Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 49
Текст из файла (страница 49)
В силу этих соотношений всякое скалярное полиномиальное выражение, составленное из матриц а„сводится к не зависящим от а членам и членам первой степени по а; отсюда следует, что всякая вообще скалярная функция оператора о сводится к линейной функции (см. задачу 1). Наконец, отметим значения следов (сумм диагональных компонент) матриц Паули и их произведений' Вра, =О, 5ра,аь = 26;а. (55,11) Подробному изучению спиновых свойств волновых функций, в том числе их поведения при произвольных вращениях системы координат, посвящены следующие параграфы этой главы.
Но уже здесь сразу же отметим важное свойство этих функций — поведение относительно поворотов вокруг оси г. Произведем бесконечно малый поворот на угол Ьр вокруг оси г. Оператор такого поворота выражается с помощью оператора момента (в данном случае — спина) в виде 1 + (ЬрЯ.. Поэтому в результате поворота функции ф (а) перейдут в ф (а) + бф (а), где бф (а) = (ЬрУ,ф (а) = (аф (а) Ьр, Переписав это соотношение в виде с(ф/сйр = (атр (а) и интегрируя, находим, что при повороте на конечный угол ~р функции тр (о) перейдут в функции ф (ст)' = ф (а) е'он.
(55,12) В частности, при повороте на угол 2н они умножаются на множитель ех"", одинаковый для всех а и равный ( — 1)" (число 2а всегда имеет ту же четность, что и 2а). Таким образом, при полном повороте системы координат вокруг оси г волновые функции ь) Ые аавнснщне от и члены в правых сторонах равенств (55,8) — (55,)О) надо, коне 1но, понимать как константы, умноженные на единичнув двухрадиую матрицу.
(гл. чгпг частицы с целым спинам возвращаются к своему первоначальному значению„.а волновые функции частиц с полуцелым спинам меняют свой знак. Задачи 1, Свести произвольную функцию линейного по матрицам Паули скаллра а+ Ьа к линейной функции.
Р е ш е и и е. Лля определения казффнцнентов в искомой формуле /(а+Ьа) = А -)- На замечаем, чго при выборе осн с вдоль направления Ь собственные значении операзора а+ Ьа раввы а и- Ь, а соответствующие собственные значения опера~ори / (и+ Ьа) равны / (а ~ Ь). Отсюда находим л = —, 1/(а+ ь) + /( — ьВ, в = —, 1/( + ь) — /( — ьп. 1 Ь 2 2. Определить значения скалярного произведении згзз спиноз (112) дауа частиц в состояниях, в которых суммарный спев системы З.=я, + з, имеет определенные значения (О нлн 1). Р е ш е в мы По общей формуле (31,3), справедливой при слоягенни лю.
бых лаух моментов, найдем згзз =!/4 нри 3 =1, за, = — 3/4 при 8 = О. 8. Какие степени оператора з произвольного спина з являются независи мымир Р е ш е н н е. Оператор (.Фз — 3) (зз — 3+ 1) .. (гз+ з), озставленный из разностей У, и всех нюзмаясных собственных значений з„дает нуль прн воздействии на любую волновую функцию, з потому сам равен нулю. Отсюда следует, что(зз)З'Е' зырзиьзьчся через более низкие степени оператора йю так что неззвисимымн явля!отея лишь его степени ог ! до 2з. З 56.
Спиноры При равном нулю спина волновая функция имеет всего одну компоненту ф (О). При воздействии оператора спина она обращается в нулы з$ = О,. Ввиду связи з с оператором бесконечно малых поворотов, зто значит, что волновая функция частицы с нулевым спинам не меняется при поворотах системы координат, т.
е. является скалярам. Волновая функция частицы со спинам 1/2 имеет две компоненты: лг (1/2) и ф ( — 1/2). Для удобства дальнейших обобщений будем отличать эти компоненты соответственно индексами 1 и 2, написанными у буквы сверху; двухкомпонентную величину (56,1) ф' ф( — 1/2) называ1от спинорол, спмиан ы При произвольном повороте системы координат компоненты спинора подвергаются линейному преобразованию фа' = аф' + бфа, фа' = сф' + дфа. (56,2) Его можно записать в виде (56,3) где У вЂ” матрица преобразования '). 5йаементьт этой матрицы, вообще говоря, комплексны и являются функциями углов поворота осек координат.
Они связаны друг с другом соотношениями, непосредственно следующими нп физических трейсваиий, предьявляемых к спвнору, как к волновой функции частицы. Рассмотрим билинейную форму ар' р' — ф' р' где ф и ~р — два спинора. Простое вычисление дает, фт'~р' — ф" ~р" (ад — Ьс) (ф'~ра — фтф'), т. е. величина (бса,4) при повороте системы координат преобразуется сама через себя.
Но если имеется всего один преобразующаяся сама через себя функция, то она может рассматриваться как соответствующая спину нуль и, следовательно, должна быть скалярам, т, е. должна вообще оставаться неизменной при поворотах системы координат. Отсюда получаем равенство Ы вЂ” Ьс= г; (56,5) определитель матрицы преобразования равен единице '). Дальнейшие соотношения возникают из требования, чтобы было скаляром выражение фхфье + фафао (56,6) определяющее вероятность пихождеиня частицы в данной точке пространства. Преобразование, оставлякнцее нивариантной сумму квадратов модулей преобразуемых величии, есть унитарное преобразование, т. е. должно быть У' = У ' (см. р !2). При условии (56,5) обратная матрица ') Заннеь Уф ореднолагает оеренноженне строк катрены Ф/ ео етоабнон а)ь ') Такие преоараоааанне двух велннно нниньнот Оинарнмн.
