Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Обратим внимание на то, что это условие — более слабое, чем (45,4). Поэтому, если можно рассматривать поле как возмущение при малых энергиях частицы, то это во всяком случае возможно и при больших энергиях, между тем как обратное, вообще говоря, не имеет места '). Применимость развитой здесь теории возмущений к кулоиову полю требует особого рассмотрения. В поле (/ = а/г нельзя выделить конечной области пространства, вие которой (/ было бы значительно меньше, чем внутри нее. Искомое условие можно получить, написав в (45,6) переменное расстояние г вместо параметра а; это приводит к неравенству (45,7) ') В одномерном случае условие применимости теории возмущений дается неравенством (4б,й) при всех йа.
Вывод условия (45,4), проведенный выше для трехмерного случая, в одномерном случае иевоэмажеи ввиду отмеченной в примечании на стр, )9а расходимости построенной таким способом функции ф'г'. й ча) потянцидльндя энергия как нозмгщенип 199 (гл. уг теория ВОзмущениИ 200 Таким образом, при больших энергиях частицы кулоново поле можно рассматривать как возмущение '). Наконец, выведем формулу, приближенно определяющую волновую функцию частицы с энергией Е, везде значительно превышающей потенциальную энергию (У (выполиения каких-либо других условий при этом не требуется). В первом приближении зависимость волновой функции от координат такая же, как для свободного движения (направление которого выберем в качестве оси х), Соответственно этому, ищем ф в виде тр = е'""Р, где Р есть функция координат, меняющаяся медленно по сравнению с множителем епщ (о ней, однако, нельзя, вообще говоря, утверждать, что она близка к единице).
Подставляя в уравнение Шредингера, получим для Р уравнение 2Й а — — а, (тР, дг" 2т (45,8) откуда тР = ег""Р = сопз( егз" ехР ( — л„) (г' гХх) . (45,9) Это и есть искомое выражение. Следует, однако, иметь в виду, что оно неприменимо на слишком балыках расстояниях. В уравнении (45,8) опущен член ЛР, содержащий вторые производные от Р, Производная дзР/дхз, вместе с первой производной дР/дх, стре. мится на больших расстояниях к нулю. Производные же по поперечным координатам у, х к нулю не стремятся, и пренебрежение ими возможно лишь при условии х (( йаз, Задачи 1. Определить уровень энергии в одномерной потенциальной яме мздой глубины; предполагается, что условие (45,4) выполнена.
Р е ш е н и е. Делаем предположевие, падтвержда~ощееся результатом, что уровень энергии (Е) С ) У ). Тогда в правой' стороне уравнения Шредингера а""ф 2т — = — (У (х) — Е) ф л" можно в области ямы пренебречь Е, а также считать ф постоянной, которую без ограниченна общности можно положить равной единице: спф 2т — = — и. охе аэ Проинтегрируем это равенства па лх между двумя точками и-хг такими, что а К х, щ! !к, где а — ширина ямы, а к = Гг2т ) Е )(а.
Ввиду сходимости инте. х) Надо иметь в виду, что интеграл (4б,б) с полем У = а(г расходится (логзрнфмическн) при больших х/)Гуе+ зе. Поэтому получаемая с помощью теории возмущений волновая функция в нулоновом поле неприменима внутри узкого конуса вокруг осн х. 3 451 ~отиниидльндя вниргия кдк возмищянии 2О1 гралз ог У (х) можиа распростраипть иитегрироваиие справа по всей области ст — аа до +со, +ь Вдали от ямы волиовая фуикция имеет вид ф = емк», Подставляя то в (1), иайдем +сч 2т à — 2и = — 41 У 4(л = лз Ф или К~= — „((иь) Мы видим, в согласии со сделаииым предположением, что величина уровня оказыкается малой величииай более высокого (второго) порядка, чем глубина ямы.
2. Определить уровень зиергии в двумерной потенциальной яме У (г) (г— полярная коордииата в плоскости) малой глубины; предполагается, что икте. грал б~ г(/Нг сходится. Р еш е и и е. Поступая, как в предыдущей задаче, получим в области ямы уравиекие Интегрируя его по Нг от О до гт (где а ~ гт «1!к), имеем ОЗ вЂ” — "ги(г) Г. 4(ф 1 2т (1) 4(г ~г=г, йзгз Вдали от ямы уравиеиие двумериого свободиаго движеиви 1 б Г бф4 2т — — ~г — ) + — Еф= О ,Гг ) Да имеет решеиие (обращающееся иа бескоиечиосги в нуль) ф = сопз( Р7(ог)(огг); при малых зиачеииях аргумента главный член в этой функции пропорциоиалеи !п кг.
Имея это в виду, приравниваем пра г — а логарифмические производные от ф, вычислеииые в име (правая сторона (1)) и вие ее, и получаем Ю 1 2т Г „„„„= — „,, ~ и(г)г Ьг, е откуда Мы видим, что уровеиь виергии оказывается экспоиеициальио малым по сразив. иию с глубикой ямы. ГЛАВА ЧИ КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ 2 46. Волновая функция в квазиклассическом случае сделаем формальную подстановку (46,1) Для функции о получаем уравнение — (Ч а)' — ~~ — Ь о = Š— У. Х. 'л.
