Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 46
Текст из файла (страница 46)
В виду экспоненциального характера завнснмоств ш от Ея суммарная вероятность распада (со всеми значениями Е„н Ер — Š— ! — Е„) определяется мнннмальным (по абсолютной велнчнне) значенйем показателя экспоненты как функция от Е„. Анализ показывает, что это значение достигается прн Е„- О, При этом до !/(Е+ !) н нз (б) находим ш ехр ( — — ~/ — ~ф — агссоэ ~г/ — = агссоа ~ — ~~, Условие применимости втой формулы сссгонт в большой (по сравнению с единицей) величине показателя зкспоненты.
Вычислив мнимую часть действия 5 = 5>+ 5о при отличных от нуля значениях Е„, можно найти распределение освобождиощихся частиц по энергиям. Вблизи зйачення Е„ = 0 имеем >) !гп 5 (Ея) — 1ш 5 (0) аа Ев ~ — ) гб1ш 5х >(Ея )л =в. я Вычисление производной приводит к результату: 2. Определить коэффициент надбарьерного отражения прн таких энергнях частицы, когда применима теория возмущений. Р е ш е я н е получается по формуле (43,!), в которой начальная н конечная волновые функции — плоские волны, распрсс>раняющиеся в противоположных направлениях н нормированные соответственно на едннячную плотвость >) Прн Е„О функция 1ш 5 (Ея) имеет угловую точку, от которой возрастает в обе стороны — положительных и отрицательных Е„(значения Еа С 0 отвечзлн бы захвату нейтрона ядром), После перехода действие отвечает движению нейтрона н протона от гочки распада: 4 аз! переходы под Влиянием АдиАБАтич. Возмущении 207 потока и нз б-функцию импульса, деленного иа 2па.
Прн этом бт = г(р'/2лд, где р' — импульс после отраженяя. Произведя в (43,1) интегрирование цо пр! (с учетом наличии бфункции), получим О> (!) А рз Эта формула справедлива, если выполняется условие применимости теории воз- мущений: (/а/дп ~ 1, где а — ширина барьера (см.
примечание иа стр, 199), и в то же время ра/А ( 1, Последнее условие обеспечивает неэкспоненцизльный карактер зависимости й (р); в противном случае вопрос о применимости фор- мулы (!) требует дальнейшего ясследования. 3. Определить коэффициент иадбарьерного отражения от квазиклассиче- ского барьера в случае, когда функция (/ (х) при х = х, имеет излом. Р е ш е н и е. Если функция (/ (х) имеет какую-либо особенность при ве- щественном х, коэффициент отражения определяется в основном полем вблизи этой точки н для его вычисления можно формально применить теорию возмуще- ний, не требуя при этом соблюдения условия ее применимости при всех х; до- статочно выполнения условия квазиклассичности. Мы приходим тогда к фор.
муле (!) задачи 2 с той лишь разницей, что вместо импульса падающей частицы в ней должно стоять экачение функции р (х) при х = х,. Выбирая в данном случае точку излома в качестве точки х = О, имеем вблизи нее: (/ = — Р,х при х > О, (/= — Езх при х(0 с различными Р, и Рз. Интегрирование по лх производится путем введения в подынтегральное выражение затухающего множителя елкх(после чего пола- гаем Х - О). В результате найдем тздз /! = — э (Фз — Рг)з, где рэ = р (О).
9 53. Переходы под влиянием адиабатических возмущений Мы уже упоминали н 9 41, что в пределе сколь угодно медленно меняющегося со временем возмущения вероятность перехода системы нз одного состояния в другое стремится к нулю. Рассмотрим теперь этот вопрос количественно, вычислив вероятность перехода под влиянием медленно меняющегося (адиабатического) воозмущения (/т, Д. Ландау, 1961). Пусть гамильтониан системы есть медленно меняющаяся функцйя времени, стремящаяся к определенным пределам при / — ~оо. Пусть, далее, ф„(а, !) и Е„(!) — собственные функции и собственные значения энергии (зависящие от времени, как от параметра), получающиеся в результате решения уравнения Шредингера Н (!) ф„= Е„ф„; ввиду адиабатического характера временного изменения Н зависимости Е и ф„от времени также являются медленными.
Стоящая перед нами задача состоит в определении вероятности гпэг нахождения системы при !-ь +оп в некотором состоянии ф„если при ! -+ — оо она находилась в состоянии ф|. квхзикллсснчвсхий случай [Гл. чм (53,3) »р = а,«р, + а,~р». При этом надо иметь в виду, что при комплексных значениях «времени» 1 зависящий от него оператор Й (1) (вида (17,4)) по- прежнему совпадает со своим транспониронанным (Й = Й), но уже не является эрмитовым (Й чь Й*), поскольку потенциальная энергия У (1) 4= У (1)*.
Подставим (53,3) в уравнение Шредингера и, умножив его слева один раз на «р„а другой раз на «р„проинтегрируем по Й). Введя обозначения (53,4) и учитывая, что Нь» — — Н„ввиду указанного свойства гамильтониана, получим систему уравнений: Н„а, + Н„а, = Еа,„ Н„а» + Н»»а» = Еам (53,5) Медленность возмущения приводит к большой длительности «процесса перехода», и потому изменение действия за это время (даваемое интегралом — ) Е (1) Ж) велико. В этом смысле поставленная задача имеет квазиклассический характер и в определении искомой вероятности перехода существенную роль играют те значения 1 = 1„ для которых Е» (1») = Е» (1») (53,1) и которые как бы соответствуют «моменту перехода» в классической механике (ср.
