Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 40
Текст из файла (страница 40)
в основном пропорциональна 1!р. Это как раз то, что и следовало ожидать для <квазнклассической частицы», поскольку при классическом движении время, проводимое частицей на отрезке з(х, обратно пропорционально скорости (или импульсу) частицы. В классически недоступных участках пространства, где Е < ( У (х), функция р (х) — чисто мнимая, так что показатели вещественны.
Общий вид решения волнового уравнения в этих областях »Р= ' ехр( — — „') ) р(з!х)+ ='ехр ( — ') 1р!з(х). (46,10) <' 1р) УЪ1 Следует, однако, иметь в виду, что точность квазиклассического приближения не дает права сохранять в волновой функции экспоненциально малые члены <на фоне» экспоненциально больших, и в этом смысле одновременное сохранение обоих членов в (46,10), как правпло, 'недопустимо.
Хотя обычно нет необходимости в использовании членов более высоких порядков малости в волновой функции, получим здесь еще и следующий член разложения (46,3), имея в виду отметить некоторые моменты, относящиеся к точности квазикласснческого приближения. Члены порядка й' в уравнении (46,4) дают ! з 1 ОКПЗ+ о О! + о П! =О, откуда (подставляя (46,6) и (46,8) для и, и а,) р" Зр'з о» = — —— 4 рз Врз ° Интегрируя (причем первый член интегрируется по частям) и вводя силу Р = рр'/т, получим озр злз Г рз пз = — + — ! — з(х.
<рз К ) рз Волновая функция в рассматриваемом приближении имеет вид — о — о,+о, ф = е = аз (1 — Йоз) или ! ~, сопз! г 4оза Р 4аозз Г Рз з з !» <» — — — — — — — (~6,11) У»! 4 р' В.) рз 1гл. Уп КВАЗИКЛАССИЧВСКИЙ СЛУЧАЙ Появление мнимых поправочных членов в предэкспоненциальном множителе эквивалентно появлению вещественной поправки 1 г в фазе волновой функции (т. е. добавки к интегралу — „) рак все экспоненте). Эта поправка оказывается пропорциональной й, т. е. имеющей порядок величины Х/Е.
Второй и третий члеяы в квадратной скобке в (46,11) должны быть малы по сравнению с 1. Для первого из них это условие совпадает с (46,7), ио во втором оценка интеграла приводит к условию (46,7), лишь если Р' достаточно быстро стремится к нулю на расстояниях Е. $ 47. Граничные условия в квазиилассическом случае Пусть х = а есть точка поворота (так что (>' (а) = Е), и пусть 1>' > Е при всех х > а, так что область справа от точки поворота классически недоступна. Волновая функция должна затухать в глубь этой области. В достаточном удалении от точки поворота она имеет вид (47,1) соответствующий первому члену в (46,10).
Слева же от точки поворота волновая функция должна изображаться вещественной комбинацией (46,9) двух квазиклассических решений уравнений Шредингера: к / к ч> = = ехр — ) рйх~+= ехр~ — — ) рЙх при х» а. а (47,2) Для определения коэффициентов в этой комбинации надо проследить за изменением волновой функции от положительных х — а (где справедливо выражение (47,1)) к отрицательным к — а. При этом, однако, приходится пройти через область вблизи точки остановки, где квазиклассическое приближение неприменимо и необходимо рассматривать точное решение уравнения Шредингера.
При малых ) х — а ) имеем Š— (7 (х) ж Ро(х — а), Рд — — — — ~ (О; (47,3) ли другими словами, в этой области мы имеем дело с задачей о дан>кенни в постоянном поле. Точное решение уравнения Шредингера для этой задачи было найдено в $ 24, и связь между коэффи- в 47) ГРАничныв услОВия В квдзиклАссическом случАе 2о7 цнентами в (47,1) и (47,2) может быть найдена сравнением с асимптотическими выражениями (24,5) и (24,6) указанного точного решения по обе стороны от точки поворота.
При этом надо за.:-.. -.-((),)) -р р(*)-рр р.(=.), -.- интеграл — ) рг(х = — 7(2тЕ,(х — а) а совпадает с выражением в аргументе ехр илн з(п в (24.5) или (24,6). В этих рассуждениях существенно, что область применимости разложения (47,3) и область квазикласснчности частично перекрываются: если движение квазиклассично почти во всей области поля (что и предполагается), то сушествуют значения ( х — а ! настолько малые, что допустимо разложение (47,3), и в то же время настолько большие, что удовлетворяется условие квазиклассичности и применимы асимптотики (24,5), (24,6) ').