1 я 'Кз Га 2т~ " л'12т~ (46,2) Соответственно тому, что система предполагается почти класси- ческой по своим свойствам, будем искать о в виде ряда о=о.+ — 1о~+(',1) "+", (46,3) расположенного по степеням Й. Начнем с рассмотрения наиболее простого случая — одномерного движения одной частицы. Уравнение (46,2) сводится тогда к уравнению ,— о — — о' = Š— У(х) 1, 1а 2т 2т (46,4) (где штрих означает дифференцирование по координате х). Если дебройлевские длины волн частиц малы по сравнению с характеристическими размерами Е, определяющими условия данной конкретной задачи, то свойства системы близки к классическим.
(По аналогии с тем, как волновая оптика переходит в геометрическую прн стремлении длины волны к нулю.) Произведем теперь более подробное исследование свойств квазнклассичсских систем. Для этого в уравнении Шредингера з га1 волновая еиикция в квлзиклдссичнском слнчян 2оз В первом приближении пишем а = а, и опускаем в уравнении член, содержащий й: — о =Š— и(х), 1 2гч Отсюда находим ,=*(ч 2 ~и — ня>а*. гг, = ~ ) рс(х, р =1гг2т(Š— (/), (46,5) что и следовало ожидать в соответствии с предельным выражением (6,1) для волновой функции ').
Сделанное в уравнении (46,4) пренебрежение законно только в том случае, если второй член в левой стороне )эавенства мал по сравнению с первым, т. е. должно быть гг ~ и"/а ' ~ «1 или ф(+) ~«1. В первом приближении имеем, согласно (46,5), а' = р, так что полученное условие можно написать в виде ~ ей [«1 (46,6) где и = Х/2п, а Х (х) = 2пй/р (х) — дебройлевская длина волны частицы, выраженная как функция от х с помощью классической функции р (х). Таким образом, мы получили количественное условие кеазмклассичмости — длина волны частицы должна мало меняться на протяжении расстояний порядка ее самой. Приближение становится неприменимым в тех областях пространства, где это условие не выполняется.
Условие (46,6) можно написать и в ином виде, заметив, что 4з ы, яг йгг ягр — = — у'2т (Š— (/) = — — — =— г) Как известно, ~ рг1х есть не зависящая от времени часть действия. Полное механическое действие Е частнны есть Е = — ЕГ ~ ~ р ея. и о„член — ЕГ отсутствуег в соответствии с тем, что мы рассматриваем не аавнсящую отвремени волновуго функциго ф. Подыитегральное выражение представляет собой не что иное, как классический импульс р (х) частицы, выраженный в функции от кгюрдинаты.
Определив функцию р (х) со знаком + перед корнем, будем иметь 1гл. чц КВАЗИКЛАССИЧВСКИЙ СЛУЧАЙ оо л а1 2«2Р Интегрируя, находим ! а,= — — 1пр 2 (46,8) (постоянную интегрирования опускаем). Подставляя полученное выражение в (46,1), (46,3) получим волновую функцию в виде — ехр( — „~ рах)+ — * ехр( — — „' ) р«(х). (46,9) ~/р Ь где Р = — Ж//ах есть классическая снла, действующая на частицу во внешнем поле. Вводя зту снлу, находим (46,7) Отсюда видно, что квазикласснческое приближение становится неприменимым при слишком малом, импульсе частицы.
В частности, оно заведомо неприменимо вблизи точек квворогла, т. е. вблизи тех точек, в которых частица, согласно классической механике, остановилась бы, после чего начала бы двигаться в обратном направлении. Эти точки определяются из равенства р (х) = О, т, е. Е = У (х). Прн р — О дебройлевская длина волны стремится к бесконечности н ясно, что во всяком случае не может считаться малой. Подчеркнем, однако, что условие (46,6) илн (46,7) само по себе может оказаться недостаточным для допустимости квазнкласснческого приближения.
Дело в том, что оно получено путем оценки различных членов в дифференциальном уравнении (46,4), причем отбрасываемый член содержит старшую производную. Между тем в действительности надо требовать малости последовательных членов разложения в решении этого уравнения, и она может не обеспечиваться малостью отбрасываемого члена в уравнении. Так, если в решении для а (х) содержится член, возрастающий с координатой х по закону, близкому к линейному, то малость второй 'производной в уравнении не мешает тому, что на достаточно больших расстояниях этот член может «набрать» большую величину.
Такая ситуация возникает, вообще говоря, когда поле простирается на расстояния, большие по сравнению с характерной длиной Е, на которой оно испытывает заметное изменение (см. ниже замечание в связи с формулой (46,!1)); кзазиклассвческое приближение оказывается тогда неприменимым для прослеживания за поведением волновой функции на больших расстояниях.
Перейдем к вычислению следующего члена в разложении (46,3). Члены первого порядка по й в уравнении (46,4) дают аоа1 + + ао/2 = О, откуда $46! ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ В КВАЗИКЛАССИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ ОО5 Множитель 1!~/р в этой функции допускает простое истолкование. Вероятность нахождения частицы в точках с координатами между к и к +»(х определяется квадратом 1»р 1», т. е.