Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Положив Š— (? (х) — Ее (х — Ь), Ее > О, напишем функцию (50,!) в виде и произведем в ней обход справа налево по полуокружности в верхней полуплоскости:. х — Ь = ре тот х — Ьс(х = — р !ч — з!и — + (соз — ~ тв .Г г — 2 а/2 I ЗЧ ° 3Ч> т 2 2/' з! Примеры такого рода уже рассматривались в задачах 2 и 4 к 4 23, й ьо! прохождение через потвнцилльныи влрьев 22! причем фаза рр меняется от 0 до а.
В течение обхода функция ф (х) сначала убывает, а затем возрастает по модулю, становясь в конце обхода равной ь ф(х) = . ехр — ) )р 2рпРе(Ь вЂ” х)с(х+ —, с 1 (! г !п1 (2 Р)пр (Ь )р!4 Рлн ~ Я ) О а х Таким образом, находим следующее правило соответствия ')! х ) ( х с ~!с = р( — (рр -р — ) — *р( — ( рр,!) ррррр !и с 1 х(Ь Подчеркнем, что это правило предполагает определенный вид волновой функции (бегушая направо волна) в классически разрешенной области и должно применяться именно для перехода от последней к классически недоступной области.
Вернемся теперь к вычислению коэффициента прохождения через потенциальный барьер. Пусть частица падает на барьер из области р' слева направо, Тогда в области Ш позади барьера будет иметься лишь прошедшая через барьер волна, распространяюшаяся вправо; волновую функцию в этой области напишем в виде у'(! ! ! рл ф = 1г — ехр р ) р ь(х+— о (Я,) 4 р (50,3) где о = ррт — скорость частиц, а 0 — плотность потока в волне. По правилу (50,2) находим теперь волновую функцию в области П внутри барьера: х/ В ! )и( ь х )ргл *р(+(1рр ( — — „(рр ). ррррр а И Р) При обходе же справа налево через нижнюю полуплоскость функция ф(х) сначала возрастает, а затем убывает по модулю, превращаясь на левой полуоси (Чр - — и) в акспоненцнально малую величину, сохранение которой «на фоне» акспоненциально большой функции (50,2) было бы незаконным, На том участке обхода, где ф (х) зкспоненциально велйко, из-за неточности квазикласснческого прибинження теряется зкспоненциально малая добавка, которая при рр — и могла бы превратиться в вкспоненциально большой член, тем самым тоже теряющийся.
~гл. тн КВАЗИКЛАССИЧВСКИЙ СЛУЧАЙ 222 Наконец, применив правило (47„5), получим в области 1 перед барьером: ь 1 ф = 2 тат — ехр~ — „) ~р~с(х)соз ~ А ) рбх — —, И Эта функция, если положить в ней ь о-мь ( — — „(Ь[ь ). а (50,5) принимает вид л (~ г и тр = =сок — ) рдх+— ~ а,) 4)— а т е ! ь г ш) ~ ) тг йт = =ехр — ) рс(х+ — + = ехр — — ) рс(х — — 1ь. О е т) С акспоненциальной малостьв ст связан и тот факт, что амплитуды ваканцией а отраженной воли н области 1 оказались одннакоными; експоненцнально малан разница между ннмн и кназнклзссическом приближенна теряется, Первый член в ней (сводящийся при х — — оо к плоской волне еьь"та) описывает падающую на барьер волну, а второй— отраженную волну.
Выбранная нормировка отвечает равной единице плотности потока в падающей волне, а потому величина 1)в плотность потока в прошедшей волне — совпадает с искомым коэффициентом прохождения через барьер. Подчеркнем, что эта формула применима лишь, если показатель экспоненты велик, так что само 17 мало '). До сих пор предполагалось, что поле У (х) удовлетворяет условию квазиклассичности на всем протяжении барьера (за исключением только непосредственной окрестности точек поворота).
Фактически же часто приходится иметь дело с барьерами, в которых кривая потенциальной энергии с одной из сторон идет настолько круто, что квазикласснческое приближение неприменимо. Основной экспоненциальный множитель в 1т остается здесь тем же, что и в формуле (50,5), но предэкспоненциальный множитель (равный в (50,5) единице) меняется.
Для его вычисления необходимо в принципе вычислить точную волновую функцию в неквазиклассической области и по соответствию с ней определить квазиклассическую волновую функцию внутри барьера. $ эс) пРОхОждение чеРез пОтеннидльный БлРьеР 223 Задачи 1. Овределнть ноэйфициеит прохождения через потенциальный барьер, изображенный иа рис. 14: У (х) = О при х к.
О, 1/ (х) = Уо — Гх при х ~ О; вычислить тольно экспоиенплзльиый множитель. Р е ш е и и е, Простое вычисление приводит к результату 0 ехр ~ — — (Уо — Е) ' 1. 4 Р 2лт з/з1 ЗАР 2. Определить вероятность выхода частицы (с равным нулю моментом) нз центрально-симметричной потенциальной ямы: У (г) = — Уо прн г (го, У (г) = = а/г при г > го (рвс. 15) '), Рис. 15 Рис. 14 Р е ш е и и е. Центральна-симметричная задача сводится н одномерной, так что можно применять полученные выше формулы. Имеем а/н р[ — — „( )/ ( — е)~1 го Вычисляя интеграл, окончательно получим ю ехр ( — — ~/ — [агссоз $/ — о — $/ — о (! — — о)Я.
