Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 48
Текст из файла (страница 48)
в 54! спин 245 Соотношенря коммутации (54,1) дают возможность определить возможные значения абсолютной величины и компонент спина. Весь вывод, произведенный в $ 27 (формулы (27,7) — (27,9)), был основан только на соотношениях коммутации и потому полностью применим и здесь; надо только вместо Е в этих формулах подразумевать в. Из формул (27,7) следует, что собственные значения проекции спина образуют последовательность чисел, отличающихся на единицу. Мы не можем, однако, теперь утверждать, что сами эти значения должны быть целыми, как это имело место для проекции /., орбитального момента (приведенный в начале $ 27 вывод здесь неприменим, поскольку он основан на выраже.
нии (26,!4) для оператора /„ специфическом для орбитального момента). Далее, последовательность собственных значений з, ограничена сверху и снизу значениями, одинаковыми по абсолютной величине и противоположными па знаку, которые мы обозначим посредством ~з. Разность 2з между наибольшим н наилзеньшим значениями з, должна быть целым числом или нулем. Следовательно, число з может иметь значения О, 1/2, 1, 3/2, ... Таким образом, собственные значения квадрата спина равны в' = з(з+ 1), (54,2) где з может быть либо целым числам (включая значение нуль), либо полуцелым. При заданном з компонента з, спина мажез пробегать значения з, з — 1, ..., — з — всего 2з+ 1 значений.
Соответственно этому, и волновая функция частицы со спинам з имеет 2в + 1 компонент '). Опыт показывает, что большинство элементарных частиц— электроны, позитроны, протоны, нейтроны„р-мезоны и все гипероны (Л, Х, Е) — обладают спинам 1/2. Кроме того, существуюв элементарные частицы — и-мезоны и К-мезоны, — обладающие спинам О. Полный момент импульса частицы складывается из ее орбитального момента 1 и спина в. Их операторы, действуя на функции совершенно различных переменных, разумеется, коммутативны друг с другом.
Собственные значения полного момента )=!+в (54,3) ') Поскольку з есть для каждого рода частно заданное число, то при предельном переходе к классической механике (д -~ 0) спиноаый момент йз обращается а нуль. Для орбитального момента такое рассуждение не имеет смысла, поскольку ! может иметь произвольные значения. Переходу к классической механике соотаетстаует одновременное стрелзление а к нулю и! к бесконечности„так что пронзаеденне й! остается конечным. (гл. шп спин определяются тем же правилом «векторной моделиь, что н сумма орбитальных моментов двух различных частиц (2 31).
Именна, при заданных значениях 1 н а полный момент может иметь значения 1+ з, 1+ а — 1..., 11 — з (. Так, у электрона (свин 1/2) с отличным от нуля орбитальным моментом 1 полнын момент можег быть равен /' = 1 ~ 1/2; при 1 0 момент / имеет, конечно, лишь одно значение / = 1/2 Оператор полного момента 3 системы частиц равен сумме опег раторов моментов ) каждой из них„так что его значения определяются снова правилами векторной модели.
Момент 3 можно представить в виде з = (.+3, 1. = ~» 1„8 = ~~ а„(54,4) а а где 3 можно назвать полным спином, а 1. — полным орбитальным моментом системы. Отметим, что если полный спин системы — полуцелый (или целый), то то же самое будет иметь место и для полного момента, поскольку орбитальный момент всегда целый. В частности, если ' система состоит из четного числа одинаковых частиц, то ее полный спин во всяком случае целый, а потому будет целым и полный момент. Операторы полного момента частицы ) (нли системы частиц 3) удовлетворяют тем же правилам коммутации, что и операторы орбитального момента или спина, поскольку этн правила являкггся вообще общими правилами коммутации, справедливыми для всякого момевта импульса.
Следующие из правил коммуташги формулы (27,13) для матричных элементов момента тоже кцраведливы для всякого момента, если матричные элементы определять по отношению к собственным функциям этого же момента. Остаются справедливыми (с соответствующим изменением обозначений) также и формулы (29,7) — (29,10) для матричных элементов произвольных векторных величии. Задача Частица со свином !/2 находится в состоянии с определенным значением з = !/2. Овределить вероятности возможных значений нроекции спина на ось г', наклоненную иод углом 6 к оси г.
Р е ю е н и е. Средний вектор спина з направлен, очевидно, по оси з и ра.вен яо величине !/2. Проецируя его на ось г', найдем, ччо среднее значение свина в направлении г'есть з,. =г/ соз З. С другой стороны, имеем зм = = г/а рв+ — ьт ), где вгь — вероятности значений з,, = ~(/2. Учитывая таивге, ч'нг вь+ ю = ь, вайлем ю+ — — созе (6/2), ы = з(пз (а/2). опврдтор спина й 35.
