Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 131
Текст из файла (страница 131)
хуп УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ 628 Задачи 1. Определить полное сечение рассеяния сферической прямоугольной по. тенциальной Ямой РадиУса а и глУбины ()р пРи Условии (131,!): (Г» 6«й»)ш. Решение. Имеем () «(г = — 2(7, 'Г' а' р». Согласно (131,7) амплитуда рассеяния вперед (и = О) (О) =.
— — ) [ехр !Х р ар — р») — 1~ 2лр«(р 2л ) ~ ~ ао о ! шах йа 2!« = — (йа«(е — 1) х«(х= — « — — — — (с "— !) о где т = (тра(до — «борвовский параметр». С помощью оптической теоремы (125,9) находим отсюда полное сечение 1 з(п 2ч соз 2У а=2ла» [!+ —— 2УР 2»д В предельном (борновском) случае э»! это выражение дает а = 2лар«а в согласии с задачей 1 ь. !26. В обратном предельном случает Ъ! имеем просто а = 2ла», т. е. удвоенное геометрическое сечение, Этот последний результат имеет простой смысл. При т ~! все частицы с прицельным расстоянием р с„а рассеиваются, т.
е, выбывают из нада«ощего пучка. В этом смысле яма ведет себя как «поглощающий» шар; при этом, согласно принципу Бабине (см. П, конец 6 61), полное сечение равно удвоенному сечению «поглощения». 2. То же в поле С = Ср ехр ( — «Чаэ1, Р е ш е н и е. В этом случае имеем () «(з = а )' ««((р е яр ( — р»/а»).
Подставив в (131,7) и произведя в интеграле очевидну«о замену переменной, по- лучим для амплитуды рассеяния на нулевой угол ч Ул «йаз г г„аи )(О) = — — ) (е '" — !) —, а где снова т = ()ра/йо. Отсюда полное сечение ТУл «(и а = 2ла' ) (! — соз и) —. и в При и»! подынтегральное выражение сводится к и(2 и сечение а = ла»т»/2 в согласии с результатом задачи 2 6 126 (при яа > 1). При ч Ъ 1 пишем по- дынтегральное выражение в виде (! — е ка соз и)/и с малым параметром )«, устрем- ляемым затем к нулю.
Интегрированием по частям находим тогда «Ул «р «(и (1 — сози) — ри 1п(' Ул) — ) 1пиз)пи«(и=!и (тр"л)+ С и в о РАССЕЯНИЕ ПРИ ВОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ й !з1! (С вЂ” постоянная Эйлера), Таким образом, а = 2ла' (п (ч 1' л ес) при т » ! . 3. Определить сечение рассеяния на малые углы электронов в магнитном поле, сконцентрированном в цилиндрической области радиуса а (у. Ада«спас, (). Войт, 1939). Р е ш е н н е. Пусть магнитное поле направлено вдоль оси у, совпадающей с осью цилиндрической области, а направление падения электронов выберем в качестве оси х.
Тогда ася картина рассеянна ие зависит от координаты у, и ниже рассматривается двумерная задача в плоскости хе. Вне цилиндрической области нзпряженность Н = О, но векторный потенциал отличен от нуля н равен А= — фф, Ф (1) где ф — полярный угол в плоскости хх, а Ф вЂ” поток магнитного поля; действн. тельно, интегрируя по площади круга (радиуса г > а) в этой плоскости, имеем Х Ф 15»» Н «(хЖ = !П А»(1 = — ф ~ Ф, 2л Потенциал (!) меняет фазу волноной функции (плоской волны) электронов; согласно (111,9) имеем ф=е ехр ~ — — ф), гз» 7 !е Ф А йс 2л (2) Это выражение, однако, неприменимо в узкой области вдоль полуоси з > О, поскольку двяжение частиц, прошедших через область поля, возмущено им.
Этим объясняется кажущаяся неоднозначность функции (2) при обходе начала координат (угол ф получает приращение 2л). В действительности вблизи полу- оси х > О имеется разрыв (конечной ширины), связанный с непрнменимостыо (2); по обе стороны разрыва ф имеет значения, отличающиеся на 2л, например ~л. Для рассеянна на малые'углы 0 с малой передачей импульса 9 яз ИО (са ц 1, 0 ~ 1) существенны поперечные расстояния х 1/а >> а и шириной разреза можно пренебречь. Рассматривая область пространства з» (х), можно также пренебречь н ией зависимостью ф от х по обе стороны от оси ГО имеем тогда ') 1 ехр( — !«Ф/2йс), х О, (3) «Двумерная» амплитуда рассеяния вычисляется по формуле (131,7,а) ').
При д ть О имеем «« ) = — У вЂ” ехр !х — — ) 3! з гс" »(х+ к. с, У 2л ~ ~ 2йс у,) с Интеграл вычисляется путем введения в него мзожителя е ьх с последующим переходом к пределу И - О. В результате находим чl 2И «Ф ! у 5!и д У л 2йс ' ') Формула (3) (как и (!31,4) в тексте) теряет применимость прн слишком больших х, когдх сказываются дифракционные эффекты. 5) Напомним, что эта формула (прн д ть 0) может быть получена (как было объяснено в тексте) и без применения уравнения Шредингера в потенциальном поле. (Угол рассеяния обозначаем 0 в отличие от полярного угла ф.) УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ (гл. хчм Отсюда сечение рассеяния 2, еФ пв По=(1(чав= — ап' —, —.. пй 2дс ва При еФ(дс ы 1 отсюда получается выражение ее Фа г(0 2п апаса М й 132. Рассеяние медленных частиц Рассмотрим свойства упругого рассеяния в предельном случае малых скоростей рассеиваемых частиц.
