Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Конечное состояние электрона должно иметь момент ! = 0 (совпадающий с моментом начального состояния). С помощью функции )7тэ и нормированной по шкале д)2п функции )7з„полученных в 4 36, и формулы (1, 3) математнческиа дополнений найдем з) ( †) — , , 4 У'2— „„(, + !М3)гггэ (! 1„73) — Гпгз ) т,,-та7г (1 + зз!3з) н, посколыгу )(1+!гх)гга)э=ехр ( — 2 й ), окончательно получим 2т у ' ~,и = 3г(!+аз/3т)г '~ 3 /'"' где введено обозначение Предельные значения функции )(и): ! = е г прн а ш 1, 1 = ц!2п прн и > 1. т) В задачах 4 и 5 пользуемсн атомными единицами. з) Здесь н ниже используется водородоподобность состояния К-электронов (см. 4 74).
з) При вычислении удобно пользоваться кулоиовыми единицами, перейдя затем к атомным единицам в окончательном результате. й 411 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВОЗМУШЕНИЯ 187 Полива вероятность ионизация К-оболочки получается интегрированием дш по всем энергиям вылетающего электрона.
Численный расчет дает ш = 0,052-з. 5. Определить вероятность вылета электрона нз К-оболочки атома с большим 2 при и-распаде ядра. Скорость а-частицы мала по сравнению со око. ростью К-электрона, ио время ее выхода из ядра мало по сравнению со вре. менем обращеинв электрона (А. Б. Мигдал, !941; з. Ееилйег, !968). Р е ш е и и е.
После вылета и-частицы действующее на электрон возмущение имеет адпабатический характер. Поэтому искомый эффект определяется в основном временем, близким к нарушающему аднабатичвость «моменту включения» возмущения, когда а-частица, выйдя из ядра и двигаясь как свободвэя, находится еще на расстояииих, малых по сравнению с радиусом К-орбиты. Роль возмущеиия )г, вызывающего ионизацию атома, играет при этом отклонение совместного поля ядра в а-частицы от чисто кулоиова ноля х/г. Дипольиый момент двух частиц с атомными весами 4 и А — 4 в зарядами 2 и 2 — 2, находящимися иа рзсстояиви Ш друг ог друга (о — относительная скорость ядра и а-частицы), равен 2(А — 4) — (г — 2) 4 „, 2(А — 22) А Поэтому дипольиый член поля ядра и а-частицы есть ') 2 (А — 22) г А гз' где ось г направлена вдоль скорости т. Матричный элемент этого возмушеивя сводится к матричному элементу от з: взяи матричный элемент от уравнеииа движения электрона й = — 2а/гз, получим ( з ) (Б — Бэ)з Искомая вероятность перехода одного из двух электронов К-оболочки равна, согласно (41,2), /„й И вЂ” 22Ъ' Ф о Ошя вычисления интеграла вводим в подыитегральное выражение дополнительный затухающий множитель е ~~(х ~ 0), после чего в получающемся результате полагаем а -ь 0).
Для вычисления матричного элемевта от а = г соз 9 замечаем, что поскольку орбитальный момент в начальном состоявин 1= О, то соз 9 имеет отличный от нуля матрвчный элемеит лишь длв перехода в состояние с ! = 1,' прв этом 1 3 ( Вычисляя г,ь с помощью радиальных функций )гзз и Ра„получим в результате 2'г(А — 22)зоз ) ( й ), ЗАзЕ' (1+ —,) (фуакция ( определена в задаче 4).
") Если разность А — 22 мала, может оказаться необходимым учет также и следующего, квадрупольного члена. <гл. т4 теОРия Возмущвннп $42. Переходы под влиянием периодического возмущения Другого рода результаты получаются для вероятности пере.. хода в состояния непрерывного спектра, происходящего под влиянием периодического возмушения.
Предположим, что в некоторый начальный момент времени Г = 0 система находится в (-м стапионарном состоянии дискретного спектра. Частоту в периодического возмущения будем предполагать такой, что йв>Е в — Е';", (42, О где Е в — значение энергии, с которого начинается непрерывный спектр, Из результатов э 40 заранее очевидно, что основную роль будут играть состояния непрерывного спектра со значениями энергии Ег в непосредственной близости к «резонансной» энергии Е~"' + йв, т.
е. такие, для которых разность вп — в мала. По этой же причине в матричных элементах возмущения (40,8) достаточно рассматривать только первый член (с близкой к нулю частотой вп — в). Подставляя этот член в (40,5) и интегрируя, получим е ~ — ! с (ег -е) г ап = — — „~ $/п(С)й = — Рп а(в и,, (42,2) о Нижний предел интегрирования выбран таким образом, чтобы при 4 = 0 было ап — — 0 в соответствии с поставленным начальным условием. Для квадрата модуля ап отсюда находим 44!п~ !ап!' = 1Еп!' аз(„, в)1 ° (42,3) Легко видеть, что при больших 1 стоящая здесь функпия может быть представлена как пропорпиональиая Г.