Э 52); в действительности, разумеется, такой переход классически невозможен, что выражается комплексностью корней уравнения (53,1). В связи с этим возникает необходимость в исследовании свойств решений уравнения Шредингера прн комплексных значениях параметра 1 в оирестности точки 1 = 1», в которой два собственных значения энергии становятся равными. Как мы увидим, вблизи этой точки собственные функции 1р„ ф» сильно зависят от й Для определения этой зависимости введем предварительно их линейные комбинации (обозначим их кан «р»), удовлетворяющие условиям ) ф1(Щ = ) <р»«й) = 0~ ) (р1(р»й) = 1 (53,2) Зтого всегда можно достичь надлежащим выбором комплексных коэффициентов (функций от 1).
Функции ф„у» уже не имеют особенности при 1 = 1,. Будем теперь искать собственные функции в виде линейных комбинаций — Е)' = значения Условие разрешимости этой системы дает уравнение (Н„ = Н„НМО корни которого определяют собственные энергии Е = Нм~т» Н»АН»А. После этого из (53,5) находим (53,6) -уг орр Ар л (53,7) Из (53,6) видно, что для совпадения в точке г = («двух собственных значений в ней должно обращаться в нуль Н„илн Н,„; пусть это будет Нсо Обращение функции в нуль в регулярной точке происходит, вообще говоря, пропорционально / — /«, Поэтому Е(/) — Е(/«) = ~ сопз( у'7:7;, (53,8) т.
е. Е (г) имеет при / = /«точку ветвления. При этом и а«1 / — /„так что в точке / = /» имеется всего одна собственная функция, совпадающая с рр,. Мы видим теперь, что поставленная задача формально полностью аналогична рассмотренной в 9 52 задаче о надбарьерном отражении. Мы имеем дело с «квазикласснческой по времени» волновой функцией Ч' (г) (вместо квазиклассической по координате функции в 9 52), и требуется определить член вида с»рр» ехр ( — (Е»//й) в волновой функции при г-р +«»р, если при — ао волновая функция Ч' (/) = ф, ехр ( — (Е,//Й) (аналогично задаче об определении отраженной волны при х -» — оо по прошедшей волне при х — + со); искомая вероятность перехода шм = ~ с, ~».
При этом действие Е = — ) Е (/) Й выражается интегралом по времени от функции, имеющей комплексные точки ветвления (подобно тому, как имела комплексные точки ветвления функция р (х) в интеграле ~ р р(х), Поэтому рассматриваемая задача решается путем обхода в плоскости комплексного переменного / (от больших отрицательных к большим положительным значениям), полностью аналогично тому, как это было сделано в 9 52 в плоскости переменного х, и мы не будем повторять здесь соответствующих рассужденяй. Будем считать.
что на вещественной осн Е, > Е,; тогда обход должен совершаться в верхней полуплоскости комплексного г (при смещении в кЬторую отношение ехр ( — (Е»г/й)/ехр ( — »ЕА//й) растет). В результате получим формулу (аналогичную формуле (52,2)) ., = *р( — „' р («р)а), с (53,9) Э АЗ) ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ АДИАВАТИЧ, ВОЗМУЩЕНИЙ 939 (гл. Уп 240 КВАЗИКЛАССИЧЗСКИЙ СЛУЧАЙ где интегрирование производится по изображенному на рис. 19 контуру, но в направлении слева направо.
На левой ветви этого контура Е = Е„ а на правой Е = Е,, Поэтому можно переписать (53,9) в виде с ~, = .*р ( — г с ( „р> а), где щзг = (Е, — Е,)/сс; 1, — любая точка на вещественной оси 1, а в качестве 1, должен быть взят тот из находящихся в верхней полуплоскости корней уравнения (53,1), для которого показа- тель экспоненты в (53,10) имеет наименьшее по абсолютной вели- чине значение '). Кроме того, с прямым переходом из состояния 1 в состояние 2 могут конкурировать также «пути перехода» через различные промежуточные состояния, вероятности которых выра- жаются аналогичными формулами.
Так, для перехода по епути» 1 -+ 3-+ 2 интеграл в (53,10) заменяется суммой интегралов сСзс) с( гз) а "о маг(1) с(( + ) о>ю (1) с(с в верхних пределах которых стоят аточки пересечения» соответственно термов Е, ((), Е, (1) и Е» (1), Е, (1); этот результат получается путем обхода по контуру, охватывающему обе эти комплексные точки '). Задача Определять нзмененне аднабатнческого ннварнанта класснческого осцнллятора, подчиняющегося уравнению зчх — с + ыз (С) х = 0 (1) пРн медленном изменении частоты ю (с) от ее значениЯ юг пРн с - — со до ыз прн С - оо (А.
М. Дыхна, 1060). Р е щ е н н е. Уравнение (1) получастсн нз уравненнв Шреднвгерз переобоаначеннямн ф -ь х, х -ь С; р (х)са = й (х) -» ы (С), после чего задача оказываегся формально эквивалентной задаче об отражении от потенциального барьера, рассмотренной в $2З. Эго позволяет свести вычнсление нзменення аднабатнческого ннвзрнанта к вычислению амплитуды страже. ннн. ') В числе конкурирующих значений Са должны учитываться также н точки, в которых Е (С) обращается в бесконечность (но для таких точек предэкспоненцнальный коэффициент в (03,10) был бы другим). а) Случай промежуточных состояний, относящихся к непрерывному спектру, требует особого рассмотренна, Запишем решение (1) при ! - ~ со каи к= Агэ н' + А,'е н*, х-«.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
