Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Очевидно, что е1д~еи,н, = 2бпн, еннеим 6. Компоненты вектора С [АВ[, являющегося векторным произведением двух векторов А н В, могут быть написаны с помощью тензора егдг в виде Сг = егдгт(дно [гл гр момент импульса Таким образом, ($ $ ) 1$'„, ((„(„) = 2Г„, ($„(„) = (Гг (26,6) или ($н 12) =!ег„,гп ("6,7) В точности такие же соотношения имеют место и для операторов 2'.„, Ер, Е, полного момента системы. действительно, посколькУ операторы моментов различных частиц коммутативны друг с другом, то, например, Е $.
Е $.* — Е (.; Е $., = Е ($.,1., — $.,(хр) = $ Е $'.х Таким образом, )$2 (г) =г(х )(гг (х) =Ы.р~ ($.х, 12) =$(г (268) Соотношения (26,8) показывают, что три компоненты момента не могут одновременно иметь определенные значения (за исклю- чением только случая, когда все три компоненты одновременно равны нулю — см. ниже). В этом отношении момент существенно отличается ат импульса, у которого три компоненты одновременно измеримы. Из операторов 6„, Ер, К, составим оператор квадрата абсолют- ной величины вектора момента: $2 $2+~2+~2 (26,9) Этот оператор ком гутативен с каждым из операторов Е„, Ер, Е,: ($-' йх) = Ог 1$.2 Е.р) = 0* ($.'г Е.г) = 0 (26 10) Действнтельйо, используя (26,8), имеем, например, (г'.„Е.,) = Х„(Кх, Хг) +(Х„Е.,)Х, = — Х(Кг(.2+ КУХх), Кр, 7.,) = $(КЯр+Х21.,), К,', $.,) =о.
Складывая эти равенства, получим последнее из соотношений (26,10). Физически соотношения (26,10) означают, что квадрат момента (т. е. его абсолютная величина) может иметь определенное зна- чение одновременно с одной из его составляющих. Вместо операторов Е„, Кр часто бывает удобнее пользоваться их комплексными комбинацйямн $'+ ~'х+$(р ~- (х (~р (26,11) Легко убедиться прямым вычислением с помощью (26,8), что для !27! СОЗСТВЕННЬ|с ЗНАЧЕНИЯ МОМЕНТА получим после простого вычпсленпя следующие выражения: 1,= — ! —, д (26,14) 1 =е !х+ — +1с(ой — ) все~ д .
дх ( — дв ь др ) ° (26,15) Подставив их в (26,13), получим оператор квадрата момента ча- стицы в виде 1 = — [ —.' — "'. + — '-'- ( ! Π— ') ] (26,16) Обратим внимание на то, что это есть, с точностью до множителя, угловая часть оператора Лапласа. $27. Собственные значения момента Для определения собственных значений проекции момента импульса частицы на некоторое направление удобно воспользоваться выражением для ее оператора в сферических координатах, выбрав полярную ось вдоль рассматриваемого направления. Согласно формуле (26,14) уравнение 1,ф = 1ф запишем в виде — ! — =1ф. . дф дер= с (27,1) Его решение есть 1(г О)и г где 1 (г, О ) — произвольная функция от г и О. Для того чтобы функция тР была однозначной, необходимо, чтобы она была периодична по ср с периодом 2н. Отсюда находим ') 1,=лт, па=О, ~1, ~2,.„ (27,2) ') Общепринятое обозначение собственных значений проекции момента буквой яе — той же, которой обозначается масса частицы, — фактически не может привести к недоразумениях!.
этих комбинаций справедливы следующие правила коммуташш; (Х„1. ) = 21.„(1,„1.,) = 1.„, (1.„1. ) = 1.. (26,12) Нетрудно также проверить, что 1. =1„1 + (.т — 1., =-1 1.,+ 1.,+1, (26,!3) Наконец, выпишем часто используемые выражения для оператора момента отдельной частицы в сферических координатах. Вводя последние согласно обычным соотношениям х=гз!пбсозср, у=гз!НОЕ!Нф, а=гсозб, 1гл 1У МОМЕНТ ИМПУЛЬСА 114 Таким образом„собственные значения 1, равны положительным и отрицательным целым числам, включая значение нуль.