!гл. лчы 252 спин Приравняв ее сопряженной матрице У = ь. д. найдем соотношения а=с(э, Ь= — с*. (56,7)' В силу соотношений (56,5) и (56,7) четыре комплексные ве. личины а, Ь, с, с( содержат в действительности всего три независимых вещественных параметра, что соответствует трем углам, определяющим поворот трехмерной системы координат. Сравнив выражения скаляров (56,4) и (56,6), мы видим, что величины ф'*, фаэ должны преобразовываться как ф', — фл; легко проверить, что в силу соотношений (56,5) и (56,7) это действительно так ').
Алгебре спиноров можно придать форму, аналогичную тензорной алгебре. Это достигается введением, наряду с контрааариант. ными компонентами спинора. ф', фз (индексы сверху), также и коэариантных компонент (индексы снизу) согласно определению Фл = ф'~ Фа = — ф'. (56,8) Инвариантная комбинация двух спиноров (56,4) запишется тогда в виде скалярного произведения Ф' рл - Ф' р! + Ф'рэ - Ф р' — Ф'ф'. (56,9)' здесь и ниже по дважды повторяющимся (немым) индексам подразумевается суммирование подобно тому, как это принято в тензорной алгебре.
Заметим следующее правило, которое надо иметь в виду в спинорной алгебре. Имеем флак = Ф'!рл + Ф'!рз = — Фэ!р' — флирт, т. е. флфл = — ФЛл (56,10) Отсюда очевидно, что скалярное произведение всякого спинора самого на себя равно нулю: $лфл = О. (56,! 1) Согласно сказанному выше величины фл, фэ преобразуются как ф'*, фзэ„т. е. фл = (О ф)л. (56„12) ') Это свойство тесно связано с симметрией по отношению к обращению времени. Последнему соответствует (см. $ 18) замена волновой функнни на ее комплексно сопряженную. Но при обращении времени меняют знак также и ппоекпии момента. Поэтому функпнн, комплексно сопряженные компонентам 1рт ж ф (!)2) н фэ ж ф ( — !/2), по своим свойсюжм должны быть эквивалентны компонентам, отвечающим соответственно проекпиям спина — 172 и !/2, спиноры $66) Произведение Уе1(1 можно написать также и в виде 1РУе с транспонированной матрицей У'. Ввиду унитарности матрицы У имеем У* = У л, так что 1)л = (1рУ л)л или ') ь=() й)' (56,!3) Подобно переходу от векторов к тензорам в обычной тензорной алгебре, можно ввести понятие о спинор х высших рангов.
Так, спинором второго ранга назовем четырехкомпонентную величину 1)л», компоненты которой преобразуются как произведения 2)1л<р1' компонент двух спиноров (спиноров первого ранга). Наряду с контравариантными компонентами 1рл» можно рассматривать ковариантные 1(1л» и смешанные 1рл» компоненты, преобразующиеся соответственно как 1)л1р» и 1рл<р». Аналогичным образом определяются спиноры любого ранга. Переход от контра- к ковариантным компонентам спиноров и обратно можно представить в виде рл=ал»т" 1р' =й"'Ф (56,14) где (56, 15) ') Запись вида ф(1 (ф слева от (1) оаначает перемножение расположенных в строку компонент (фо фе) со столбцамн матрицы (1.
е) Заметим, что матрица (56,15) совпадает е Иа. — метрический спииор в векторном пространстве двух измерений' ). Таким же образом имеем, например, 1(1Л = ИЛИ 1рЛ» КЛтй»»4™ е » так что 1(112 = — 1(111 = — 1)21, 1(111 = 1р 2 = 1(122 И т. П. Сами дл» составляют антисимметричный единичный спинор второго ранга. Легко убедиться в том, что при преобразованиях координат его компоненты остаются неизменными и что дл д»' = б»л, (56, 16) где 61 — — 52=1, 52=6,=0. 1 2 1 2 Как и в обычной тензорной алгебре, в спинорной алгебре имеются дзе основные операции — умножение и упрощение (или свертывание) по паре индексов. Умножение двух спиноров дает спинор более высокого ранга; так, из двух спиноров второго и третьего рангов и фл» и 1рто можно образовать спинор пятого ранга фл»1р'о . Упрощение по паре индексов (т.
е. суммирование !гл щн спин компонент по одинаковым значениям одного ко- и одного конэравариантного индексов) понижает ранг спииора на две единицы. Так, упрощение спинора ф„„'~' по индексам р и ч дает спинор третьего ранга ф!,„я~"; упрощение спииора 4~Р дает скаляр фх". При этом имеет место правило, аналогичное выражаемому формулой (56,10): если переменить положения (верхнее и нижнее) индексов, по которым производится упрощение, то изменится знак велячины (т. е.
ф,,х = — ф"„). Отсюда, в частности,' следует, что если спниор симметричен по каким-либо двум своим индексам, то в результате упрощения' по этим индексам получим нуль. Так, для симметричного спинора второго ранга фх„имеем ф„" = О. Симметричным спииором и-го ранта назовем спинор, симметричный по всем своим индексам. Из асимметричного спинора можно составить симметричный снииор путем симметризации— суммированием компонент, получающихся при всех возможных перестановках индексов. В силу сказанного выше из компонент симметричного спинора невозможно составить (путем упрощения) спинор более низкого ранга. Что касается антисимметричного (по всем своим индексам) спи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