В предельном случае го -о О эта формула переходит в формулу ю елр ( — — „~ — ) = ехр ( — — ) Эти формулы применимы, когда показатель велин, т. е. и/йо ~ !. Это условие, как и должно быть, совпадает с условием (49,11) кваэнклассичности движения в кулоиовом поле. 3. Поле У (х) представляет собой лзе симметричные потенциальные ямы (1 и //, рис. !6), разделенные барьером. Если бы барьер был непроницаем для частицы, то существовали бы уровни энергии, отвечающие движению частицы только в алкой или а другой яне, одинаковые для обеих ям.
Возможность пере. кода через барьер приводит к расщеплению каждого из этих уровней иа два блиэних уровня, соответствующих состояниим, в которых частица движегся ') Эта задача впервые рассматривалась Г. А. Голюэмм (1928) и Горна н Кондоном Я. йг. Оиглеу, Е. У. Сонг(ол, 1929) в связи с теорией радноантив- ного а-распада. (гл. у11 квдзикллссичвбтсий случай 224 одновременно в обеих ямах, Определить величину расщепления (поле (»'(х) предполагается квазнклассическнм). Р е ш е н и е.
Приближенное решение уравнения Шредингера в поле (1(х), отвечающее пренебрежению вероятностью перехода через барьер, строим с по. мощью кэазиклассической волновой функции ф„(х), описывающей движенне (с некоторой энергией Ее) в одной яме (скажем, в яме!), т. е. экспонеицнально затухающей в обе сторойы от границ этой ямы; функция фр (х) предполагается нормированной так, что интеграл от ф! по области ямы 1 равен единице. При учете малой вероятности туннелирования уровень Е„расщепляется на уровни Ет и Е,. Правильные волновые функции нуленого приближенна, отвечающие этим уровням, предстанляют собой симметричну»о и антисимметричиую комбинации функции фе (х) н тр, ( — «): 1 1 ф» (х) = = (ф, (х) +»('э ( — х)!, ф, (х) = = (фе (х) — фе ( — х)! (1) ) "2 Рг2 В области ямы 1 функция ф, ( — х) исчезающе мала по сравненвю с фэ (х), а в яме П вЂ” наоборот, Поэтому произведение»р, (х) ф, ( — х) исчезающе мало везде, н функции (1) нормированы так, что равны единице интегралы ог ив квадратов по ямам 1 и 1!.
Пишем уравнения Шредингера 2~л 'ро+ аз (Еа (»)фа=0 2гл Р", + —,, (Е, — и) ф! = 0, а Л Рис. 16 умножаем первое на ф„второе на фе, вычитаем почленно и интегрируем по»(х в пределах от 0 до о». Имея н виду, что при х = 0: »р, = р'2фе, тр,' = 0 и что »О О» ! Г з 1 »р ф!»(х = ~ ф»(х = =, о -2) о о о находим дэ Е, — Ео = — фо (О) фа (О).
Аналогичным образом находим лля Е, — Е, такое же выражение с обратным знаком. Так»»м образом, 2йз Ег — Е! = фе (0) фо (0). »и О помощью формулы (47,1) с коэ)трициевтоь» С из (48,3) находим, что е фо (О) = ~/ — елР— — ) ! Р ) г(х, »Ро (О) = — „фо (О), й,) $ аа) прахажденИЕ ЧЕРЕЗ ПОтенЦКАЛьный БАРЬЕР гДе ар = Р'2(Ур — Ер)/ш. Таким абРазом, р ый 1 Г Ер — Е, = — ехр — — ) ) р ! с(х л ~ д 3 р (а — точка поворота, отвечающая энергии Е, — см. рнс. 16).
4. Определить точное значение коэффициента прохождения В (не предпо- лагая его малым) через параболический потенциальный барьер У (х) = — дхр12 (Е, С. КешЫе, 1935) '), Р е ш е и и е. При любых значениях й и Е движение квазиклассична иа достаточно больших расстояниях ) х), где р = 1 2ш 1 Е+ — йхр) яр х усей+ Е ~г й х н асимптатнческий вид решения уравнения Шредингера есть ф = сапа! й+гр Пз ехр (~Щ2), где введены обозиачеиияс гшй Х Пр $=х~ — ) ~д) ° — д У Нас интересует решение, которое при х - + са содержит лишь прошедшую через барьер волну, т. е, распространяющуюся слева направо.
Положим ф= Вйрр Ьяехр(гйтгй) при х-~ос, (1) ф=( — Е) гр !~зехр( — 1$з/2)+А( — $)гр !~зехр(1(т12) при х-:.— со. (2) Первый член в (2) представляет собой падающую, а второй — отраженную волну (направлением распространения волны является та, в котором возрастает ее фаза). Связь между А и В может быть найдена исходя из того, что асимптш тическое выражение ф справедливо во всей достаточна удаленной области пло. скости комплексного переменного в. Проследим за изменением функции (1) при обходе вдаль палуокружностн большого радиуса р в верхней палупласкасти Б: $ = ре~ч, (Г~ = р ( — з!и 2ср+ (сор 2~у), причем ср меняется от О да л. В результате обхода функция (1) переходит во второй член в (2) с ксвффициеитом А = В (егп)ге 1гз = — (Ве (з) на участке пути (л!2 ч.. ср < гг), где модуль ( ехр (гвр)2) ! экспоиеицпальио ве- лик, теряется экспоиеициально малая величина, которая должна была бы дать первый член в (2) р), При выбранной в (2) нормировке падающей волны условие сохранения числа частиц имеет вид (А(Р+)В)Р=!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
