Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 37
Текст из файла (страница 37)
— О. Согласно формуле (42,7) (в которой полагаем щ = О и меняем обозначения) имеем ехр ~ — (Ег — Е>) 1+ 11 ~ г! >» ! ап = к1> (43,2) Возмущенная волновая функция имеет вид Чг >р>щ+ ~, »>ту)з> л, где интегрирование производитсн по всему непрерывному спек- тру э). Подставив сюда (43,2), находим +3(>'"М)м Š— Е~ Ю] ехР ( д Егу>~. (43,3) В пределе Х -ь О множитель вм заменен единицей, Член же +РО (означающий предел й при стремлении к нулю положительной величины Х) определяет способ интегрирования по переменной Еп дифференциал которой входит как множитель в г(чг (наряду с дифференциалами других величин, характеризующих состояния непрерывного спектра).
Без члена (л подынтегральное выражение в (43,3) имело бы полюс при Ег — — Е,, вблизи которого интеграл расходился бы. Член 1)> смещает этот полюс в верхнюю полу плоскость комплексного переменного Еб После перехода к пределу )> — О полюс снова возвращается на вещественную ось, ') К категории явлений, обнимаемых излагаемой теорией, относятся, например, различные столкновения; при этом система в начальном н ионечном состояниях представляет собой совокупность свободных частиц, а роль возмущения играет взакмодействие между ними. Прн надлежащей нормировке волиавыв функций величина 143,1) может оказаться при этом сечением столкновений (см, 4 196). з) Если имеется также н дискретный спектр, то в этой и следу>ощих >рормулах к интегралу надо добавить соответствуя>щук> сумму по состояниям дискрет.
ного спектра. теория возмущении (гл чг но мы внаем теперь, что путь интегрирования должен' обходить полюс снизу~ (43,4) Временной множитель в (43,3) показывает, что эта функция относится, как и следовало, и той же энергии Еь что и начальная иевозмущенная функция. Другими словами, функция (43,6) удовлетворяет уравнению Шредингера (Не+ У) ~$; = Егтй. В связи с этим естественно, что это выражение в точности соответствует формуле (38,8) ').
Произведенные выше вычисления соответствуют первому при'ближению теории возмущений. Нетрудно вычислить и второе приближение. Для этого надо вывести формулу следующего приближения для Ч'ь что легко сделать, воспользовавшись методом $ 38 (зная теперь способ, которым должны браться «расходящиеся» интегралы). Простое вычисление приводит я формуле Ч' = 14' +3 ~)п+3 я,— я,+ю"') е,— г)+ю 1а Сравнивая это выражение с формулой (43,3), мы можем написать соответствующую формулу для вероятности (точнее, для числа переходов) непосредственно по аналогии с (43,1); а 1Уп +~и — е +ю "'! 6(Е' Ет)" и (43'6) Может оказаться, что матричный элемент У» для рассматриваемого перехода обращается в нуль.
Тогда эффект первого приближения вообще отсутствует и выражение (43,6) сводится к 6твп — — — „~ ~ ~' ' 6т ~ 6 (Ег — Е;) сИ) (43,7) при применениях этой формулы точка Е „= Е, не является обычно полюсом подынтегрального выражения; тогда способ т) Способ ваятия интеграла в (43,5) можно установить, исходя иа требования, чтобы асимптотическое выражекие для бч на больших расстояниях содержало лишь расходящуюся, ио не сходящуюся воину (см.
$ !36). интегрирования по г)Е, вообще не существен и его можно производить непосредственно вдоль вещественной оси). О состояниях ч, для которых У)„и 'г'„1 отличны от нуля, часто говорят, как о промежуточных для перехода 1-~1. Наглядно можно сказать, что этот переход осуществляется как бы в два этапа: 1-+ ч и ч-+ 1 (разумеется, однако, такому описанию не следует придавать буквального смысла). Может оказаться, что переход 1-~ )' возможен не через одно, а лишь через несколько последовательных промежуточных состояний. Формула (43,7) непосредственно обобщается на такие случаи.
Так, если необходимы два промежуточных состояния, то Наконец, для уяснения математического смысла интегралов взятых по пути вида (43,4), укажем формулу 1(х) Нх ~ / (х) ях + . (43,9) где интегрирование производится по отрезку вещественной осн, включающему в себя точку х = а.
