Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Напротив, при четном и условие (60,4) может выполняться, причем С может быть вещестиенной. В частности, симметричному спинору второго ранга. может быть приведен в соответствие вещественный вектор, если выполняется условие (60,4) с С=1: Ф4'" = Фьн (и чем легко убедиться с помощью формул (57,8) — (57,9)). Вообще, условие (60,4) с С = ! является условием «вещественности» симметричного спинора любого четного ранга.
а) Говорить о вещественности спинора в буквальном смысле вообще не имеет смысла, поскольку комплексно сопряженные спнноры имеют различные законы преобразования. ГЛ А В А !Х ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ й 6!. Принцип неразличимости одинаковых частиц В классической механике одинаковые частицы (скажем, электроны), несмотря на тождественность нх физических свойств, не теряют все же своей «индивидуальностям можно представить себе частицы, входящие в состав данной физической системы, в некоторый момент временн «перенумерованными» н в дальнейшем следить за движением каждой нз ннх по своей траектории; тогда в любой момент времени частицы можно будет идентифицировать.
В квантовой же механике положение совершенно меняется. Уже неоднократно указывалось, что в силу принципа неопределенности понятие о траектории электрона полностью теряет смысл. Если положение электрона точно известно в настоящий момент времени, то уже в следующий момент его координаты вообще не имеют никакого определенного значения. Поэтому, локализовав электроны и перенумеровав их в некоторый момент времени, мы этим ничего не добьемся для целей нх индентнфнкацнн в дальнейшие моменты времени; локализовав один нз электронов в другой момент времени в некоторой точке пространства, мы не сможем указать, какой именно нз электронов попал в эту точку.
Таким образом, в квантовой механике принципиально не существует никакой возможности следить в отдельности за каждой нз одинаковых частиц и тем самым различать нх. Можно сказать, что в квантовой механике одинаковые частицы полностью теряют свою «идивндуальностыь Одинаковость частиц по нх физическим свойствам имеет здесь весьма глубокий характер — она прнводнт к полной неразличимости частиц. Этот, как говорят, принцип неразличимости одинаковых частиц играет основную роль в квантовой теории систем, состоящих нз одинаковых частиц. Начнем с рассмотрения системы, состоящей всего нз двух частиц. В силу их тождественности состояния системы, получающиеся друг из друга просто перестановкой обеих частиц, должны быть физически полностью эквивалентными.
Это значит, что в результате такой перестановки волновая функция системы может измениться только на несущественный фазовый множитель. Пусть ф К„$Д вЂ” волновая функция системы, причем (гл. гл тождвствннность частиц 274 $» $е условно обозначают совокупности трех координат и проекции спина каждой из частиц. Тогда должно быты гр ($„$а) = е'тр ($„$х), где а — некоторая вещественная постоянная.
В результате повторной перестановки мы вернемся к исходному состоянию, между тем как функция ф окажется умноженной на е" . Отсюда следует, чтоезгп =! или епх = ~1. Таким образом, ф ($х, $т) ~ ф(й„йх), Мы приходим и результату, что имеется всего две йозможно. сти — волновая функция либо симметрична (т. е. совершенно нв меняется в результате перестановки частиц), либо антнсимметрична (т.
е. при перестановке меняет знак). Очевидно, что волновые функции всех состояний одной и той же системы должны иметь одинаковую симметрию; в противном случае волновая функция состояния, представляющего собой суперпозицию состояни(1 различной симметрии, была бы ни симметрична, ни внтисимметрична. Этот результат непосредственно обобщается на системы, состоящие из произвольного числа одинаковых частиц. Действительно, в силу одинаковости частиц ясно, что если какая-либо их пара обладает свойством описываться, скажем, симметричными волновыми функциями, то и всякая другая пара таких же частиц будет обладать тем же свойством. Поэтому волновая функция одинаковых частиц должна либо совершенно не меняться при переста. вовке любой пары частиц (а потому и при всякой вообще взаимной перестановке частиц), либо менять знак при перестановке каждой пары.
В первом случае говорят о симметричной, а во втором случае — об антисимметричной волновой функции. Свойство описываться либо симметричными, либо антисимметричными волновыми функциями зависит от рода частиц. О частицах, описывающихся антисимметричными функциями, говорят, как о подчиняющихся статистике Ферми — Дирака или о фермионах, а о частицах, опнсывающихся симметричными функциями,— как подчиняющихся статистике Базе — Эйнштейна или о бозонах ').
Йз законов релятивистской квантовой механики оказывается возможным показать (см. !Ч, 6 25), что статистика, которой подчиняются частицы, однозначно связана с их спином( частицы ') Эта терминология связана с названнем статнстнк, которымн опнсывается идеальный газ, состоящнй ю частиц соответственно с антнснмметрнчнымн нлн снмметрнчнымн волновымн функциями. В действнтельностн мы имеем здесь дело не только с разлнчнымн статнстнкамн, но н по существу с разлнчнымн механняамн. Статистика Ферми была предлохгена Ферми (Е.