Для этого замечаем, что имеет место следующая формула: (42,4) Действительно, при а ~ 0 написанный предел равен нулю, а прн мп~ см а = 0 имеем „, = 1, так что предел равен бесконечности. Интегрируя же по 4Ь в пределах от †до + оа (делаем подстановку а( = $), получим -~-о» +О) е ет) пвряходы под влияниям пнриодичвского возмнщвния )ВВ Таким образом, функция, стоящая в левой стороне равенства (42,4), действительно удовлетворяет всем требованиям, определяющим б-функцию. Соответственно этой формуле мы можем написать при больших г ! и! ! и! ( ) нли, подставив йвп Е, — Е)е' и воспользовавшись тем, чю б (ах) = б (х)(а~ ! ап !' = — „! Рп !'6(Е) — Е!" — йв) Е Выражение ! ап !Чог есть вероятность перехода из первоначального состояния в состояния, находящиеся в заданном интервале дон Мы видим, что при больших ( она оказывается пропорциональной истейшему с момента ( = О промежутку времени.
Вероятность же с(шп перехода в течение единицы времени равна ') гйл(г = — „! Рп !' 6 (Е~ — Е';" — йв) сЬп (42,5) шю * а )~Е$! ' эн (42,5) Методически поучителен также и другой способ вывода формулы (42,5), в котором периодическое возмущение предполагается включающимся не в дискретный момент ( = О, а медленно нарастает от г = †по экспоненциальному закону е"г о положительной постоянной Х, которую затем устремляют к нулю (адиабалгическое включение). Соответственно и начальное условие аи = О ставится при этом в момент г = †.
Матричный элемент возмущения имеет теперь вид )гп(() и нг(нп- ) г+ьг ') Легко проверить, что нрн учете опущенного второго члене в (40,8) понучнлнсь бы дополнительные вырвженнн, которые, будучи поделены нв б стре. ынтсн прк Г-ь+ оо н нулин В соответствии с тем, что и ожидалось, она отлична от нуля лишь для переходов в состояния с энергией Ег — — Е;'" + йв. Если энергетические уровни непрерывного спектра не вырождены, так что под чг можно понимать значения одной только энергии, то весь синтервал» состояний с(ог сводится к одному состоянию с энергией Е Е)" + йв, н вероятность перехода в это состояние есть (гл. Тз ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ и вместо (42,2) пишем с (вп-а) ~+ы а, = — — ' 1 р;(()г( = — Е а Л (вп — и — д,) (42,7) Отсюда 2ы 1пп! = а !гп! ( „„,) ( 1 Вероятность же перехода в единицу времени определяется произ- водной — ~ ап Г = 2Х ( ап )'.
Теперь замечаем, что имеет место формула х В ш, + „, —— б (сс), справедливая в том же смысле, что н (42,4). С ее помощью нахо- дим, переходя к пределу Х - О: — ~пп ! — —., ~ Е„~ б(мп — ы), Ы з зя н мы вновь возвращаемся к формуле (42,5). (42,8) $43.
Переходы в непрерывном спектре Одним из важнейших применений теории возмущений является вычисление вероятности перехода в непрерывном спектре под влиянием постоянного (не зависящего от времени) возмущения. й1ы уже упоминали, что состояния непрерывного спектра практически всегда вырождены.
Выбрав определенным образом совокупность невозмущенных волновых функций, соответствующих некоторому данному уровню энергии, мы можем поставить задачу следующим образом: известно, что в начальный момент времени система находилась в одном из этих состояний; требуется определить вероятность перехода в другое состояние той же энергии, Для переходов из начального состояния ( в состояния в интервале между т, н тг+ сЬт, имеем непосредственно из (42,б) (полагая в = О и меняя обозначения) реп —— — „" ~ рп ~'б(Ег — Е~)й~п (43,1) Это выражение, как и следовало, отлично от нуля лишь при Е, = Е,: под влиянием постоянного возмущения переходы происходят лишь между состояниями с одинаковой энергией.
Необходимо отметить, что для переходов из состояний непрерывного спектра величина Йап не может рассматриваться непосредственно 4 зз) пярвходы в нвприрывном спяктрв 191 как вероятность перехода; она даже не обладает соответствующей размерностью ()/с). Выражение (43,)) изображает число переходов в единицу времени, причем его размерность зависит от выбранного способа нормировки волновых функций непрерывного спектра '). Вычислим возмущенную волновую функцию, которая до начала действия возмущения совпадает с исходной невозмущенной функцией >)>)е>. Следуя указанному в конце предыдущего параграфа способу, будем рассматривать возмущение как включаемое адиабатически по закону екг с г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
