Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Центрально-симметричный случай отличается еще и тем, что интегрирование по г(г в (51,!) производится в пределах от О (а не от — со) до +со: 7гз = ~. ХЛа г(г. е В этом отношении надо различать два случая. Если подынть гральиое выражение есть четная функция от г„тп интегрирование мажко формально распространить иа всю- область от — ов до +со, так что никаких отличий от прель(пущего не возникает. Этот случай может иметь место, если Уг (г) и Уа (г) — четные функции г ((7( — г) = У(г)!.
Тогда волновые функции )(, (г), и у (г) — либо четные, либо нечетные функции (см. у 21) г), и если функция 7' (г) тоже четна или иечетна, то произведение )(гауз мажет оказаться четным Если же подынтегральное выражение не является четным (что во всяком случае имеет место, если У (г) не является четной)„ то начало пути, интегрирования не может быть сдвинуто из точки г = О, н в число конкурирующих в (51,8) значении г, надо включить также и значение го = О. Задачи 1. Вычислить квазиклассические матричные элементы (ограничиваясь экспоиенннааьиым, мномытелеьг) в воле У = ((е Р е ш е и н а., И (л) ебраигаатся н бесконечность толино, ври л ° — е. Соответственно этому, валлгаеы в (61,6) ке = — ао.
Интегрированна можно расвростраинть до +аа. Калгдь»а иа двух интегралов в отдельности расходиося нв ') При четном У (г) радиальная волновая $ункния (г (г) четна (нечетна) при четном (нечетном) 1, как это видно из ее поведения прн малых г (где и г ).„ г тз!! Вычисление тсвиэикллссическтгх элементОВ 28! пределе †.
Поэтому вычисляем их сначалз в пределах ат — х до + со и затем переходим к пределу х - оэ. 'В .результате получим ехр ~ — — (о — а,) 1 вд где ат = рг2ег/т, тм = ргйее/т — скорости частицы на бесконечности (х -ь со), где движение является свободным. !х 2. Та же в кулоновам пале У = — для переходов между состояниями г е 4 = О. Р е ш е.н и е.
Единственной особой тачкой функции У (г) квлиетса точка г = О. Саответству)ащнй интеграл вычислен з задаче 2 $ 50. В результате получаем по формуле (5(,8) схр ~ — ( — — — )~ . 3. То же длн янгармонического осциллнтора с потенциальной энергией :тв' У (х) = — хе+ ))ка 2 при условии тзвз ' Мв ~ Е„Ее ~в Ю Р е ш е н и е. Обобщение Рэссуждений в тексте вв случай финитного движения .показывает, что формула (5),,6) по-презкиему справедлива, В качестве ке следует выбрать точки х -~ ~ос, причем .обе дают вклад одного порядка.
Имеем % Ш и--~( — ~[! Г2 а — го)~г — 1Гы(г — хэ~)), ет з~ Прн условии,(!) главный вклад дает облагль ,(2) в которой — хэ» Ет, Е„()хе. твз 2 Рззлагзя,иоказатсль эксповенты по степеням (Е„в/(/) (причем иены нулевого порядка сакращзются) н пренебрегая ркл, имеем; Логзрнфмпчески расходящиеся интегралы следует абрсзвть нэ границах области (2), т. е. цри х э/ — сверху.и х аз у — к а! ч/ твз ч/ Ез чг Е! 1/ ~ т,. ° ° Ктв снизу. В результате Е, теме Ет, и'ве) /тт ехр ( — — )н — + — ''!и — ) 2дв ()Ез 2йв ()Ех ) (гл. ум КВАЗИКЛАССИЧВСКИЙ СЛУЧАЙ 232 Вводя номера состояний пг Яз (Ег/Де), пз Яа (Еа/Дгз), запишем ответ в виде з,— а, пз~/г шюз Поскольку в решении существенны большие значения х, ответ справедлив для / (х) не слишком быстро растущей на бесконечности.
Если /(х) представляет собой полипом, то его степень должна быть мала но сравнению с (пз — пг). $ 52. Вероятность перехода в квазнклассическом случае Прохождение через потенциальный барьер является примером процесса, который в классической механике вообще невозможен.
В квазиклассическом случае вероятность таких процессов экспоненциально мала. Соответствующий показатель экспоненты может быть определен следующим образом. Рассматривая переход какой-либо системы из одного состояния в другое, решаем соответствующие классические уравнения движения и находим «траекторию» перехода, оказывающуюся, однако, комплексной в соответствии с неосуществимостью процесса в классической механике. В частности, оказывается, вообще говоря, комплексной «точка перехода» д„в которой имеет место формальный переход системы из одного состояния в другое; положение этой точки определяется классическими законами сохранения.
Далее, вычисляем действие Зг (д„ //з) + Вз (д„пз) для движения системы в первом состоянии от некоторого исходного положения д, до «точки перехода» дз и затем во втором состоянии от де до окончательного положения дя. Искомая вероятность процесса определится тогда формулой ш ехр ( — — „1ш [Ят(д„дз) + 5з(пз, /)з))~, (52,1) Если положение «точки перехода» неоднозначно, должно быть выбрано то из них, для которого показатель в (52,1) имеет наименьшее по абсолютной величине значение (в то же время, разумеется, это значение должно быть достаточно велико для того, чтобы формула (52,1) была вообще применима) ').
