Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 136
Текст из файла (страница 136)
При этом значении Е, и Г даютса формулами (133,!б), а ввиду малостя Е фаза 6',"' мала, так что еяр (2Ю',э') ю !. з) Предполагается, что рассеивающее поле достаточио быстро убывает с рас стоянием. В 5 145 налагаемые результаты будут примеиевы к рассеянию медлев. иых нейтронов ядрами. $131) РЕЗОНАНС НА КВАЗИДНСКРВТНОМ УРОВНЕ 661 является точкой разветвления функций В, (Е), причем обход вок; руг нее с верхней на нижнюю сторону разреза превращает В1 (Е) в В1' (Е). Это значит, что разложение происходит по степеням у — Е, меняющего знак при указанном обходе. Представим пер.
вые члены разложения функции В, (Е) для вещественных полЬ жительных Е в виде В (Е) = (Š— е +гу)/Е) Ь (Е), (134 16) где зе и у — вещественные постоянные, а Ье (Е) — функция энергия, тоже разлагаемая по степеням )/Х, но ие имеющая нулей вблизи точки Е О').
Квазндискретному уровню Е Е, — ГГ/2 соогветствует обращение в нуль множителя Š— ее + )ур'Е, продолженного в нижнюю полуплоскость нефизического лвстк: поэтому для определения Е, и Г имеем уравнение Ее 2 à — не+17 у' Ее 2 !Г = О (134;Гб) .е Г /= — а— ат Р' та1(Š— ее+ 1т у' Е) (134,17) (мы подставили здесь'й = у'2тЕ/й, ' где 1п — ' приведенная масса частицы н рассеивающей снстемы). При Е-ь О зта амплитуда стремится, как н следует, к постоянному пределу (тем самым оправдывается форма разложения (134,15)). Отметим, что выражение вида (134,17) включает н себя также н случай близкого к нулю истинного дискретного уровня составной системы, получающийся при соответствующем соотношении между постоянными ее и у.
Если ~ зе ~ (( у', то для энергнй Е (( ув в знаменателе резонансного члена можно пренебречь первым членом (Е). ') ФУннанн Ьа (Е) опРеДелЯет, согласно (134,9), фазУ потенннального;Рассеяннн. Прн рассеянна медленных частни первые члены ее разложения Ье (Е) соне( ( (1 + ща).
(постоянные ае и у должны быть положнтельнымн для того, чтобы были положительными Е, н Г). Так, уровню с ширниой Г е~ Е, соответствует соотношение е, ~) у' между настоянными е, я у. При этом из (134,16) имеем Ее за, Г = 27 Р' зе. Выражение (134,15) заменяет собой в рассматриваемом случае формулу (134,6); соответствующим образом должны быть изменены дальнейшие формулы (надо заменять везде Е, на зе и Г на 27 )' Е). Поэтому для амплитуды рассеяния получим вместо (134,! 4) следующее выражение: упРуГие столкновения 1ГЛ.
ХУГ1 бо2 Пренебрегая также амплитудой потенциального рассеяния а, получим формулу Р 2т ее~ совпадающую с формулой (133,7) (причем 44 = — т/2гпее/йу). Она соответствУет РезонансУ на УРовне Е = ез/Уз, ЯвлЯющемсЯ истинным нли виртуальным дискретным уровнем в зависимости от того, положительна или отрицательна постоянная м. й 135. Формула Резерфорда Рассеяние в кулоновом поле представляет собой интерес с точки зрения физических применений.
Оно интересно также и в том отношении, что для этого случая квантовомеханическая задача о столкновениях может быть решена до конца точно. При наличии выделенного направления (в данном случае— направление падающей частицы) уравнение Шредингера в кулоновом поле удобно решать в параболических координатах $, г1, гр 8 37).
