Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Волновые же функции, соответствующие одному и тому же вырожденному уровню энергии, не обязательно вещественны, но путем а) Эти утаерхсденин не справедливы дли систем, находящих«и в магнитном ноле, 1гл. гп ю квинция шгндиигснл соответстауинцего выбора их линейных комбинаций всегда можно получить набор вещественных функций. Полные же (зависящие от времени) волновые функции Ч' определяются уравнением, в коэффициенты которого входит 1. Это уравнение, однако, сохраняет свой вид, если в нем заменить 1 на — 1 и одновременно перейти к комплексно сбпряжениому ').
Поэтому можно всегда выбрать функции Ч' такими, чтобы Ч' и Ч'» отличались только знаком у времени. Как известно, уравнения классической механики не меняются прн обрашднии времени, т. е. при изменении его знака. В квантовой механике симметрия по отношению к обоим направлениям времени выражается, как мы видим, в неизменности волнового уравнения при изменении знака 1 и одновременной замене Ч' на Ч'". Надо, однако, помнить, что эта симметрия относится здесь только к уравнениям, но не к самому понятию измерения, играющему фундаментальную роль в квантовой механике (как об этом подробно шла речь в 9 7), 9 19. Плотность потока В классической механике скорость частицы ч связана с ее импульсом соотношением р = птн.
В квантовой механике, как и следовало ожидать, такая же связь имеет место между соответствующими операторамн. В этом легко убедиться, вычислив оператор н = г по общему правилу дифференцирования операторов по времени (9,2): и = — (Нг — гН). а Воспользовавшись выражением (17,5) для Й и формулой (16,5), получим У=— (19,1) Такие же соотношения будут, очевидно, иметь место и между собственными значениями скорости и импульса и между мх средними значениями в любом состоянии. Скорость, как и импульс частицы, не может иметь определенного значения одновременно с ее координатами.
Но скорость, умноженная на бесконечно малый элемент времени Ж, определяет смещение частицы за время Ж. Поэтому факт несуществования скорости одновременно с координатами означает, что если частица т] Прелползгзетсн, кто потенпнзльнзя внергня ГГ не зависит явно от времени — снстемя либо ззмкнутв, либо находится в постоянном (не мзгннтиом) поле. ПЛОТНОСТЬ ПОТОКА Ф 1Е1 79 находится в Определенной точке пространства в некоторый момент времени, то она не будет иметь определенного положения уже в следующий бесконечно близкий момент времени. Отметим полезную формулу для оператора 1 производной по времени от некоторой величины 1(г), являющейся функнией радиуса-вектора частипы. Имея в виду, что 1 коммутативно с (/ (г), находим 1= А (Н1 !Н)= —,„„,М 1р) С помощью (1б,4) пишем Р1 Р(1Р 1й'Р1) 1Р (Р1+ 1йЮР и находим искомое выражение 2т (р 1+ (19,2) Далее, найдем оператор ускорения.
Имеем 1 ч = — „(Нч — и Н) = — „(Нр — рН) = — „((7р — р(7). Воспользовавшись формулой (16,4), находим тч = — ПУ. (19,3) и использовав тождество Ч'ДЧ" — Ч'жЛЧ" = б( (Ч'17Ч'* — Ч '(П)т)л получим Л ) 1 Ч" Г У = — ~Ла ч ) 6)79 Это операторное уравнение по форме в точности совпадает с урав. пением движения (уравнением Ньютона) классической механики.
Интеграл ) ~ Ч'~жпУ, взятый по некоторому конечному объему Р, представляет собой вероятность нахождения частицы в этом объеме. Вычислим производную от этой величины по вре. мени. Имеем ~ ~ ~р ~ь,()7 ~ (~у<'" ( ~уж~~ ),у 1 ~ руце(гж ужц~р)1()7 Подставив сюда А~ Ц Цж А +(7(» р «) 2т Ггл гн УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА где 1 обозначает вектор ') ) = — (Ч'пгаб Чге — Ч'е дгаб Ч") = — (Ч'раЧ'*+ Ч'*рЧ'). (19,4) 2аг 2т Интеграл от г)1ч ) может быть преобразован, согласно теореме Гаусса, в интеграл по замкнутой поверхности, окружающей объем У: —,', ~ ~ Ч 1е (Р = — ~ ) !1. (19,5) аналогичному классическому уравнению непрерывности.