Именно, скорость предполагается настолько малой, что длина волны частицы велика по сравнению с радиусом а действия поля (т' (г) (т. е. яа (( (( 1), а ее энергия мала по сравнению с величиной поля внутри этого радиуса. Решение этого вопроса требует выяснения предельного закона зависимости фаз 6, от волнового вектора й при малых значениях последнего. При и ~ а в точном уравнении Шредингера (123,7) можно пренебречь лишь членом с Аа: )тг + —, )т) —,, )~~ = — „., (7 (и) Жы (132,1) 2, (((+ )) 2тп В области же а с(; и с1; 1/д можно опустить также и член с () (и), так что остаегсн )7" + —,ж — „)7 = О. 2, (((+ 1) (132,2) Общее решение этого уравнения Й~ =стг'+ —, се (132„3) Значения постоянных с, н с, могут быть в принципе определены лишь путем решения уравнения (132,1) с конкретной функцией (7 (и); они, разумеется, различны для разных 1.
На еще ббльших расстояниях, г !/я, в уравнении Шредингера может быть опущен член с (7 (г), но нельзя пренебрегать й', так что имеем Йг + — Й! + ~йт — „~ И~ = О, (132,4) отвечающее случаю применимости теории возмущений. Обратим внимание на периодическую зависимость сечении (4) от напра. женности магнитного поля, а также на расходимость полного сечения (аа счет 0 0), хотя поле сосредоточено в конечной области пространства; то и другое— специфически квантовые аффекты.
й 1ат) РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕНИЫХ ЧАСТИЦ (132,7) е. е. уравнение свободного движения. Решение этого уравнения (см. б 33) (21+1)ц ~ х и т~ а(пас Постоянные коэффициенты выбраны здесь таким образом, чтобы при йг « 1 это решение переходило бы в (132,3); тем самым до- стигается «сшиванне» решения (132,3) в области йг « 1 с реше- нием (132,5) в области йг ° 1, Наконец, при йг )) ! решение (132,5) принимает асимптотиче- ский вид 6 33) с й~ Эта сумма может быть представлена в виде Й1 ж сопз1 — гйп(тйг — — +б,), 1 х н( (132,5) т где фаза б, определяется равенством йт!+1 сх (21 — 1) и (2( -1- 1) н (ввиду малости й все фазы б1 оказываются малыми), Согласно (123,15) парциальиые амплитуды рассеяния 11= 2й (ет ~ — 1)ж и мы приходим к выводу, что в предельном случае малых энергий 11 со й".
(132,3) Таким образом, все парциальные амплитуды о 1Ф О оказы- . ваются малыми по сравнению с амплитудой рассеяния с 1 = О (или, как говорят, з-рассеяния). Пренебрегая ими, имеем для полной амплитуды 1(О) = 1, = — ' = — ' = —, (132,9) й с„ так что до = аа ЙО, а полное сечение о 4 пах. (132,10) При малых скоростях рассеяние оказывается изотропным по всем направлениям, а его сечение не зависит ог энергии частиц х), '1 При рассеянии влектронов на атомах роль длины а, с которой должно сравниваться 1Й (услонне йа ч, 1), играет атомный радиус, достигающий для сложных атомов несколькик боровских радиусов (нескольких аа)теа), Ввиду большой величины етого радиуса постоянство сечения фактически имеет в этом случае место лишь до энергий порядка долей влектрон-вольта. Прн больших же внергиях влектроиов появляетсн сильная зависимость сечения от внергни (так называемый зффекш Ромзаузра), 1ГЛ ХЧЦ упРЕГие стОлкнОвения Постоянную величину и называют длиной рассеяния; она можев быть как положительной, так и отрицательной.
В изложенных рассуждениях молчаливо подразумевалось, что поле (/ (Г) убывает на больших расстояниях (Г )) а) достаточно быстро для того, чтобы сделанные пренебрежения были законными. Легко выяснить, какова именно должна быть требуемая быстрота убывания (/ (Г). При больших Г второй член в функции И~ (132,3) мал по сравнению с первым. Для того чтобы его сохранение было тем не менее законным, оставленные в уравнении (132,2) малые члены -сх/Г'"Га должны быть все же велики по сравнению с членом (/й~ — 0с,г', опущенным при переходе от (132,1) к (132,2). Отсюда следует, что (/ (Г) должно убывать быстрее, чем 1/гх'+х, для того, чтобы был справедливым закон (132,8)' для парциальной амплитуды /О В частности, вычисление /„а потому и результат (132,9) о не зависящем от энергии изотэвопном рассеянии справедливы лишь при более быстром, чем 1/г, убывании (/ (Г) на больших расстояниях.
Если поле (/ (Г) убывает на больших расстояниях по экспоненциальному закону, то можно сделать определенные заключения о характере дальнейших членов разложения амплитуд /, по степеням й. Мы видели в у 128, что в этом случае амплитуда /О рассматриваемая как функция комплексной переменной Е, вещественна при вещественных отрицательных значениях Е '), То же самое относится поэтому и к функции 8, (Е) в выражении (125,15) 1 (при Е < 0 1/е вещественно). С другой стороны, функция д~ (Е)' вещественна (по ее определению) при Е ) О. Таким образом, функция д, (Е) оказывается вещественной при всех вещественных Е, а потому должна разлагаться по целым степеням Е, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