Задача о рассеянии частицы в центральном поле обладает аксиальной симметрией. Поэтому волновая функция ф не зависит от угла гр. Частное решение уравнения Шредингера (37,6) пишем в виде ф = /г 6) /з (Ч) (135,1) ((37,7) с и = О) и, соответственно этому, после разделении пере« менных получаем уравнения (37,8) с лг = 0')1 — „" (~ ",/' ) + ~ — ', 5 — Р, ~ /, = О, — (т) к ) + [ 4 т) — рз~ /а = О, рз+ ре = 1. (135,2) Энергии рассеиваемой частицы, разумеется, положительна; мы положили Е = й'/2. Знаки в уравнениях (135,2) соответствуюе случаю полн отталкивания; для сечения рассеяния в поле притяжения получается в точности тат же окончательный результат.
Мы должны найти такое решение уравнения Шредингера, которое при отрицательных г и больших г имеет вид плоской волньп ф ° ег"* при — оо (г О, г-4. оо, что соответствует частице, падающей в положительном направлении оси г. Мы увидим из дальнейшего, что поставленному словию можно удовлетворить одним частным интегралом (135,!) а не суммой интегралов с различными значениями ри ре). з) В агом параграфе пользуемся кулововммв елвввцами (см. сгр, 1о1]. (гл. хчн нпрнтиа столкноввння 1 — е" газ е"гта г 1 т — ыап Л Е'"Ч вЂ” — )пап Г(1+ Г ) 'т (е'Ч.Г Г(1 ( ) ЙЧ Подставив это в (135,7) и переходя к сферическим координатам ($ — т) = 2г, т) = г — а = г(1 — соз О)), получаем следующее окончательное асимптотическое выражение волновой функции: ф = ~1+ ьйзг(1 со,В) 1ехР ~(й~+ 1, )п(лг(1 — сох О))~+ + — ехр1 йг — — 1п (2Ь)~, (135,8) 1(0) г .
где "('+ ~) ехр ( — й 1пз1п 2 ). (135,9) 2йз мпз — Г (1 — — ) 1 (О)— Первый член в (135,8) представляет собой падающую волну. Мы видим, что в связи с медленностью спадания кулонова поля падающая плоская волна искажается даже на больших рассто« аннах от центра, как это показывает наличие логарифмического члена в фазе, а также члена порядка 1/г в амплитуде волны '). Искажающий логарифмический член в фазе имеется также в рассеянной сферической волне, изображающейся вторым членом в (135,8). Эти отличия от обычного асимптотического вида волновой функции (!23,3), однако, несущественны, так как даюв для плотности потока поправки, стремящиеся к нулю прн г -ь оо.
') Происхождение етого искажения можно уяснить уже нз классической картины. Если рассмотреть семейство классических кулоновых гвпербоанчо сках траекторий с одинаковым направленнем падения (парадлельным асн з), то уравнение нормальной к ннм поверхности на больших расстояннх от рассенвающего центра (г -~ — х) стремится, как легко показать, не к з = сонат, а к з+ й ')о а (г — з) = сопи. Эта поверхность как рзз н совпадает с поверх пастью постоянной фазы падающей воаны в (1Зб,а). от центра. Воспользовавшись первыми двумя членами асимптоти- ческого разложения (г), 14) вырожденной гипергеометрнческой функции, получим при больших т) й 1ав1 ФОРМУЛА РЕЗЕРФОРДА Таким образом, получаем для сечения рассеяния Ип ) у (О) 1еч(о формулу оо бо = е 4йл МИ'— й или, в обычных единицах, ~~=(я.", ) "'в 5!не х (135,10) Таким образом, получим г ~1+1+ — ) 1(0) = — „'д '~;(21+ 1) Р, (соз О).
