Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Р е ш е н н е. Для двух частиц соответствие устанавливается тем, что множитель, на который умножаегся спиновая функция прн перестановке частиц, должен быль равен ( †!)зз э (см. конец й 62). Для частиц со спином з = 1 отсюда получается соответствие: а[( ) тгн .х=иг х=у Схема Юнга для системы трех частиц получаются добавлением к схемам (!) одной клетки всеми возможными способами. Это можно заннсать в виде симво.
1 зз) СИММЕТРИЯ ПО ОТНОШЕНИЮ К ПЕРЕСТАНОВКАМ 289 лических равенств: Шм П=СШ+ДЗ о !,бду Ф б Под схемами указаны значения б, причем значении полного спина системы трех частиц (схемы справа) получа!ется из спиноз систем двух и одной частиц (схемы слева) по правилу сложения моментов '). Распределение получыощнхся значений 3 между отдельными схемами справа можно установить, заметив, что схеме з (столбик из трех клеток) отвечает 5 = О, поэтому схеме б отвечагот оставшиеся (во втором равенстве) значения 1 и 2, а схеме а — оставшиеся после б (в первом равенстве) значения 1 и 3: ,ге!ч ЕБ ! й~ Схемы Юнга для системы четырех частиц получаются прибавлением одной клетки к схемам (2) (с собшодением условия, чтобы столбцы не содержали более трех клеток): У 6 фбг,гД» х () бг 1'' Г Схема з складывается со схемой 1а в прямоугольник со столбцами из трек кле.
ток; поэтому ей отвечагот те же значения 3 = 0,2, что и для 1а. Значения л !) Повторение дважды цифры 1 под схемамн справа связано е возникновением этого значения момента один раз от сложения моментов 0 и 1, а дру. гой — от сложения моментов 2 и 1. (гл. гх тождественность члстиц для схемы бопрелеляеотся по остатку во втором рввеистве, в затем для схемы ав по остзтку в первом равенстве; значение спина для схемы г однозначно определяется третьим равенством: $ 64. Вторичное квантование. Случай статистики Бозе В теории систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц, широко применяется особый метод рассмотрения, известный под названием яторичного квантования. Этот метод в особенности необходим в релятивистской теории, где приходится иметь дело с системами, в которых самое число частиц является переменным ').
Пусть трт ($), зрв (9), ... — некоторая полная система ортогональных и нормированных волновых функций стационарных состояний одной частицы '). Это могут быть состояния частицы в некотором произвольно выбранном внешнем поле, но обычно выбираются просто плоские волны — волновые функции свободной частицы с определенными значениями импульса (и проекции спина). Прн этом с целью сведения спектра состояний к дискретному рассматривают движение частиц в большой, но ограниченной области пространства; для движения в ограниченном объеме собственные значения компонент импульса пробегают дискретный ряд (причем интервалы между соседними значениями обратно пропорциональны линейным размерам области и стремятся к нулю при их увеличении).
В системе свободных частиц импульсы частиц сохраняются по отдельности. Тем самым сохраняются и числа заполпения состояний — числа ет'„Фз, ..., указывающие, сколько частиц находится в каждом из состояний трт, тр„... В системе взаимодействующих частиц импульсы каждой из них уже не сохраняются, а потому не сохраняются и числа заполнения. Для такой системы можно говорить лишь о распределении вероятностей различных значений чисел заполнения. Поставим себе целью построить математический аппарат, в котором именно числа ') Метод вторичного кввнтоввния был развит Дираком для еуотонов в прнлеенении к теории излучения (!927 г.) и затем распространен нз бмрмноны Вагнером и Иорданом (Е.
))Геялег, Р. еогдап, 1928). е) Кзк и в з б), в обознвчвет совокупность координат и проекции спина и частицы, з под интегрнроввнием по ая будет подразумеваться нитегрироввние по коордннзтзм вместе с суммированием по и. Э и1 втоэичное квантование. слэчхп статистики возв эв1 заполнения (а ие координаты и проекции спннов частиц) играли бы роль независимых переменных. В таком аппарате удобно пользоваться обозначениями Дирака (см. конец Э 11), выбирая Ф„ Ж„...
в качестве определяющих состояние квантовых чисел.' Состояния, отвечающие волновым функциям (61,3) и (61,5), будут обозначаться )У„, У„,...). При этом координатные и спииовые переменные уже не фигурируют в явном виде. Соответственно такому выбору независимых переменных, так же и операторы различных физических величии (в том числе гамильтониаи системы) должны формулироваться в терминах нх воздействия на функции чисел заполнения. К такой формулировке можно прийти, отправляясь от обычного матричного представления операторов. При этом надо рассмотреть матричные элементы операторов по отношению к волновым функциям стационарных состояний системы невзаимодействующих частиц. Поскольку эти состояния можно описывать заданием определенных значений чисел заполнения, то тем самым выяснится характер воздействия операторов на эти переменные.