Действительно, производя обход полюса х = а по полуокружности (радиуса р), найдем, что весь интеграл равен сумме интегралов по вещественной оси от нижнего предела до а — р н от а + р до верхнего предела и (умноженного на (п) вычета подынтегрального выражения в полюсе. В пределе р -~-0 интегралы по вещественной оси складываются в интеграл по всему отрезку, понимаемый в смысле главного значения (что и отмечено перечеркнутым знаком интегрирования), и мы приходим к (43,9). Эту формулу записывают также и в символическом виде 1 ! = Р— „+ 1~6 (х — а); (43,10) символ Р означает, что при интегрировании функции 1 (хЦх — а) должно быть взято главное значение интеграла. й 44.
Соотношение неопределенности для энергии Рассмотрим систему, состоящую из двух слабо взаимодействующих частей. Предположим, что в некоторый момент времени известно, что эти части обладают определеннымн значениями энергии, которые мы обозначим соответственно как Е и е.
Пусть через некоторый интервал времени И производится снова измерение энергии; оно дает некоторые значения Е', е', вообще говоря, отличные от Е, е. Легко определить, каков порядок величины 1 ы1 соотношение неопяеделенности для энеггии 1ВЗ ~гл у1 ТЕОРИЯ ЕОЗМУЩЕНИЙ 194 наиболее вероятного значения разности Е' + е' — Š— а, которая будет обнаружена в результате измерения.
Согласно формуле (42,3) (с е) = О) вероятность перехода системы (за время 1) под вличнием не зависящего от времени возмущения из состояния с энергией Е в состояние с энергией Е" пропорциональна Б1е~ Е' — Е Отсюда видно, что наиболее вероятное значение разности Е' — Е порядка величины й/Е Применив этот результат к рассматриваемому нами случаю (возмущением является взаимодействие между частями системы), мы получим соотношение ( Е+ е — Е' — е' 1М вЂ” 6.
(44,1) Таким образом, чем меньше интервал времени М, тем большее изменение энергии будет обнаружено. Существенно, что его порядок величины й/И не зависит от величины возмущения. Определяемое соотношением (44,!) изменение энергии будет обнаружено даже при сколь угодно слабом взаимодействии между обеими частями системы. Этот результат является чисто квантовым и имеет глубокий физический смысл. Он показывает, что в квантовой механике закон сохранения энергии может быть проверен посредством двух измерений лишь с точностью 'до величины порядка й/И, где М вЂ” интервал времени между измерениями.
О соотношении (44,1) часто говорят, как о соотношении неопределенности для энергии. Необходимо, однако, подчеркнуть, что его смысл существенно отличается от смысла соотношения неопределенности Л/т Лх й для координаты и импульса. В последнем Лд н Лх — неопределенности в значениях импульса и координаты в один я тот же момент; оно показывает, что эти две величины вообще не могут иметь одновременно строго определенных значений. Энергии же Е, е, напротив, могут быть измерены в каждый данный момент времени с любой точностью. Величина (Е + е) — (Е' + е') в (44,1) есть разность двух точно измеренных значений энергии Е + е в два различных момента времени, а отнюдь не неопределенность в значении энергии в определенный момент времени. Если рассматривать Е как энергию некоторой системы, а е— как энергию еизмерительного прибора», то мы можем сказать, что энергия взаимодействия между ними может быть учтена лишь с точностью до й/И.
Обозначим посредством /ТЕ, Ьа, ... погреш- з«е1 соотношвние наоп»адвлвиности для энногии 1зв ности в измерениях соответствукяцих величин. В благоприятном случае, когда з, а' известны точно (Ье = Ье» = 0), имеем й» (Š— Е') (44,2) Р +Р' — Р— Р=б, ~з'+Е' — з — Е) аг (44,3) (44,4) (Р, Š— импульс и энергия частицы, Р, е — то же для зеркала; величины без и со штрихами относятся соответственно к моментам до и после столкновения). Величины Р, Р', е, в', относящиеся к «измерительной частице», могут рассызтриваться как известные ») Для ироиззоднмого здесь анализа настига«геенно, нанни образом станоангся и»азотной знергня «измерительной» «а«типы. Из этого соотношения можно вывести важные следствия отно.
сительно измерения импульса. Процесс измерения импульса частицы (будем говорить для определенности об электроне) вклю. чает в себя столкновение электрона с некоторой другой («измерительной») частицей, импульсы которой до и после столкновения могут считаться известными точно '). Если применить к этому столкновению закон сохранения импульса, то мы получим трн уравнения (трн компоненты одного векторного уравнения) с шестью неизвестными — компонентами импульса электрона до и после столкновения. Для увеличения числа уравнений можно произвести ряд последовательных столкновений электрона с «измерительными» частицами и применить закон сохранения импульса к кан<дому из ннх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