Формула (52,1) находится в соответствии с полученным в предыдущем параграфе правилом вычисления квазиклассических ') Если потенциальная энергия системы сама имеет особые точки, то зти точки тоже должны' входить в число конкурирующих значений Ем «з») ВНРОятнОсть ПВРехОдА В кВАзиклАссич. случАВ 933 матричных элементов. Следует, однако, подчеркнуть, что вычисление предэкспоненциальносо коэффициента в Вероятности такого рода переходов по квадрату соответствующего матричного элемента было бы неправильным. Основанный на формуле (52,1) метод кохтлексных классических траекторий имеет общий характер и применим к переходам в системах с любым числом степеней свободы (Л.
Д. Ландау, 1932). Если точка перехода вещественна, но лежит в классически недоступной области, то (в простейшем случае одномерного движения) формула (52,1) совпадает с выражением (50,5) для вероятности прохождения через потенциальный барьер. Надбарьерное отражение Применим (52,!) к одномерной задаче о надбарьерном отражении — отражению частицы с энергией, превосходящей высоту барьера. В этом случае поду» надо понимать комплексную координату х, «точки остановки», в которой частица меняет направление своего дви- Ве жения на обратное, т. е. комплексный корень уравнения (7(х) = Е, ю! Покажем, каким образом в этом слу- РВС. 19 чае можно вычислить коэффициент отражения также и с большей точностью — вместе с предэкспоненциальным коэффициентом. Мы снова (как и в 9 50) должны установить соответствие между волновыми функциями далеко справа (прошедшая волна) и далеко слева от барьера (падающая + отраженная волны).
Это легко сделать способом, аналогичным примененному уже в 9 47, 50, рассматривая ф как функцию комплексной переменной х, Напишем прошедшую волну в виде ф = = ехр ~ — ) рс(х 1) г =ур )»,) 1 (где х, — какая-либо точка на вещественной оси) и проследим за ее изменением при обходе в верхней полуплоскости по пути С, огибающему (на достаточном удалении) точку поворота х» (рис. 19); последняя часть этого пути должна проходить целиком в настолько удаленной влево области, чтобы вдоль нее погрешность приближенной (квазиклассической) волновой функции падающей волны была меньше искомой малой величины ф .
Обход точки х«привод р «'т — ~и ~'Р'~ вещественную ось функция ф+ перейдет, следовательно, в волну й вт! Вероятность переход»ч в квАзмилАссич. случая йбй если 0 (х) обржцается в бесконечность где-либо в верхней полу- плоскости: наступает момент, когда точка х„в которой (7 = Е, настолько сближается с точкой х в которой (7 = оо, что обе дают сравнимый вклад в козффнпиеит охран!енин (интеграл о (х, х,) 1) и формула (52,3) становится неприменимой.
В предельном случае, когда Е настолько велико, что указанный интеграл мал по сравнению с едннипей„становится применимой теория возмущений (см. задачу 2) '). Задачи !. В квазнклассичесном приближении с зкспоненциальной точностью определить вероятность распшш дейтроиз прм столкновения с тяжелым ядром, рассматриваемым как неподвижный, центр кулонова поля (Е. М. Лифшиц,. 1939). Р е ш е н и е. Наибольший вклад в вероятность реакции вносят столкновения с нулевым орбитальным маме«ком. В квазнклассичяском приближении зто — «лобовые» стозкновения, в которых движение частиц сводится к одномерному. Пусть Š— энергия дейтрона, измеренная в единицах э — внергва связи протона и яейтрона в нем; Е„и Ер — эиергкв освободившихся нейтрона и и!»о.
тона (в тех же единицах). Введем также безрамерную координату д = «7(2« 'а) (Ее — заряд ядра), а ее значение (вообше гонора, комплексное) в «точке перехода», т. е. в «момент распада» дейтроиа, обозначим через да. Представим Е„, Ер, Е з виде вв ор 1 Еа= » Ер= — + — » Е=ов+ (1) 2 » Р 2 Чв ' дз о„, вр, вв — «скорости» частиц в момент распада, измеренные в единицах )» е7ш (т — масса нуклона); о„вещественна и совпадает со скоростью освободившегося нейтрона, а вр н вв комплексны.
«гслоаня сохранения энергии и импульса в точке перехода дают (2) Ер + Е„= Š— 1, ор + и„= 2ок, откуда ор— - 2«+ о„, оп= !+о„, — = Е+1 — о +2!оя. 1 2 Ч« Действие системы до перехода отвечает движению дейтрона в поле ядра до точки распада; его мнимая часть )ш Е« = 2«з ~/ — !ш ) )/ 4 ~Š— — ) «(Ч = О = 2«з )/ — 1ш (24«ов — =лги'угц«Е) (3) )гЕ ') Пронек«уто лений случай рассмотрен В. Л.
БЪнрввским и рХ. Аб. Хв»авгь низовым ()КЭТФ 40, 1713 (1961)). кпдзикллссический случАЙ (ГЛ. УЙ (м 4О ч/ >л р Гч/ о. оо ,ч/т ( "и> 2 Еоо эгг — 1ш! — о Я вЂ” орда+ ~ — Агс)> У ЯоЕ в о о р) ° » Согласно (52,!) вероятность процесса ш ехр~ — — 1/ — 1ш[1/ — Агс)> 1/п,Е» — = Агой )>ц,Е~~. о р (4) В соответствии с пронсхожденнем первого н второго Агс)> в квадратных скобкая из выраженнй (4) н (3) знаки их мнимых частей должны совпадать со знаками соответственно 1ш оо н 1шон (энакн же последних в решенян уравнений (2) выбраны так, чтобы в результате получилось !ш (5>+ 5,) > 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