Методически более поучителен, однако, другой способ, позволяющий вообще избежать необходимости прибегать к точному решению. Для этого надо рассматривать формально т)) (х) каи функцию комплексного переменного х и произвести переход от положительных к отрицательным х — а по пути, целиком расположенному вдали от точки х = а, так что на всем этом пути формально удовлетворяется условие квазиклассичности (А. Ъааа(т, 1929). При этом снова рассматриваем такие значения ~х — а ~, для которых в то.же время допустимо разложение (47,3), так что волновая функция (47,1) принимает вид к р(*)- *р — ) з р р(р,((г — )р ). С 1 2(2лт)да)))м (х — а)па ~ " ) а (47,4) Проследим сначала за изменением.
этой функции при обходе вокруг точки х = а справа налево по полуокружности (радиуса р) в верхней полуплоскости комплексного х. На этой полуокружности к к — а = ре, ) у х — а((х = — р (чсоз — +(з1п — ~, па Г / — — 2 3/2 I З(р ° 'З(р Х 3 'ь 2 2!Р а причем фаза (р меняется от О до )т. При этом экспоненциальный )) Действительно, разложение (47,3) применимо при 1 х — а) к 7., где Ь— карактерное расстояние изменения поля ср* (х). Условие же квазиклассичности (467) требует )х — а )зр~ да а)У)л) га(. Оба вти условия совместим, поскольку квазнклассичность движения вдали от точки поворота (т.
е. при )х — а) Ц означает, что Ьз)з лр а)(Ул)) раз 1. (гл. уп 208 КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ множитель в (47,4) сначала (при О < Ч( < 2п/3) возрастает по модулю, а затем падает по модулю до !. В конце перехода показатель экспоненты становится чисто мнимым, равным — тс/ ~ 2»(К, (( ( — — ((К* — — / р( (К*. В предэкспоненциальном же множителе в (47,4) в результате обхода — (/4 ( )-(/4 — о(/4 Таким образом, вся функция (47,4) переходит во второй член в (47,2) с коэффициентом С, = — Се-("/4. 2 Тот факт, что путем обхода через верхнюю полуплоскость оказалось возможным определить лишь коэффициент С, в (47,2)„ имеет простое объяснение. Если проследить за изменением функции (47,2) при обходе по той же полуокружности в обратном направлении (слева направо), то мы увидим, что в начале обхода первый член быстро становится экспоненциально малым по сравнению со вторым.
Но квазиклассическое приближение не дает возможности заметить экспоненциальпо малые члены в (р «на фоне» большого основного члена, что и является причиной «потери» первого члена в (4?,2) при произведенном обходе. Для определения же коэффициента С, надо произвести обход справа налево по полуокружности,в нижней полуплоскости комплексного х. Аналогичным образом найдем, что при этом функция (47,4) переходит в первый член в (47,2) с коэффициентом С, =. 1 Се о(/« 2 Таким образом, волновой функции (47,1) при х ~ а соответствует при х < а функция к с /'/г я ф= =соя — ) р((х+ — . Полученное правило соответствия можно записать в виде, не зависящем от того, с какой именно стороны от точки поворота лежит классически недоступная область к к ехр — — ~~ р((х — =соя — ~~ р((х — — (47 5) при (/ (х) ~ Е при (/ (х) ( Е (О.
А. Кгатегз, 1926). З ча1 ПРАНИЛО КВАНТОВАНИЯ БОРА — ЗОММЕРФЕЛЬДА 209 Подчеркнем лишний раз очевидное из вывода обстоятельство, что это правило связано с определенным граничным условием, поставленным с одной из сторон от точки поворота, и в этом смысле должно примениться лишь в определенном направлении. Именно, правило (47,6) получено при граничном условии ф-- О в глубь классически недоступной области и должно применяться для перехода от последней к классически разрешенной области (как и указано в (47,5) стрелкой) ').
Если классически доступная область ограничена (при х = а) бесконечно высокой потенциальной стенкой, то граничное условие для волновой функции при х а есть $ = О (см. 2 18). Квази- классическое приближение при этом применимо вплоть до самой стенки и волновая функция ф==з1п — ) рбх при х Са, с 1)г у- ') а,) (47,6) прн х >а. й 48, Правило квантования Бора — Зоммерфельда Состояния, относящиеся к дискретному спектру энергии, квазиклассичны при больших значениях квантового числа ив порядкового номера состояния.
Действительно, это число определиет число узлов собственной функции (см. 2 21). Но расстояние между соседними узлами совпадает по порядку величины с дебройлевской длиной волны. При больших и это расстояние мало, так что длина волны мала по сравнению с размерами области движения. Выведем условие, определяющее квантовые уровни энергии в квазиклассическом случае. Для этого рассмотрим финитное одномерное движение частицы в потенциальной яме; классически доступная область о < х ~ а ограничена двумя точками поворота ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
