г) «г+ ! (востояииый множитель ие пишем). При 5 -ь О зта функция стремится к г, т. е. удовлетворяет поставленному условию. Асимптотический вид фуикпии ф при я — — со (т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