Оператор снима (й)(п) = Е,1, ф(п), (55,1) где );о — постоянные! заключив 1'зр в скобки, мы хотим подчеркнуть, что следукиций далее спиновый аргумент относится уже не к начальной функции ф, а к функции, возникшей под действием оператора у. Легко видеть, что величины у, ° совпадают с матричными элементами оператора, определенными по обычному правилу (11,5) '), Интегрирование по координатам в (11,5) заменяется теперь суммированием по дискретной переменной, так что определение матричного элемента принимает вид 1..., = Е ф:,(п)(~ф„» И (55,2) Здесь фщ (а) и фе, (и) — собственные функции оператора з„отвечающие собственным значениям а, = и, л з, = и,; каждая такая функция, отвечает состоянию, в котором частица обладает определенным значением з„т.
е. из всех компонент волновой функции отлична от нуля лишь одна '): т)!о, (су) = боа, тато (и) = боо, ° (55,3) Согласно (55,1) имеем ()зйо,)(о) = Е ~ос'тяго, (и') = ~~ лсзоо бо'о, = стоа„, е о' ') Обратим внимание на то, что прн этом индексы у матричных элементов в правой стороне (55,!) записаны в последовательности, в известном смысле обратной обычной последовательности в (11,11). а) Более точно надо было бы писать: зуо (о) = ~Р (х, Р, з) 6; в (55,3) опущены несущественные в данной связи координатные мнажнтелв.
Подчеркнем лишний раз необходимость отлвчать заданное собственное значение з, (о, или о,) от независимой переменной сл Именно с этим связано различие записей (11,11) и (55,1). ,Ниже, в этой главе, мы не будем интересоваться зависимостью волиовык функций от координат. Говоря, например, о поведении функций тр(х, у, г; а) при повороте системы координат, можно подразумевать, что частица находится в начале координат, так что ее координаты при таком повороте останутся неизменнымн и полученные результаты будут характерны именно для поведения функции тр в зависимости от спииовой переменной а. Переменная о отличается от обычных переменных (координат) своей дискретностью. Наиболее общий вид линейного оператора, действующего на функции от дискретной переменной о, запишем в виде (гл.
тпт спин и после подстановки, вместе с фа,(О), в (55,2) последнее Равенство удовлетворяется автоматически, чем и доказывается сделанное утверждение. Таким образом, операторы, действующие на функции от О, могут быть представлены в виде (2в + 1)-рядиых матриц. Это относится, в частности, к оператору самого спина, действие которого на волновую функцию выражается, согласно (55,1), формулой (Вф)(О) = Е Ваа ф(О'). (55,4) Согласно сказанному выше (конец 2 54) матрицы в„, в„, в, совпадают с полученными в 2 27 матрицами (,„, Еа, (.„в которых надо лишь заменить буквы Ь и г)4 буквами в и О1 1 (В,)..— = — (Вз) — . ° = — — 2р'(В+ О) ( — О+ 1). (55,5) (Вг)аа = О.
Тем самым мы определили оператор спина. В важнейшем случае спина 1/2 (в = 112, О = ~1/2) эти матрицы двухрядны. Их записывают в виде 1 В= — О 2 (55,6) где ') 6* "= . О ' "= Π— (55,7) ') В записи матриц в виде (55,7) строки и столбцы нумеруются значениями о, причем номер строки соответствует первому, а номер столбца — второму индексу матричного элемента. В данном случае эти номера пробегают значения +1/2, — 1/2. Действие оператора, согласно (55,4), означает перемножение а-й строки матрицы с компонентами волновой функции, расположенными в столбик 'тф( — 1/2)) ' з) Обозначение проекции спина и матриц Паули одинаковой буквой не может повлечь недоразуменеиия: матрицы Паули снабжены крышечкой над буквой. Матрицы (55,7) называют матрицами Паули. Матрица в, = О,/2 диагональна, как и должно быть для матрицы, определейной по собственным функциям самой величины в,').
опвидтор спина ааа) 249 Отметим некоторые специфические свойства матриц Паули. Непосредственно перемножая матрицы (55,7), получим равенства (55,8) бай, = (й„, д,а„ = (аа, а„а„ = (а,. Комбинируя их с обшими правилами коммутации (54,1), найдем, что а,аь + аьй, = 28пм (55,9) т. е. матрицы Паули антикоммутативны. С помощью этих равенств легко убедиться в справедливости следуюших полезных формул: аа = 3„(аа) (аЬ)=аЬ + иу (аЬ), (55, 10) где а и Ь вЂ” два произвольных вектора ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
