Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 57
Текст из файла (страница 57)
'43 + 1,2 + 22 + 1 + 1,1 + 1 + 1 + 1). Каждому уровню энергии системы можно привести в соответствие некоторую юнговскую схему, определяющую перестановочную симметрию соответствующих решений уравнения Шредин- ') Можно было бы производить симметризацию и альтериирование в обратном порядке — сначала альтернировать по переменным в каждом столбце, а затем симметризовать по переменным в строках. Это, однако, не дало бы ничего нового, так как получающиеся обоими способами функции являются линейными комбинациями друг друга.
з) Преобразующиеся друг через друга независимые функции составляют базис неприводимого представления группы перестановок. Число этих функций есть размерность представления. Лля случая частиц со спином )/2 оно определено в задаче ! к этому параграфу. з зз1 симметвия по отношению к павастхнозклм гзч гера; при этом каждому значению энергии соответствует, вообще говоря, несколько различных функций, при перестановках преобразующихся друг через друга. Наличие этого «перестановочиого вырождения» связано с упоминавшейся уже некоммутативностью операторов Р, каждый из которых коммутативеи с гамильтониа. ном (ср.
5 10, стр. 4б), Подчеркнем, однако, что оно не означает наличия какого-либо дополнительного физического вырождения уровней энергии. Все эти различные координатные волновые функции, умноженные на спиновые функции, входят в одну определенную комбинацию — полную волновую функцию, — удовлетворяющую (в зависимости от спина частиц) условию симметричности или антиснмметрнчности. Среди различных типов симметрии всегда существует (при данном Л/) два, которым соответствуют всего по одной функции. Одному из ннх отвечает функция, симметричная по всем переменным, а другому — антисимметричная (в первом случае юнговская схема состоит всего изодной строии из л1 клеток, а во втором — из одного столбца). Перейдем к спиновым волновым функциям )((ом о„..., и„). Их типы симметрии по отношению к перестановкам частиц определяются теми же юнговскими схемами, причем роль переменных играют проекции спинов частиц.
Возникает вопрос о том, какая схема должна соответствовать спиновой функции при заданной схеме координатной функции. Предположим сначала, что частицы обладают целым спином. Тогда полная волновая функция Ф должна быть симметрична по всем частицам. Для этого симметрия спиновых и координатных функций должна определяться одной и той же юнговской схемой, а полная волновая функция $ выражается в виде определенных билинейных комбинаций тех и других; мы ие станем останавливаться здесь иа вопросе о составлении этой комбинации. Пусть теперь частицы обладают полуцелым спином. Тогда полная волновая функция должна быть антисимметричиой по всем частицам.
Можно показать, что для этого юнговскне схемы координатной и спнновой функций должны быть дуальиыми: получаться друг из друга заменой строк столбцами н обратно (таковы, например, две схемы, изображенные иа рис. 21). Остановимся подробнее иа важном случае частиц со сливом 1/2 (например, электронов). Каждая из спнновых переменных о„о„...
пробегает здесь всего два значения ~1/2. Поскольку функция, антиснмметрнчная по каким-либо двум переменным, обращается в нуль, когда зти переменные имеют одинаковые значения, то ясно, что функция )1 может быть альтернирована лишь по парам переменных; уже при альтернироваиги по трем переменным две из них во всяком случае будут иметь одинаковые значения, так что получится тождественно нуль. тождвствамность частиц ~гл. ~х Таким образом, для системы электронов юнговские схемы спиновых функций могут содержать столбцы длиной лишь в одну или две клетки (т. е. всего одну или две строки); в юнговских же схемах координатных функций то же самое относится к длине строк. Число возможных типов перестановочной симметрии для системы из л/ электронов равно, следовательно, числу возможных разбиений числа й/ на сумму единиц и двоек.
При четном й/ это число равно Ф/2 + ! (разбиения с О, 1,..., Ф/2 двоек), а при нечетном оно равно (й/+ 1)/2 (разбиения с О, 1, ..., (Ж вЂ” 1)/2 двоек). Так, на рис. 22 изображены возможные юнговские схемы (координатные и спиновые) для У = 4. Легко видеть, что каждый из этих типов симметрии (т, е. каждая из юнговских схем) соответствует определенному полному спину Я системы электронов. я' ~э Ш Будем рассматривать спиновые функции в спинорном виде, т.
е. в виде спинора Х"в- й/-го ранга, причем его индексы (каждый из которых соответствует спину отдельной частицы) будут теми пе- Щ ременными, которые располагаются в клетках юнговских схем. Рассмотрим спиновую юнговскую Рис. 22 схему, состоящую из двух строк, имеющих по /у„и й/з клеток (М, + й/, = й/, й/, )~ й/,).