Багга() для электронов в (926 г., а ее связь с кнантовой механикой была выяснена гтирпком (1926). Статистика Бозе была предлолгена Бозе (5. Впм) для световых квантов н обобщена Эйнштейном (!924), З в~1 пеинцнп неиазлнчимости одинаковых частиц Зтв с полуцелым спнном являются фермионами, а с целым спином— бозонами. Статистика сложных частиц определяется четностью числа входящих в их состав элементарных фермионов. Действительно, перестановка двух одинаковых сложных частиц эквивалентна одновременной перестановке нескольких пар одинаковых элементарных частиц.
Перестановка бозонов не изменяет волновой функции вообще, а перестановка фермионов меняет ее знак. Поэтому сложные частицы, содержащие нечетное число элементарных фермионов, подчиняются статистике Ферми, а содержащие четное число нх, — статистике Бозе. Этот результат находится, конечно, в согласии с указанным выше общим правилом: сложная частица имеет целый или полуцелый спин в зависимости от того, четно или нечетно число входящих в ее состав частиц с полуцелым спинам. Так, атомные ядра с нечетным атомным весом (т.
е. состоящие из нечетного числа протонов и нейтронов) подчиняются статистике Ферми, а с четным весом — статистике Бозе. Для атомов же, содержащих наряду с ядрами также и электроны, статистика определяется, очевидно, четностью или нечетностью суммы атомного веса и атомного номера. Рассмотрим систему, состоящую из Ф одинаковых частиц, взаимодействием которых друг с другом можно пренебречь. Пусть ф„ф„... — волновые функции различных стационарных состояний, в которых может находиться каждая из частиц в отдельности. Состояние системы в целом можно определять перечислением номеров состояний, в которых находятся отдельные частицы. Возникает вопрос о том, каким образом должна быть сосгавлена из функций ф„ф,, ...
волновая функция ф всей системы в целом. Пусть р„р„..., рл — номера состояний, в которых находятся отдельные частицы (среди этих номеров могут быть и одинаковые). Для системы бозонов волновая функция ф Д„$„..., $л) выражается суммой произведений вида со вссмн возможными перестановками различных индексов р„ рм ...; такая сумма обладает, очевидно, требуемым свойством симметрии.
Так, для системы из двух частиц, находящихся в различных (р, ~ р,) состояниях: фЯь $з) = =(фр,(5~)фа,Дз)+фа,Я~)фр, Я~)]. (612) ! Множитель 1/у'2 введен для нормировки (все функции ф„... взаимно ортогональны и предполагаются нормированными) 1гл. ~х тождвстввнность частиц 276 В общем же случае системы произвольного числа частиц Ф нормированная волновая функция фи»Я»... = ( ' д»1 ) ~~,»рр» (5») фр»(5з) ° ° Фр„(~м), (61,3) где сумма берется по всем перестановкам различных из индексов р„р„..., рм, а числа У, указывают, сколько из всех этих индексов имеют одинаковые значения 1 (при этом ~ )т'; = Ф). При интегрировании квадрата (»р 1з по с($, г(ва с(5м ') обращаются в нуль все члены, за исключением только квадратов модулей каждого из членов суммы; поскольку общее число членов в сумме (61,3) равно, очевидно, Ф1»'йгг(Жз! ..., то отсюда и получается нормировочный коэффициент в (61,3).
Для системы фермионов волновая функция ф есть антисимметричная комбинация произведений (61,1). Так, для системы из двух частиц имеем »У($1 $з) = =(»Рр, (61)фр,(эт) — тр» (вз)»гр» Я!)) (И»4) В общем же случае 1т' частиц волновая функция системы запи- сывается в виде определителя »рр (и») тр, (ьт) ° ° ° тр, (ьг») фр» (Ь) фр» (Ь) Фр» Йм) (61,5) фрм (ь») фр (ьз) фр „(~ж) Перестановке двух частиц соответствует здесь перестановка двух столбцов определителя, в результате чего последний меняет знак. Из выражения (61,5) следует важный результат: если среди номеров р„р„...
есть два одинаковых, то две строки определителя окажутся одинаковыми и весь определитель обратится тождественно в нуль, Он будет отличным от нуля только в тех случаях, когда все номера р„р„... различны. Таким образом в системе одинаковых фермионов не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии две (или более) частицы. Это— так называемый принцип Паули (нУ.
Раи!1, 1925). й 62. Обменное взаимодействие Тот факт, что в уравнении Шредингера не учитывается наличие у частиц спина, отнюдь не обесценивает это уравнение и все получающиеся с его помощью результаты. Дело в том, что элек- ') под интегрированием по п$ условно подразумевается (здесь и а 6 64» 66) интегрирование па координатам вместе с суммироваваем по о, онмвнное взлимодеиствив 277 $621 трическое взаимодействие частиц не зависит от их спинов '). Математически это означает, что гамильтониан системы электрически взаимодействующих частиц (в отсутствие магнитного поля) не содержит операторов спина и потому при применении его к волновой функции никак не воздействует на спиновые переменные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
