Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Р е ш е н н е»). Волновая функцня основного состояния ф =)!»»Ув — — =е- . е' »т Волновая функцня этого же состояния в р-представленнн получается отвода как интеграл а(р) =) ф(г)е "«( (см. (!5,!О)). Интеграл вычисляется путем перехода к сфернческнм координатам с полярной осью вдоль р; в результате получаем В !/и «г (Р) (! 1 ,), » а плотность вероятности в р-пространстве есть ! а (р) 1»/(2п)». 2.
Определить средний потенциал поля, создаваемого ядром н влектроном в основном состояннн атома водорода. Р е ш е н н е. Средний потенцнал ф«, создаваемый «электронным облаком» в пронзвольной точке г, проще всего определяется как сфернческн-снмметрнчное ') «Случайное» вырождение уровней с разлнчнымя значениями момента ! имеет место также н для двнження в центрально-снмметрнчном поле (/ = тв»г»/2 (пространственный осцнллятор, см.
задачу 4 $33). Это вырождение тоже связано с дополннтевьной симметрией гамнльтоннана. В данном случае вта снмметрня возникает в результате того, что в Й р'/2т + тв»г»/2 как операторы рг, так н коордннаты х! входят в вцхе суммы квадратов. Введя вместо ннх операторы твх! + !д! твх~ — !/)! !' 2т/ио )г 2тйв получим г-+- 3 ч Н=ав~а а+ — ~ Это, выражение ннварнантно по отношению к любым уннтарнмм преобразова.
пням операторов Л/' н йи составляющим совокупность (группу) более шнрокую, чем группа трехмерных вращений (по отношению к которой ннварнантен гамнльтоннан частицы во всяком центрально-снмметрнчном поле). Отметим также, что спецнфнке кулонова н осцнлляторного полей в кванто. вой механике (налнчне случайного вырождения) отвечает в классической механике спецнфнка, состоящая в существования в этнх (н только в этих) полян замкнутых траекторий частнц. ») В задачах ! н 2 пользуемся атомнымн единицами.
4 зе1 кулОИОВО пОля асФВРичя скип кООРдинатыв 161 решение уравнения Пуассона с плотностью заряда р — )ф(': — — в(гфа) = 4з -зг г а(га Интегрируя это уравнение, выбнраи постонииые так, чтобы фа (0) было коиеч ° иым, а ф,(ае) = 0 н прнбавлня потенциал поля ядра, получим ///г/ ф = — + фе (г) = вх — + 1) з г ' хг При г <! имеем ф ам!/г (поле ндра), а прн Г 2в 1 ПОтсициап ф ж Е 2' (ЭираиирОВаиис ндра электроном). 3. Определить уровни энергии частипы, двнжущейси в центрально-симметричном поле с потенциальной энергией (Г = А/г'— — В/г (рнс. 11). Р е ш е н н е. Спектр положительных Рнс. !1 энергий непрерывен, а отрнцательных— «нскретен; рассматриваем последний.
Уравнение Шредингера длн радиальной функции: в(а хв 2 в(о 2лв г Ав ! А В а — + — — + — (Š— — 1(!+ П вЂ” — — + — ) /(=О. (1) в(га г оу Ав ~ 2ш г г / Вводим новую переменную 2 У вЂ” 2шЕ р= г д и обозначения †„, + 1(! + ~1) = . (. + 1) 2шА (2) Д У вЂ” 2Е (3) Тогда уравнение (!) приобретает внд гт" + — В' + — — + —— 2, г 1 и з(з-Ь1) х ) В=О, р ~ 4 р ра формально совпадающий с (36,4). Поэтому сразу заключаем, что удовлетворяющее необходимым условннм решение есть рвз — отар( и ! з 1 1 22 1 2 р) причем и — з — 1 = р должно быть целым положительным числом (нлн нулем), а пода надо понимать положительный корень уравнения (2).
Согласно опрпдште- нню (3) получаем, следовательно, уровни энергии 2Ваш ! а/ в бтА) — Е = — „в ~2Р+1 + )Г (21+1)в+ — „в 4. То же при  — '+ Вга (рнс. 12). 162 движение в центрально-симметричном поле (гл, и Вводя переменную и обозначения 1(1 + !) + †, = 2з (2з + 1), 2тА ы 2т Š— — = 4 (л+ з) + 3, д золучаем уравнение 3, 3 я ( 2) 4Р'+ — Р'+ ~л+з+ — — —— 2 ь 4 4 $ А! Р=О. искомое решение ведет себя при в - го асимнтотнческн, кан е 4)~, а при малых $ пропорционально $', где под з надо понимать цоловопельное значение з = — ~ — 1-1- (2! -1-!)з -1- — 1.