В первых й/, столбцах имеется по две клетки, и по соответствующим парам индексов спинор должен быть антисимметричен. По индексам же, находящимся в последних а = Ф, — й/, клетках первой строки, спинор должен быть симметричен. Но, как мы знаем, такой спинор й/-го ранга сводится к симметричному спинору и-го ранга, которому соответствует полный спин, равный 5 = и/2. Возвращаясь к юнговским схемам координатных функций, мы можем сказать, что схема с п строками, содержащими по одной клетке, соответствует состоянию с полным спином 3 = и/2. При четном й/ полный спин может иметь целые значения от О до У/2, а при нечетном й/ — полу- целые значения от 1/2 до Ф/2, как и должно было быть.
Подчеркнем, что такое однозначное соответствие юнговских схем полному спину имеет место только для систем частиц со спином 1/2; для системы всего из двух частиц мы убедились в этом уже в предыдущем параграфе. Для системы Ф частиц со спином з спиновая волновая функция строится из произведения У симметричных спиноров ранга 2з, т. е, является спинором ранга 2/1/з. Если этот спинор симметризовать в соответствии с определенной схемой Юнга из й/ клеток, то из независимых компонент такого симметризованного спинора можно образовать обычно а 631 симмвтгия по отношению к пвпвстлновклм азу несколько наборов линейных комбинаций, отвечающих каждый различным значениям полного спина системы 5. Подобно тому как длн частиц со спином 1/2 схема Юнга спиновых фуниций не может содержать столбцы с более чем двумя клетками, так для частиц с произвольным спином з длина столбцов не должна превышать 2з + 1 клеток.
Если число частиц в системе Л( есть целое кратное от 2з + 1, то среди возможных юнговских схем есть прямоугольная схема, все столбцы которой содержат по 2з+ 1 клеток. Такой схеме отвечает одно определенное значение полного спина: 5 = О. Отсюда можно заключить, что всяким вообще двум (спнновым) юнговским схемам, которые можно сложить' вместе в прямоугольник с высотой 2з + 1, отвечают одинаковые значения 5 '). Этот вывод есть просто следствие того факта, что при сложении двух моментов суммарный момент может оказаться равным нулю, лишь если складываемые моменты одинаковы по величине.
В заключение этого параграфа вернемся к отмеченному уже ранее (см. примечание на стр. 82) обстоятельству, что длн систем из нескольких одинаковых частиц нельзя утверждать, что волновая функция ее стационарного состояния с наименьшей энергией не имеет узлов. Теперь мы можем уточнить это замечание и вы. испить его происхождение. Волновая функция (речь идет о координатной функции), не имеющая узлов, непременно должна быть симметрична по всем частицам; если бы она была антисимметрична по отношению к перестановке какой-либо пары частиц 1, 2, то она обратилась бы в нуль при г, = г,. Но если система состоит из трех илн более электронов, то полностью симметричная координатная волнован функция вообще не допускается (юнговскан схема координатной функции не может иметь строки с более чем двумя клетками). Таким образом, хотя решение уравнения Шредингера, соответствующее наименьшему собственному значению, и не нмееа узлов (согласно теореме вариационного исчисления), но это решение может оказаться физически недопустимым; тогда нормальному состоянию системы будет соответствовать не наименьшее из собственных значений уравнения Шредингера, и волновая функ- х) Тахоаы, например, следующие пары схем (при и = 1)~ Дополнительные друг и другу схемы изображены сплошиымн и пунитнрпымв линиями.
тождественность частиц (гл. !х 288 ция этого состояния будет, вообще говоря, иметь узлы, Вообще, для частиц с полуцелым спинам э такое положение имеет место в системах с более чем 2э + 1 частицами. Для систем же, состоящих из бозонов, полностью симметричная координатная волновая функция всегда возможна. Задачи 1. Определить число уровней энергии с раэличнымн значениями полного спина Я для системы из /т' частиц со спином 1/2 (г. В/осМ 1929). Р е ш е н ч е.
Заданное значение проекции полного спина системы Мэ = = ~ о можно осуществить I (Мв)— й/1 (2 ) (2 ) способами (й//2+ Мз частицам приписываем о = 1/2, а остальным о = — !/2). Каждому уровню энергии с заданным значением 5 соответствует 25+ ! состояний со значениями Мз = 3, Я вЂ” 1, ..., — 5. Поэтому легко сообразить, что число различных уровней с заданным значением 3 равно п (В) = / (В) — / (В + !) (2 ) (2 ) Полное число л = ~~ ~н (Я) различных уровней энергии равно при четном г/, нли У! ~ й/1 "= ~ 2/ (Д/+! ) (~ — 1), при нечетном й/. 2. Найти значения полного спина 3, осуществляющяеся при различиын типах симметрии спиновых функций системы из двух, трех или четырех частиц со спинамн 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