Волновая функция свободного движения — плоская волна (17,9) — может быть пронормирована так, чтобы она описывала поток частиц с равной единице плотностью (поток, в котором через единичную площадку его поперечного сечения проходит в среднем по одной частице в единицу времени). Такая функция — — <ег-рг1 Ч'= =е * (19,7) где и — скорость частицы. Действительно, подставив ее в (19,4), получим ) = р)ти, т. е. единичный вектор в направлении движения. Полезно показать, каким образом непосредственно из уравнения Шредингера следует взаимная ортогональность волновых функций состояний с различной энергией. Г!усть Ч и ф„ — две такие функции; они удовлетворяют уравнениям ла — 2 — бфм+(7ф,. = Е Ч„, ла ° — — йф. + (7ф. = Еафа.
2ги Ч Псии представить Ч в виде 191гг", то А 1 = — ! 4 1' егад а. гп (!9.4а) Отсюда видно, что вектор ) может быть назван вектором ллогпности потока вероятности или просто плотностью потока. Интеграл от этого вектора по поверхности есть вероятность того, что в течение единицы времени частица пересечет эту поверхность. Вектор ) и плотность вероятности ~ Ч' !в удовлетворяют уравнению — + г)гч1= О, д1Ч'1а вленлционныи пгинцип умножнм первое нз них на>р„', а второе — на >р и вычтем почленно друг из друга; это дает а» ы * (Ет — Е») рт'р» —— 2 ('р»»»»>р» — >г»»»>рт) = — мйч(~)>»>»>р» — >р»»>>1»,). Если теперь проинтегрировать обе стороны уравнения по всему пространству, то правая сторона, будучи преобразована по теореме Гаусса, обратится в нуль, и мы получим (Ет — Е») ~ >рог~ а>1> = О, откуда, ввиду предполагаемого Е -ь Е„, следует искомое соотношение ортогональности ~ р„р„'л =О.
й 20. Вариационный принцип Уравнение Шредингера в общем виде Й>Р = Е»Р может быть полу:;но из вариационного принципа б ~ Р»(Й вЂ” Е)Р41=0. (20,1) Ввиду козшлексности >р варьирование по >р и >р" можно произ- водить незазнсимо. Варьируя по >Р*, имеем ~ б) (Й вЂ” Е) р Л~ = О, откуда, ввиду произвольности б»р*, получаем искомое уравнение Й»г = Е$. Варьирование по »р не дает ничего нового. Действи. тельно, варьируя по »р и воспользовавшись эрмитовостью опера- тора Й, имеем 1 >р* (Н вЂ” Е) б>)»(п = ~ б>р (Н* — Е) ф» Ид = О, откуда получается комплексно сопряженное уравнение Й*$* = Е>(>» Вариацнонный принцип (20,1) требует безусловного экстре- мума интеграла.
Его можно представить в другом виде, рассматри- вая Е как множитель Лагранжа в зада«е об условном экстремуме б ~ р*Й р ~д = О (20,2) при дополнительном условии ~ >1>Р*41 = 1. (20,3) Минимальное (при дополнительном условии (20,3)) значение интеграла (20,2) представляет собой первое из собственных зна- (гл.
и РРАВнании шрадингнРА з2 чений энергии, т. е. энергию Е, нормального состояния. Осуществляющая этот минимум функция тр есть соответственгго волновая функция фе нормального состояния '). Волновые же функции зр (и ) 0) следующих стационарных состояний соответствуют лишь экстремуму, а не истинному минимуму интеграла. Для того чтобы получить из условия минимальности интеграла (20,2) волновую функцию зйт н энергию Е, следующего после нор.