Рассмотрим сначала системы частиц, подчиняющихся статистике Бозе. Пусть Д" есть оператор какой-либо величины, относящейся к одной (а-й) частице, т. е. действующий только на функции переменных 5,. Введем симметричный по всем частицам оператор (64,1) (суммирование по всем частицам) и определим его матричные элементы по отношению к волновым функциям (61,3). Прежде всего легко сообразить, что матричные элементы будут отличны от нуля только для переходов без изменения чисел У,„ Ф„ ...
(диагональные элементы) и для переходов, при которых одно из этих чисел увеличивается, а другое уменьшается иа единицу. Действительно, поскольку каждый из операторов 11о действует только на одну функцию в произведении фя, (й) $р, (Б~) ." Фри (Ь), то его матричные элементы могут быть отличны ол нуля только для переходов с изменением состояния одной частицы; но это означает, что число частиц, находящихся в одном состоянии, уменьшается, а в другом соответственно увеличивается на единицу.
Вычисление этих матричных элементов по существу очень просто; его легче произвести самому, чем проследить за его изложением. Поэтому мы приведем только результат вычисления. Недиагональиые элементы равны !гл. ~и 292 тождвстввнность частиц Мы указываем только те индексы, по которым матричный элемент не диагонален, опуская для краткости остальные. Здесь И вЂ” матричный элемент И' = ~ ф?(В? 7"'фз(Б) (Б; (64,3) поскольку операторы )',о отличаются только обозначением переменных, на которые они действуют, то интегралы (64,3) от индекса а не зависят и этот индекс опущен.
Диагональные матричные элементы от Р<п представляют собой средние значения величины Рги в состояниях Ч'п,п,,... Вычисление дает Рсо = Е 1и!У (64,4) Введем теперь основные в методе вторичного квантования операторы дь действующие уже не на функции координат, а на функции чисел заполнения. По определению, оператор бь действуя на состояние ! У„, У„...), уменьшает на единицу значение переменной Уь одновременно умножая функцию на 1/ У,'); б'~Ут Уз У~ ) т/У~~ Уз Уз, У' 1,), (64,6) Можно сказать, что оператор Й, уменьшает на единицу число частиц, находящихся в (-м состоянии; его называют поэтому оператором уничтожения частиц. Его можно представить в виде, матрицы, единственный отличный от нуля элемент которой есть.
(У, — 1 ) а, ~ У ) = 1/Уп (64,6) Сопряженный с б, оператор б) изображается, по определению (см. (11,9)), матрицей с единственным элементом (Ус!п11У; — 1) = (Ус — 1!ас ~Уе)* = т/У~ (64,7) Зто значит, что при воздействии на функцию ~Уд, Ую ...) он увеличивает число У~ на 1: б;!Уь Уз, ..., Уп ...) =)/У~+1!Ун Уз, ...1 У~+1, ...). (64,8) Другими словами, оператор й! увеличивает на 1 число частиц в (-м состоянии; его называют оператором рождения частиц. Произведение операторов д;й, при воздействии на волновую функцию может лишь умножить ее на постоянную, оставляя все переменные Уз, У„...
неизменными: оператор д, уменьшает з)введено естественное обозначение а1п) для результата воздействия оператора а иа волновую функцию состояния!я). Втозичное кВАНТОВАние. СлучАЙ СТАтистикн БОзе 293 переменную У, на 1, после чего й; возвращает ее к исходному значению. Непосредственное перемножение матриц (64,6) и (64,7) действительно показывает, что й;й; изображается диагональной матрицей с диагональными элементами, равными У;: й;й, =У,. (64,9) Аналогичным образом найдем йай1 = % + 1. (64,10) Разность этих выражений дает правило коммутации между операторами й; и Й1: а;аь — й;й; = 1. (64,11) Операторы же с различными индексами 1 и й, действующие на различные переменные (У; и УА), коммутативиы: й;йа — йай~ = О, йьйа — Й1йь = О ! ~ й (64,!2) Исходя из описанных свойств операторов йь а',, легко видеть, что оператор (64,13) СА совпадает с оператором (64,1).
Действительно, все матричные элементы, вычисленные с помощью (64,6), (64,7), совпадают с элементами (64,2) и (64,4). Этот результат очень важен. В формуле (64,13) величины Я' — просто числа. Таким образом, иам удалось выразить обычный оператор, действующий на функции координат, в виде оператора, действующего на функции новых переменных — чисел заполнения Уь Полученный результат легко обобщается и на операторы другого вида. Пусть рм> ~~ ~щ а>Ь (64, 14) где (1я!)' 11ль) = ) ) Ф Й1)фА(за)Г Фгй1)а)ь (Вз) Й$~ййз. где Щ' — оператор физической величины, относящейся сразу к паре частиц и поэтому действующей на функции от Е, и Аналогичные вычисления покажут, что такой оператор может быть выражен через операторы йь й) посредством Р'м = 2 ~а (!л !)"'! 1т) а;а4а,„аь (64,15) ЬА,С и тождественность члстип 1гл, )я Обобщение этих формул на симметричные по всем частипам опе- раторы любого другого вида (г")а) = т~'„7Й и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
