Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 42
Текст из файла (страница 42)
О. Этот интеграл расходится (чясло уровней бесконечно), если У убывает на бесконечности, как г ' с з ( 2 в согласия с результатами 4 18. 2. То же в квазнкласснческом центрально. симметричном поле У (г) (В. Л. Покровский). Р е ш е н и е, В центрально-симметричном поле число состояний не совпадает с числом уровней энергии ввиду вырождения последних по направлениям момента, Искомое число можно найти, заметив, что число уровней с заданным значением момента М совпадает с числом уровней (незырожденных) для одномерного движения а поле с потендкэльноя энергией Увп = У (г) + М»/2»лг».
Максимальное возможное значение импульса р, прн данном г н энергиях Е (О есть Рг ямх = У вЂ” 2щУ»цй Поэтому число состояний (т. е, число уровней) равно Искомое полное число дискретных уровней получается отсюда ннтегрнро. вапиеи по бМ!й (заменяющим н квазикласснческом случае суммирование по й н равно 5 49. Кназикласснческое движение в центрально-симметричном поле При движении в центрально-симметричном поле волновая функция частицы распадается, как мы знаем, на угловую и радиальную части. Рассмотрим сначала первую нз них.
Зависимость угловой волновой функции от угла гр (определяющаяся квантовым числом т) настолько проста, что воцроо О нахождении для п приближенных формул вообще не возникает. Что же касается зависимости от полярного угла 9, то, согласно общему правилу, она квазиклассичпа, если соответствующее ей квантовое число ) велико (более точная формулировка этого условия будет дана ниже). (гл. уи кВАзиклАссичаскин случАЙ 216 Подстановкой Р1(сов О) = = х (8) р' в!па оно приводится к уравнению (49,2) Х+~(1+ —,')'+ м„'~1)(=О, (49,3) не содержащему первой производной н по виду аналогичному одномерному уравнению Шредингера.
В уравнении (49,3) роль «дебройлевской длины волны» играет '=1('+ ~)'+ —.'" Г'" Требование малости производной с(А(с(х (условие (46,6)) приводит к неравенствам 61 )) 1, (и — 9)1 )) 1 (49,4) (условия квазиклассичности угловой части волновой функции). При больших 1 эти условия выполняются почти во всем интервале значений О, за исключением лишь области углов, очень близких к нулю илн к и. При выполнении условия (49,4) в (49,3) можно пренебречь вторым членом в квадратных скобках по сравнению с первым. 2 +(1+ —,') )(=о. Решение этого уравнения: )(еаУ з(поР,( зо)=Аэ(п~(1+ —,)6+а1 (49,5) (А, се — постоянные). х) Противоположный случай, т = Е, в пределе должен соответствовать днижеиию по классической орбите, лежащей в экваториальной плоскости 8 = = и/2.
Действительно, Р, (соке) = сопэ1 а1п'8; при ( оо эта функция (а с нею и (ф(*) стремится к нулюпрн всех 8 чьи(2, Мы ограничимся здесь выводом кназикласснческого выражения угловой функции лишь для наиболее важного в применениях случая состояний с равным нулю магнитным квантовым числом (т = О) '). Эта функция совпадает с точностью до постоянного множителя с полиномом Лежандра Р, (соз 8) (см. (28,8)) и удовлетворяет дифференциальному уравнению ,еэ'+ с(и 8 — "„„'+1(1+ () Р, = о. (49,!) квлзнкллссичяскоа движение 2!7 з аа! Для углов 0 с(; 1 в уравнении (49,1) можно положить с18 О ж 1/О; заменяя также приближенно ! (! + 1) на (1+ 1/2)', получим уравнение йР~ 1 пР! г ! — + — — +(1+ — ),=О, пе' О пе 'т 2 / которое имеет решением функцию Бесселя нулевого порядка Р,(созО) = /, [(1+ — ) О], 0(С1.
(49,б) Постоянный множитель положен равным единице, так как при О = 0 должно быть Р, = 1. Приближенное выражение (49,6) для Р, справедливо при всех углах О С( 1. В частности, его можно применить и длн углов в области !/1 с(; 0 (( 1, где оно должно совпадать с выражением (49,5), справедливым при всех О» 1/1. При О!» 1 бесселеву функцию можно заменить ее асимптотическим выражением для больших значений аргумента, и мы получим ~ — з!п ~(! + — ) О+ — ] (в коэффициенте можно пренебречь 1/2 по сравнению с 1). Сравнивая с (49,5), находим, что А = )У 2/п), а = л/4.
Таким образом, получаем окончательно следующее выражение для Р, (соз О), применимое в квазиклассическом случае '): -)Я вЂ” !п ~(1+ — ) О+ — ] Р, (созО) = п1 ~'з!и О Нормированная же сферическая функция 1'! получается отсюда в виде (ср. (28,8)) згп ~(1 + — ) О+ — ] !'!е =— (49,8) Перейдем к радиальной части волновой функции. В 5 32 было показано, что функция у. (г) = гтт (г) удовлетворяет уравнению, тождественному одномерному уравнению Шредингера с потенциальной энергией и,() =(/(.)+,— — „ «а 111+ !) ") Обратим инимание на то, что именно н результате замены ! (1+!) на (1+ 1/2)' мы получнлн выражение, умнажающееси на ( — !)! при замене О на а — О, как и должно быль длн функции Р! (соз О).