мального состояния, надо допускать в качестве конкурирующих функций ф только те, которые удовлетворяют не только условию нормировки (20,3), но и условию ортогональности к волновой функции туе ноРмального состоЯниЯ )з(нРег(д= О. Вообще, если известны волновые функции эре, зр„..., зр„х первых а состояний (состояння расположены в порядке возрастания их энергий), то волновая функция следующего состояния осуществляет минимум интеграла (20,2) при дополнительных условиях1 ) традд = 1, ~ фф йу = О, и = О, 1, 2, ..., п — 1.
(20,4) Приведем здесь некоторые общие теоремы, кото~ые могут быть доказаны на основании вариационного принципа ). Волновая функция тРе нормального состояния не обращается в нуль (или, как говорят, не имеет узлов) ни при каких конечных значениях координат а). Другими словами, она имеет одинаковый знак во всем пространстве. Отсюда следует, что волновые функции ср„(п ) 0) других стационарных состояний, ортогональные к тр„непременно имеют узловые точки (если Чз„— тоже постоянного знака, то интеграл ) тйетй„с(г) не может обратиться в нуль). Далее, из факта отсутствия узлов у ф, следует, что нормальный энергетический уровень не может быть вырожденным.
Действительно, предположим противное, и пусть тр„тро' — две различные собственные функции, соответствующие уровню Е,. Всякая линейная комбинация сне + с'чРо тоже будет собственной функцией; но, выбирая соответствующим образом постоянные с, с, всегда можно добиться обращения этой функции в нуль в любой заданпой точке пространства, т. е. мы получили бы собственную функцию с узлами.
') Ниже в этом параграфе мы будем считать волновые функции ф егщсст. венными, каковыми ях всегда можно выбрать (если нет магнитного поля). з) Доказательство теорем (см. также следушпгий параграф) о нулях собственных функций можно найти в книгах: М. А. Лаврентьев и Л. А. Лмгщгринл, Курс вариационного исчисления, гл.
1Х, Гостехиздат, 1950; Р. Курант, Л, Гиль» берт, Методы математической физики, том 1, гл. )Г1, Гостехнздат, 1951. з) Эта теорема (как н дальнейшие следствия из кее), вообще говоря, несправедлива для волновых функций систем, состоящих из нескольких тожде саввиных частиц (см. конец 5 63). э м1 ОЗШИЕ СВОЙСТВ* ОДНОМЕРНОГО ДВИЖВННЯ 63 фй.ф = б1 .
(фУ Ф) — (~'.Ф)'. Интеграл от б(т«(фу,«р) по «(У, преобразуется в интеграл по бесконечно удаленной замкнутой поверхности, и поскольку на бесконечности волновые функции состояний дискретного спектра обращаются в нуль достаточно быстро, то этот интеграл исчезает. Таким образом, »Й»«д = 1 12' « ~о,«»г.)- »Р]««.
(«05~ ,11 « $21. Общие свойства одномерного движения Если потенциальная энергия частицы зависит только от одной координаты х, то волновую функцию можно искать в виде произведения функции от у, г иа функцию только от х. Из них первая определяется уравнением Шредингера свободного движения, а вторая — одномерным уравнением Шредингера к»е 2т — „,, + — „, [Š— У(х))ф = О. «х» (21,1) К таким же одномерным уравнениям приводится, очевидно, задача о движении в поле с потенциальной энергией У (х, р, г) = У, (х) + + (/» (д) + !/» (Е), разбивающейся на сумму функций, каждая из которых зависит только от одной из координат.
В й 22 — 24 мы рассмотрим ряд конкретных примеров такого «одномерного» Если движение происходит в ограниченной области пространства, то на границе этой области должно быть ф = 0 (см. $18). Для определения уровней энергии нужно найти из варнационного принципа минимум интеграла (20,2) при этом граничном условии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