г(1+~ — — „) (135,12) Знаки в амплитуде (135,9) спответствуют кулоиову полю отталкивания. Для поля притяжения' выражение (135,9) должно быть заменено комплексно сопряженным. В последнем случае у (О) обращается в бесконечность в полюсах функции Г (1 — 1/й), т. е. в точках, где аргумент Г-функции есть отрицательное целое число нли нуль (при этом 1нт й ) 0 и функция гф затухает на бесконечности). Соответствующие значения энергии Ае 1 — — п=-1, 2, 3... и совпадают с дискретными уровнями энергии в кулоиовом поле притяжения (ср. 9 128). '1 Величина о"тл в этой формуле отличается от истинной (расходнщейен1 кулоновой фазы на величину, одинаковую длн всех 6 (о = Йй/тп — скорость частицы).
Эта формула совпадает с извест. ной 4юрлтулой Резнрфорда, к которой приводит Й1йссичйсййй механика. Таким образом, для рассеяния в кулоновом поле квантовая и классическая механика дают одинаковый результат ()т'. т)т'о((, йУ. 6оЫол, 1928), Естественно, что и формула Бориа (126,12) приводит к тому же выражению (135,10). Приведем для справочных целей выражение амплитуды рассея. иия (135,9), написанное в виде суммы по сферическим.функйиям. Оно получается подстановкой в (124,5) фаз из (36,28) ')1 1 ') г (1+1+ —,1 ехр (2тб т') = г (~+1 — ~) (гл.
хчн УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ 656 й 136. Система волновых функций непрерывного спектра ч фа' = — ~» (' (21+ 1) ем' йы (г) Р, ( —," ) . (136,1) г=о АргуГяент полииомов Лежандра написан здесь в виде соз 8 = йг/яг, благодаря чему это выражение уже не связано с каким-либо определенным выбором осей координат (как это было в (123,6), гдв ось г совпадает с направлением распространения плоской волны). Давая вектору (с все возможные значения, мы получим набор волновых функций, которые, как сейчас будет показано, взаимно ортогональиы и нормированы обычным для непрерывного спектра правилом ~ фар 'ф1" г()г = (2п)е Ь ((с' — (с).
(136,2) Для доказательства ') замечаем, что произведение трат'фй" выражается двойной суммой по ( н !' членов, содержащих произ. ведения ') Специальпого доказательства требует по существу лишь взаимная ортогональиость фуикций фь+'. Что касается их нормировки, то оиа могла бы быть установлена непосредственно по асимптотическому виду функций (ср, й 21), В этом смысле выполнение ()36,2) очевидно ухте иэ того, по при г -~ ео един ствеииый ие убывающий член в этих фуикциях ф)+) мг егаг.
При изучении движения в центрально-симметричном поле в гл. ТГ рассматривались стационарные состояния, в которых частица обладает, наряду о определенными значениями энергии, также и определенными значениями орбитального момента ! и его проекции и. Волновые функции этих состояний дискретного (ф ~ ) и непрерывного (фмпп энергия йайэ/2т) спектров образуют вместе полную систему, по которой может быть разложена волновая функция произвольного состояния. Такая система, однако, не адекватна постановке задач в теории рассеяния.
Здесь удобна другая система, в которой волновые функции непрерывного спектра характеризуются определенным асимптотическим поведением: иа бесконечности имеется плоская волна ехр ((йг) и наряду с ней расходящаяся сферическая волна; в этих состояниях частица имеет определенную энергию, но не имеет определенных момента и его проекции. Согласно (123,6), (!23,7) такие волновые функции (мы обозначим их здесь как фь") даются формулой ! ЫО! СИСТЕМА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА ЕЧТ Интегрирование по направлениям г осуществляется формулой ) Р1( — )Ре( — „,, )до=бн + Р~( —,) (136,3) (ср. формулу (с, 12) математических дополнений), после чего остается ) 'т(т'те" ЛГ = ОЬ ОΠ— О~ (21+ 1) ехр !!Ь, (й) — !6, (й')) Р, (соз у) ) РА Дд,го Г(Г, !=о о где у — угол между К и й'. Но радиальные функции !ТА! ортогональны и нормированы согласно Ю 1 КАНЯ„, о Д = 2пб (я' — я).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
