Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 55

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 55)

Поэтому уравнению Шредингера удовлетворяет в действительности каждая из компонент волновой функции; другими словами, волновая функция системы частиц может быть написана в виде произведения ф ($д $т) = )[ (и,, и„...) ф (гх, г„...), где функция ф зависит только от координат частиц, а функция )( — только от их спинов; о первой будем говорить как о координатной илн орбитальной, а о второй — как о спиновоб волновой функции. Уравнение Шредингера определяет по существу только координатную функцию ф, оставляя функцию у произвольной. Во всех случаях, когда сам спин частиц нас ие интересует, можно, следовательно, применять уравнение Шредингера, рассматривая в качестве волновой функции одну только координатную функцию, что и делалось в предыдущих главах.

Однако оказывается, что, несмотря на указанную независимость электрического взаимодействия частиц от их спина, существует своеобразная зависимость энергии системы от ее полного спина, проистекающая в конечном итоге из принципа неразличимости одинаковых частиц. Рассмотрим систему, состоящую всего из двух одинаковых частиц. В результате решения уравнения Шредингера мы найдем ряд уровней энергии, каждому из которых соответствует определенная симметричная или антисимметричная координатная волновая функция ~р (г„г,).

Действительно, в силу одинаковости частиц гамильтониан (а с ним и уравнение Шредингера) системы инвариантен по отношению к их перестановке. Если уровни энергии не вырождены, то при перестановке координат г, и г, функция ф (г„г,) может измениться только на постоянный множитель; производя же перестановку еще раз, убедимся, что этот множитель может быть равен только )-1 ').

Предположим сначала, что частицы имеют спин нуль. Спиновый множитель для таких частиц вообще отсутствует, и волновая функция сводится к одной лишь координатной функции ф (гь г,), которая должна быть симметричной (поскольку частицы со спином а) Это справедлкво лишь постольку, поскольку речь идет о нерелятивист. оком приближении. При учете релятивистских эффектов взаимодействие заряженных частиц оказывается зависяшим от спика.

') При наличии же вырождения можно всегда выбрать такие линейные комбинации функций, относящихся к данному уровню, которые тоже удовлет. воряют этому услови1о, [гл. ~х тождвстввнность частиц зтз нуль подчиняются статистике Бозе). Таким образом, не все нз уровней энергии, получающихся при формальном решении уравнения Шредингера, могут в действительности осуществляться; те из ннх, которым соответствуют антиснмметричные функции ~р, для рассматриваемой системы невозможны.

Перестановка двух одинаковых частиц эквивалентна операции инверсии системы коордннат (начало которой выбрано посредине прямой, соединяющей обе частицы). С другой стороны, в результате инверсии волновая функция <р должна умножиться на ( — 1)', где 1 — орбитальный момент относительного движения обеих частнц (см. Э 30). Со~ос~зал~я этн соображення со сказанным выше, мы приходим к выводу, что система нз двух одинаковых частиц со спином нуль может обладать только четным орбитальным моментом.

Далее, пусть система состоит нз двух частиц со спнном 1/2 (скажем, электронов). Тогда полная волновая функция системы (т. е. произведение функции <р (г„г,) и спнновой функции 1( (о„о,)) должна быть непременно антнснмметрнчной по отношению к перестановке обеих частиц. Поэтому прн симметричной координатной функции спнновая функция должна быть антнсимметрнчной, н наоборот. Будем писать спиновую функцию в спинорном виде, т. е.

в внде спннора второго ранга ХхВ, каждый нз индексов которого соответствует спину одного нз электронов. Симметричной по спинам обеих частиц функции соответствует симметричный спинор (Х"ч = Хях), а антиснмметричной — антнсимметричный спинор (Х"я = — Хи').

Но мы знаем, что симметричный спинор второго ранга описывает систему с равным единице полным спином, а антиснмметричный спннор сводится к скаляру, что соответствует равному нулю спину. Таким образом, мы приходим к следующему результату. Те уровни энергии, которым соответствуют симметричные решения <р (г„г,) уравнения Шредингера, могут фактически осуществляться прн равном нулю полном спине системы, т. е. когда спины обоих электронов «антнпараллельны», давая в сумме нуль. Значения же энергия, связанные с антнснмметричнымн функциями ф (г„г,), требуют равного единице полного спина, т. е.

спины обоих электронов должны быть «параллельнымнж Другими словами, возможные значения энергии системы электронов оказываются зависящими от ее полного спина. На этом основании можно говорить о некотором своеобразном взаимодействии частиц, приводящем к этой зависимости. Это взаимодействие называют обменным. Оно представляет собой чисто квантовый эффект, полностью исчезающий (как н самый спин) пря предельном переходе к классической механике.