Зависящий от р множитель, характерный для собственных функций оператора 7„обозначим посредством Ф (~р) = =е' '~. Ш (27,3) Эти функции нормированы так, что ~ Ф ((р)Ф ° (~р)йр = б о (27,4) Собственные значения г-компоненты полного момента системы, очевидно, тоже равны положительным и отрицательным целым числам: ь,=М, М=0„~1, ~2, (27,5) 7., = 7.У = 7., = 0; в этом случае вектор момента импульса, а поэтому и его проекция на любое направление равны нулю. Если же хотя бы одно нз собственных значений Ь„, (.у, 7., отлично от нуля, то общих собственных функций у соответствующих операторов нет. Другими словами, ие существует такого состояния, в котором дее или три составляющие момента по различным направлениям имели бы одновременно определенные (отличные от нуля) значения, так что мы можем говорить лишь о целочисленности одной пз них. Стационарные состояния системы, отлича|сщнеся только значением М, обладают одинаковой энергией — это следует уже из общих соображений, связанных с тем, что направление оси г заранее ничем не выделено.
Таким образом, энергетические уровни (это следует из того, что оператор Х, есть сумма коммутативных друг с другом операторов Г, для отдельных частиц). Поскольку направление оси г заранее ничем не выделено, то ясно, что тот же результат получится для 7.„, (.у, и вообще для составляющей момента по любому направлению, — все они могут принимать лишь целые значения. Этот результат может показаться, на первый взгляд, парадоксальным, особенно, если применить его к двум бесконечно близким направлениям.
В действительности, однако, надо иметь в виду, что единственная общая собственная функция операторов 7.„, (.у, Х, соответствует одновременным значениям й зт) СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МОМЕНТА системы с сохраняющимся (отличным от нуля) моментом во всяком случае вырождены '). Перейдем теперь к отысканию собственных значений квадрата момента и покажем, каким образом можно найти эти значения, исходя из одних только правил коммутации (26,8). Обозначим посредством фм волновые функции стационарных состояний с одинаковым значением квадрата !.з, относящихся к одному вырожденному уровню энергии и отличающихся значением М '). Прежде всего замечаем, что поскольку оба направления оси г физически эквивалентны, то для каждого возможного положительного значения М = (М ( существует такое же отрицательное М = — ) М (.
Обозначим посредством 7 (целое положительное число или нуль) наибольшее возможное (при заданном !.з) значение (М (. Самый факт существования такого верхнего предела следует нз того, что разность Г' — с,.' = (.,' + х".„' есть оператор существенно положительной физической величины Т.л+ 7я, и потому его собственные значения не могут быть отрицательными.
Применив оператор Т.,Г. к собственной функции фм опера тора (., и воспользовавшись правилами коммутации (26,!2), получим (27,6) Отсюда видно, что функция 7. фм есть (с точностью до нормировочной постоянной) собственная функция, соответствующая значеншо М ~ ! величины (., фм„= сопя!. Елфы фзг х — сопз! (. фзг. (2?,7) ') Эго обстоятельство является частным случаем указанной в й 1О общей теоремы о вырождении уровней прв налвчян по крайней мере двук сохраняющяхся величин с некоммутнрующямя операторами.
Здесь такнмв велнчннамя являются компоненты момента. ') Здесь подразумевается, что нет ннкзкого дополннтельного вырождеянн, прнводящего к одннзкоаостн значеяяй знергня пря различных зяаченявх квадрата момента. Это справедлнво для днскретного спектра (за нснлюченнем случая так называемого «случайного вырожденнял в кулоновом поле, см, Е Зб) н, вообще говоря, несправедлнао для знергетяческнх уровней непрерывного спектра.
