Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 35
Текст из файла (страница 35)
По истечении времени действия возмущения (или в пределе 1- оо) коэффициенты аьа й е!1 пзрзходы под влиянием нозмкщиния 181 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 1гл. ш )в2 принимают постоянные значения ад„(оо), и система будет на. ходиться в состоянии с волновой функцией Ч' = ~„'аа„(оо) Чга~', снова удовлетворяющей невозмущенному волновому уравнению, но отличной от первоначальной функции Ч'„'". Согласно общим правилам квадрат модуля коэффициента алн (оо) определяет вероятность системе иметь энергию Е1,", т.
е. оказаться в й-м стационарном состоянии. Таким образом, под влиянием возмущения система может перейти из первоначального стационарного состояния в любое другое. Вероятность перехода из первоначального (1-го) в конечное ()-е) стационарное состояние равна ') +а з се11 = — „, ) Уне 11 с(1 Рассмотрим теперь возмущение, которое, раз возникнув, продолжает затем действовать неограниченно долго (оставаясь, разумеется, асе время малым).
Другими -словами, У (1) стремится к нулю при ! — †и к конечному, отличному от нуля, пределу при 1 - оо. Формула (41,2) здесь непосредственно неприменима, так нак стоящий' в ней интеграл расходится. Эта расходимость, однако, с физической точки зрения несущественна и может быть легко устранена. Для этого напишем, интегрируя по частям: 1 гм !и г 1 Г гм 1 У11 Г дУЙ е а„= — — ~ Уыег )1 111 = — ' ~ .+ ) — — й.
Д от = Лын ~ — ге 3 дг аы11 Значение первого члена на нижнем пределе исчезает, а на верхнем пределе формально совпадает с коэффициентами разложения в формуле (38,8) (наличие лишнего периодического множителя е' 11' связано просто с тем, что аг, — коэффициенты разложения полной волновой функции Ч', а сп в 8 38 — коэффициенты разложения не зависящей от времени функции ф). Поэтому ясно, что его предел при 1 — оо определяет просто изменение первоначальной волновой функции Чгге' под влиянием «постоянной частив У (+со) возмущения и ие имеет, следовательно, отношения к переходам в другие 1) для единообразия, условимся обозначать в дальнейшем (когда речь идет о вероятностях переходов) начальное н конечное состояния соответственно индеисами 1 и Е Кроме того, условимся писать индексы у вероятностей перехода именно и порядне 113 и соответствии с порядком, принятым для индексов матричных элементов.
состояния. Вероятность же перехода определяется квадратом второго члена и равна вп= —, ~ — е! Ж г агап а'-'в); 3 д1 (41,3) Полученные формулы справедливы и в том случае, когда переход совершается из состояния дискретного в состояние непрерывного спектра. разница состоит лишь в том, что речь идет при этом о вероятности перехода из заданного (1-го) состояния в состояния, находящиеся в интервале значений величин тч (см. конец $ 38) от ч~ до ть + дчп так что, например, формулу (41,2) надо писать в виде ОЗ 3 ди>)~ = — ~ ) упе и сЫ дну. 1г!а( Если возмущение Р (/) мало меняется за промежутки времени -1/вп, то значение интеграла в (41,2) или в (41,3) будет очень малым.
В пределе при сколь угодно медленном изменении приложенного возмущения вероятность всякого перехода с изменением энергии (т. е. с отличной от нуля частотой вп) стремится к нулю. Итак, при достаточно медленном (адиабати иском) изменении приложенного возмущения система, находившаяся в некотором невырожденном стационарном состоянии, будет продолжать оставаться в том же состоянии (см. также 3 53).
В обратном предельном случае очень быстрого, внезапного, включения возмущения производные дрп/д/ обращаются в бесконечность в «момент включениях. В интеграле от — е дУп се э д1 можно тогда вынести из-под знака интеграла сравнительно медленно меняющийся множитель е и, взяв его значение в этот момент. После этого интеграл сразу берется, и мы получаем 1кп Р шп = Е~ Вероятности перехода при внезапных возмущениях могут быть найдены и в тех случаях, когда возмущение не является малым. Пусть система находится в состоянии, описывающемся одной из собственных функций ф)" первоначального гамильтониана Й,.
Если изменение гамильтониана происходит внезапно (т. е. за время, малое по сравнению с периодами 1/вп переходов из данного состояния ( в другие), то волновая функция системы чне успевает» измениться и остается той же, что и до возмущения. Оиа, однако, уже не будет являться собственной функцией нового гамильто- ам) пвявходы под влияниям возмгшвния 183 (гл. Ут ч'нория Возмушаини ннана системы Н, т.
е. состояние ф)" не будет стационарным. Вероятности же щп перехода системы в какое-либо нз новых стационарных состояний определяются, согласно общим правилам квантовой механики, коэффициентами разложения функции ф)з> по собственным функциям фг гамнльтоннана Й1 гнп -= ~ ~ Ф'"ф; Й~ ~'. (41,6) Покажем, каким образом зта общая формула переходит в формулу (41,5), если изменение гамнльтоннана У Н вЂ” Н, яв-' ляется малым.