(гл, ни КВАЗИКЛАССИЧВСКИЙ СЛУЧАЙ 2(8 Поэтому мы можем применить полученные в предыдущих параграфах результаты, понимая под потенциальной энергией функцию (/, (г). Наиболее прост случай ! = О. Центробежная энергия отсутствует, и если поле (/ (г) удовлетворяет необходимому условию (46,6), то радиальная волновая функция будет квазиклассической во всем пространстве.
При г = 0 должно быть )( О, поэтому квазиклассическая функция )( (г) определяется в соответствии с формулами (47,6). Если же ! ~ О, то условию (46,6) должна удовлетворять такмсе и центробежная энергия. В области небольших г, где центробежная энергия порядка величины полной энергии, длина волны Х = й/р УЯ и условие (46,6) дает ! » 1.
Таким образом, если ! невелико, в области небольших г условие квазиклассичности нарушается центробежной энергией. Можно легко убедиться в том, что мы получим правильное значение фазы квазиклассической! волновой функции )((г), если будем вычислять ее по формулам одномерного движения, заменив в потенциальной энергии (/! (г) коэффициент Е (! + 1) на (! + — ) т): (/ (') -(/(')+2 (49,9) Вопрос о применимости квазиклассического приближения к кулонову полю (/ = ~аlг требует особого рассмотрения.
Из всей области движения наиболее существенна часть, соответствующая расстояниям г, при кочорых ~ (/ ~ ° ~ Е ), т. е. г ° а/~ Е !. Условие квазикласснчности движения в этой области сводится к требованию малости длины волны К й/рг 2гп ~ Е ~ по сравнению с размерами а/! Е ( области; это дает !Е! « — „",', (49,10) где и у'~ Е ~/и — скорость частицы. Обратим внимание на то, что это условие обратно условию (45,7) применимости теории возмущений к кулонову полю. х) так, в нростейшен случае свободного двнженнн (У = 0) фаза фувннвн, вычисленной во фервузе (43,!) с (/! вз (49,9), нрн больших г совпадает, как й следовало, с фазой функккв (33,!2).
т. е. абсолютное значение энергии должно быть мало по сравнению с энергией частицы иа первой боровской орбите. Условие (49,!0) можно написать также и в виде ан » 1 (49,11) квлзикллссичвсков движении З «э1 2!9 Что касается области малых расстояний () У (г) ) )) Е), то в кулоновом поле отталкивания она вообще не представляет интереса, поскольку при (/ ) Е квазнклассические волновые функции затухают экспоненциально. В поле же притяжения при малых 1 возможно проникновение частицы в область, где ~ (/ ~ )) )) ~ Е ), так что возникает вопрос о границах применимости здесь квазиклассического приближения.
Воспользуемся общим условием (46,7), положив в нем Е = — — „= — —,, ржу'2т ~(/) т/ —, Д!/ и тт аа В результате найдем, что область применимости квазиклассического приближения ограничивается расстояниями г )) /1э/лта, (49, 12) т. е. расстояниями, большими по сравнению с «радиусомя первой боровской орбиты.
Задача Определить поведение волновой функции вблнэи начала координат, если прн г - О поле обращается в бесконечность, как Н-.а/т«с э >2. Р е ш е и н е. При достаточно малых т длина волны Я Ят'/т Х так что таким образом выполняется условие кваэнклассичности. В поле притяжения 1/! — — ое прил — О. Область вблнэи начала координат в атом случае классически доступна и радиальная волновая функция Х !/Э'р, откуда 8 ! В поле отталкивания область малых т классически недоступна.
В этом слу. чае волновая фуикшш прн т О экспоненциальво стремится к нулю. Опуская множитель при эисионеициальной функции, имеем (гл. чп КВАЗИКЛАССИЧВСКИЙ СЛУЧАЙ 2 50. Прохождение через потенциальный барьер Рассмотрим движение частицы в поле типа, изображенного на рис, !3, характеризующегося наличием потенциального барьера,— участка, в котором потенциальная энергия (? (х) превышает полную энергию Е частицы. В классической механике потенциальный барьер непроницаем для частицы; в квантовой же механике частица может, с отличной от нуля вероятностью, пройти «сквозь барьер» (об этом явлении говорят также, как о тунпедьнолт аффекте) ').
Если поле (? (х) удовлетворяет условиям квазиклассичности, то коэффициент прохождения через барьер может быть вычислен в общем виде. Заметим, что эти условия приводят, в частности, к тому, что барьер должен быть широким и потому коэффициент прохождения в квазиклассическом случае мал. Чтобы не прерывать дальнейших вычислений, решим предварительно следующую задачу. Пусть квазиклассическая волно- вая функция в области справа от гг точки поворота х=Ь (где (? (х) <Е) имеет вид бегущей волны: С / тгл тр = = ехр — ) р «т'х +— а а (50, !) Рас. !3 Требуется найти волновую функ- цию этого же состояния в области х < Ь, Сделаем это тем же способом обхода в плоскости комплексного х, который был применен в 2 4?.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