Однахо я прн наличии дополнятельного вырождения всегда можно выбрать собственные функции так, чтобы оня соответствовали состояниям с опредсленнымн значеннямя ьз, н нз ннх затем выбрать состояння с одннаковыл~я значеннямя Е н ьз. Математически зто выражается з том, что матрицы коммутатявных операторов всегда можно привести одновременно к днагональному виду. В дальнейшем мы будем в авалогячных случанк для нраткостн говорить так, как еслн бы нвкакого дополнительного вырожденян не было, нмея в виду, что получаемые результаты в действительности, согласно сказанному, пт етого предположения ве зависят.
1гл. пг !!б момент имп»льса Если в первом из этих равенств положить М = Е, то должно быть тождественно Е,ф,=о, (27,8) поскольку состояний с М ) Е, по определению, нет. Применяя к этому равенству оператор Е и воспользовавшись равенством (26,13), получим Š— Е--фь = (" — Е*' — Е,) ф = О. Но поскольку фм — общие собственные функции операторов Е' н Е„то -г 1,фь=Е фы Е,фс=Ефы Е»фс=Ефы так что полученное уравнение дает Е» = Е (1. + 1). (2?,9) Формулой (27,9) определяются искомые собственные значения квадрата момента; число Е пробегает все целые положительные значения, включая значение нуль. При заданном значении числа Е компонента Е, = М момента может иметь значения М = 1., Š— 1, ..., — 1., (27,10) т.
е. всего 2Е + 1 различных значений. Уровень энергии, соответствующий моменту Е, таким образом, (2Е + 1)-кратно вырожден; об этом вырождении обычно говорят как о вырождении по направлениям момента. Состояние с равным нулю моментом, Е = О (при этом все его три компоненты равны нулю), не вырождено. Отметим, что волновая функция такого состояния сферически-симметрична; это ясно уже из того, что ее изменение при любом бесконечно малом повороте, даваемое выражением Ьр, обращается в данном случае в нуль. Мы будем часто говорить для краткости, как это принято, о «моменте Е» системы, подразумевая при этом момент с квадратом, равным Е (Е + 1); о г-компоненте же момента говорят обычно просто как о «проекции момента». Момент одной частицы будем обозначать малой буквой 1, т.
е. будем писать для нее формулу (27,9) в виде 1' = 1 (1 + 1). (27, 11) Вычислим матричные элементы величин Е„и Е» в представлении, в котором, наряду с энергией, диагональны Ь» и Е, (М. Вота, Ч7. Не1»епбега, Р. Хог!(ал, 1926). Прежде всего замечаем, что поскольку операторы Е„, Е„коммутативны с гамильтонианом, совставнныи значения момвнтл 1)7 то их матрицы диагональны по отношению к энергии, т.
е. все матричные элементы для переходов между состояниями с различной энергией (и различными моментами Е) равны нулю. Таким образом, достаточно рассмотреть матричные элементы для переходов внутри группы состояний с различными значениями М, соответствующих одному вырожденному уровню энергии. Из формул (27,7) видно, что в матрице оператора Е, отличны от нуля только элементы, соответствующие переходам М вЂ” 1- М, а в матрице оператора Е. — элементы с М - М вЂ” 1. Учитывая это, находим диагональные матричные элементы в обеих сторонах равенства (26,13) и получаем ') Е. (Е + 1) = ( М ) Е„( М вЂ” 1) < М вЂ” 1 ( Е.
( М > + М' — М, Замечая, что в силу эрмптовости операторов Е,„Е,з (М вЂ” 1)Е, (М> = <М) Е,,(М вЂ” 1)з, переписываем это равенство в виде ) (М ! Е., ! М вЂ” 1) !Я = Е. (Е. + 1) — М (М вЂ” 1) = (Е.— М + 1) (Е + М), откуда ') <М)Е.,~ — >=<М вЂ” ) )М>= '( +М)( — М+ ). (2?,12) Для отличных от нуля матричных элементов самих Е„и Е,а отсюда имеем <М ( Е.„(М вЂ” 1> = (М вЂ” 1)Е,„) М> = — )г'(Е.+ М)(Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