! Г зтА !! гл 1. Поэтому ищем решение в виде Р = е Ыгг,*ш н получаем для ш уравнение йш" + (2з+ — — $) ш'+вы= О, 3 2 3 ш Е( —, 2з+ —, й), откуда Рнс. !2 причем л должно быть целым неотрицательным числом. Для уровней энергии получаем, следовательно, бесконечное множество равноотстоящих значений Еа — — й~/ — ~4л+2+ у (2!+Из+ — „з ~, н=о, 1, 2, . ° Г В чг" зтА1 $37. Движение в кулоновом пале (параболические координаты) Разделение переменных в уравнении Шредингера, написанном в сферических координатах, всегда возможно для движения в любом центрально-симметричном поле.
В случае кулонова поля разделение переменных оказывается возможным также и в так называемых параболических координатах. Решение задачи о дви. женин в кулоновом поле в параболических координатах полезно Р е ш е н и е. Имеется тельно дискретный спектр. Уравнение Шредингера будет следующим: лзР 2 г(Р 2т г нч (1+ 1) А — + — — + — (Е— — — -В") Р=О.
г(г г !й аз ~ 2тгз гз з зт» ктлоново пола 1Панаволичвскив копгДИнатЫ» 1аа при исследовании ряда задач, в которых определенное направле. ние в пространстве является выделенным, например, благодаря наличию внешнего (помимо кулонова) электрического поля 8 77). Параболические координаты з, »)„ф определяются .формулами г = —,й — »)), 1 х = »' $~1 соз <р у = у йг1 з1п ~р, (37, 1) или обратно: <р = агс1я ~~ 1 (37,2) $ г+г, О=г — г, 4~ ~(~ + 4 ~(О + ~ ~~йР 4ч а элемент объема.
бр= —,' (6+)) (Збцбч. (37,3) (37,4) Из (37,3) следует для оператора Лапласа выражение Ь = — ~ » (ь д )+зч »,г1» )) + — ам . (37,5) Уравнение Шредингера для частицы в кулоновом поле притяжения 1 2 0= — — = —— 1+я приобретает вид + 2 (Е + — )»р = О. (37,6) Ищем собственные функции»р в виде ф =7 д)),(ч)е'мч, (37,7) где и — магнитное квантовое число. Подставляя это выражение $ и т» пробегают значения от О до оо, Ч~ — от О до 2п. Повзрхности В = сопз1 и г1 = сопз1 представляют собой параболоиды вращения с осью вдоль оси г и фокусом в начале координат. Эта система координат ортогональна, Элемент длины определяется выра.
жением !ва движвнив в цвнт»хльно-симмвт»ичном полн [гл. ч в уравнение (37,6), умноженное на ($ + т!)/4, и разделяя переменные $ и 9, получим для /, и /» уравяения (37,8) и (»! и )+( 2 9 «+1»1/» Ое где «параметры разделения» рм р» связаны друг с другом посредством р +р,=1. (37,9) Рассмотрим дискретный спектр энергии (Е ~ 0). Вводим вместо Е, $, т! величины л р» $~/ 2Е, р» Ч» (37 19) — — 2Е В' и после чего получаем уравнение для /,~ (37,11) и такое же уравнение для /„ причем мы ввели также обозначения и, = — + п()„п~ = — + п()м (37,12) !и!+! !т!+! Подобно тому как было сделано для уравнения (36,4), находим, что/, ведет себя при больших р„как е-» г», а при малых р, — как р!'"и».
Соответственно этому, ищем решение уравнения (37,11) в виде /~ (р~) = е "' р~~ н в~ (р~) (и аналогично для /») и получаем для в, уравнение р~в! + (! т ~ + 1 — р~) в1 + п1в| О. Это — снова уравнение вырожденной гипергеометрической функции. Решение, удовлетворяющее условиям конечности, будет в, = Р( — п„!т!+ 1, р), причем п, должно быть целым неотрицательным числом.
Таким образом, каждое стационарное состояние дискретного спектра определяется в параболических координатах тремя целыми числами «параболическими квантовымн числами» п, и л» и магнитным квантовым числом т. Для числа л («главное квантовое число») имеем из (37,9) и (37,12) л = и, + п» + !т ~ + !. (37,13) Для уровней энергии получается, разумеется, прежний результат (36,9). о зг! кклоново поле (ПАРАволнчвскне кооодннаты! !Вз При заданном и число ~ т ! может принимать и различных значений от 0 до и — 1. При фиксированных и н ! т ! число и, пробегает и — ~ т ~ значений от 0 до и — ~ т ) — !. Учитывая также, что при заданном ! т ~ можно еще выбрать функции с т = = ~1т~, найдем, что всего для данного и имеется 2 ~ (и — т)+(л — 0) = и« е=! различных состояний в согласии с полученным з 4 36 результатом.
Волновые функции «р..., дискретного спектра должны быть нормированы условием 4 а а а ~ «"'"'о!~ (ь+ 1) (37,!4) ооо Нормированные функции имеют вид 1а2 (о),. (1) « (37,16) где (р) = — ~ » — ~ — Р( — р ! т!+1, р) о"р!"!" (3716) Волновые функции в параболических координатах, в противоположность волновым функциям в сферических координатах, не симметричны относительно плоскости г = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