Умножнм уравнения Наф,'з! = Е)0>ФО>, и'ф1 = Е)ф)" соответственно на ф) и ф)з', проинтегрируем по с(() и вычтем почленно одно нз другого. Использовав также свойство самосопряженности оператора Й, получим (Е Е)е>) ~ф 1>е> (,„~ф>Уф)е> ( Бслн возмущение У мало, то в первом приближении можно заменить Е, близким к нему невозмущенным уровнем Е)з>, а волновую функцию ф„(в правой стороне равенства) — соответствующей функцией ф)". Тогда получим ~ ф)фз" сй) = — „„„~ ф)"'Ж" сйу и формула (41,6) переходит в (41,5).
Задачи 1, На заряженный осциллятор, находящийся в основном состоянии, вне. ванно накладывается однородное алеитрячесиое поле. Определить вероятности перехода осциллятора в возбужденные состояния под влняннем етого возму. щения. Р е ш е н и е. Потенциальная внергня осцнллятора в однородном поле (действующем на него с силой г) есть аызз щвз У (х) = — хз — гх = — (х — х,)' + сопя( 2 2 — з' ° (где хз = г/тыз), т. е. снова ямеет чисто оспдлляторный вид (со смещенным положением равновесия). Позтому волновые фуняцнн стационарных состояний возмущенного оснлллятора суть фа (х — хз), где фа (х) — осцилляторные функции (23,12); начальная же волновая функция есть >уз (х) из (23,13). С помощью этих функций и выражения (23,11) для полииомов Эрмита находим >О ( 1)а О> 1 О ( — 1) з 3 (' >Г ° фе1о)фа>(х= е (е> ( е ~ь — е 1'+ма>ай 2апй) $411 переходы нод влиянием воэмишения 185 где введено обозначение йа «е У шы/й.
Стоящий здесь интеграл путем й-крат ного интегрирования по частим приводится к интегралу ) ехр( — 2~+ Ц ) ай ~~~У йехр(й,',/4), Ю В результате для искомой вероятности перехода (41,6) получим формулу Я вда в~ — е г й! й=— 2 2шйвз ' Кан функция числа й она представляет собой распределение Пуассона со сред инм значением й.
Случаю прнменнмостн теории возмущений оютветствуют малые г" такие, что й ~ !. Тогда вероятности возбуждения малы н быстро убывюот с увеличением й. Наибольшая из инх вы яз й. В обратном случае больших /г (й Ъ !) возбуждение осциллятора проясходит с подавляющей вероятностью: вероятность осцнллятору остаться в нормальном состоянии есть вы е"й. 2. Ядро атома, находящегося в нормальном состояннн. испытывает внезапный толчок, в результате которого оно приобретает скорость а! длительность толчка ч предполагается малой как по сравнению с злектроннымн периодами, так н по сравнению с а/а, где а — атомные размеры.
Определить вероятность возбуждения атома под влиянием такого чвстряхнванняь (А. Б. Магда«, !939). Р е ш е н н е. Переходим к системе отсчета К', движущейся вместе с ядром после удара. В силу условия т ~ а/а ядро можно считать практически не сместившимся за время удара, так что координаты электронов в системе К' н з исходной системе К непосредственно после возмущения совпадают. Начальная волновая функции в системе К' есть тг и=— д где ф — волновая функции нормального состоиния прн неподвижном ядре, а суммирование в экспоненте производится по всем Е электронам в атоме. Искомая вероятность перехода в й-е возбужденное состояние определяется теперь, согласно (41,6), формулой вь, = ~ (й ) ехр ( — !П ~ га) ) О) ~ ° О В частности, если аа ~ 1, то, разлагая экспоненциальиый множитель под знаком интеграла и замечая, что интеграл от фьф обращается в нуль в силу ортогональнааги функций фе и фю получим вва ~(й)Ч ~~ ~г„)0)~э. а 3.
Определить полную вероятность возбуждения н нонизации атома водо. рода при внезапном «астряхиванниз (см, предыдущую задачу). Р е ш е н н е. Искомую вероятность можно вычислить как разность 1 вао '1 ~)/фазе гчгЫУ~ где ва — вероятность атому остатьси в основном состоянии (ф = (паа) '/эз '/а— (гл Уг ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ волновая функция основного состояния атома водорода; а — боровский рвлиус). Вычислив интеграл, получим 1 1 — шза — — 1— (1+ — аа ) В предельном случае аа ~ 1 эта вероятность стремится к нулю кан 1 — ш„ш эзаз, а при аа 3 1 — к единице как 1 — иь ш 1 — (2!да)з. 4. Определить вероятность вылета электрона из К-оболочки атома с большим атомным номером 3 прн ()-распаде ядра.
Скорость р-частицы предполагается большой по сравнению со скоростью К-электрона (А. Б. Магдах, 1941; Е. Д. Фейн. берг, 1939). Р е ш е н и ет). В указанных условиях длительность прохождения 3-частицы через К.оболочку мала по сравнению с периодом обращения электрона, так что изменение заряда ягвтз можно считать мгновенным. Роль возмущения играет при этом изменение У = 1)г поля ядра при малом (! по сравнению с 3) изменения его заряда. Согласно (41,5) вероятность перехода одного из двук электронов К-оболочки с энергией Е, = — 3з(2 з) в состояние непрерывного спектра с энергией Е = Лт)2 в интервале г)Е = Д аз есть 4) У„ь )з (Ла ! 3з)з В интеграле, определяющем матричный элемент У„ь, существенна область близких (-!/3) расстояний от ядра, в которой для волновой функции состояния непрерывного спектра тоже можно пользоваться водородоподобным выражением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