Для разобранного нами случая системы двух электронов характерно следующее обстоятельство. Каждому уровню энергии соответствует одно определенное значение полного спина' 0 или 1. овменное взлимодеяствие Такое однозначное соответствие значений спина уровням энергии сохраняется, как мы увидим ниже $63), и в системах из произвольного числа электронов.

Оно, однако, не имеет места для систем, состоящих из частиц со спином, превышающим 1/2. Рассмотрим систему из двух частиц с произвольным свином з. Бе спиновая волновая функция есть спинор ранга 42: 2в 2в уха." ввв половина (22) индексов которого соответствует спину одной, а другая половина — спину другой частицы. По индексам каждой нз этих групп индексов спинор симметричен. Перестановке обеих частиц соответствует перестановка всех индексов Х, р, ... первой группы а иядексами р, и, ... второй группы.

Для того чтобы получить спиновую функцию состояния системы с полным спином 5, надо упростить этот спинор по 22 — 5 парам индексов (каждая пара содержит один индекс из в., р, ... и один из р, о, ...) и симметризовать по остальным; в результате получится симметричный спинор ранга 25. Но, как мы знаем, упрощение спинора по паре индексов означает составление комбинации, антисимметричной по этим индексам.

Поэтому при перестановке частиц спиновая волновая функция умножится на ( — 1)*в з. С другой стороны, полная волновая функция системы двух частиц при их перестановке должна умножаться на ( — 1)м (т. е. на +! при целом з и на — 1 при полуцелом). Отсюда следует, что симметрия координатной волновой функции по отношению к перестановке частиц определяется множителем ( — 1)з, зависящим только от 5. Таким образом, мы приходим к результату, что координатная волновая функция системы двух одинаковых частиц симметрична при четном и антисимметрична при нечетном полном спине. Вспоминая сказанное выше о связи между перестановкой частиц и инверсией системы координат, заключаем также, что при четном (нечетном) спине 5 система может обладать только четным (нечетным) орбитальным моментом.

Мы видим, что и здесь обнаруживае2ся некоторая зависимость между возможными значениями энергии системы и полным спином, но эта зависимость не вполне однозначна. Уровни энергии, которым соответствуют симметричные (антисимметричиые) координатные волновые функции, могут осуществляться при всех четных (нечетных) значениях 5. Подсчитаем, сколько имеется всего различных состояний системы двух частиц с четными и нечетными значениями 5. Величина 5 пробегает 22 + 1 значений: 22, 22 — 1, ..., О.

Для каждого данного 5 имеется 25 + 1 состояний, отличающихся значением (гл. 1»г тожднствннность частиц 280 г-компоненты спина (всего (2в + 1)' различных состояний). Пусты — целое. Тогда среди 2в + 1 значений 3 есть в + 1 четных и в нечетных. Полное число состояний с четными 5 равно сумме (25+ 1) = — (2в+ 1)(в+!); остальные в (2в + 1) состояний обладают нечетными 5. Подобным же образом найдем, что прн полуцелом в имеется в (2в + 1) состояний с четными и (в + 1) (2в + 1) с нечетными значениями 5. Задачи 1. Определить обменное расщепление уровней энергии системы двух электронов; взаимодействие электронов рассматривается как возмущение. Р е ш е н и е.

Пусть частицы находятся (без учета их взаимодействия) в состояниях с орбитальными волновыми функциями ч»» (г) и»р«(г), Состояниям системы с полным спнном 8 = О и $ = 1 отвечают соответственно симметризованное н антнсимметрнзованное произведения: ! »р = = [»р» (г») %«(г») ~ »р! (г«)»р«(г»и. Р2 Средине значения оператора взаимодействия частиц (1(г,— г,) в зтих состояниях равны А ~,/, где А = ) ) (! !»р, (г,) !«( ч»«(г,) !' »(Р» а»Р„ l = ~ ) (г р, (г, ) ч»! (г,) р, (г»)»р1 (г, ) (р » (('з (интеграл з' называют обменным).

Опусхая не имеющую обменного характера адаптивную постоянную А, находим, таким образом, смещения уровней: ЬЕ» = = з, ЛЕ» = — з (индекс указывает значение о). Эти величины можно представить как собственные значения спинового обменного олграглора') ! 1' бм= — 2 У (!+аз»з*) (1) (собственные значения произведения а,з, — см.

Характеристики

Список файлов книги