Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 133
Текст из файла (страница 133)
$133. Резонансное рассеяние при малых энергиях Особого рассмотрения требует рассеяние медленных (йа «' 1)' частиц в поле притяжения в случае, когда в дискретном спектре отрицательных уровней энергии имеется а-состояние с энергией, малой по сравнению с величиной поля У в пределах радиуса а его действия; обозначим этот уровень посредством е (В < 0).
Энергия Е рассеиваемой частицы, будучи малой величиной, близка к уровню е, т. е. находится, как говорят, почти в резона»гсе с ним. Это приводит, как мы увидим, к значительному увеличению сечения рассеяния, Наличие неглубокого уровня можно учесть в теории рассеяния формальным методом, основанным на следующих замечаниях. В точном уравнении Шредингера для функции Х = гйго (г) (при 1 ен О) х + 2;(е — и())х=о, во «внутренней» области поля (г ~ а) можно пренебречь Е по сравнению с У! Х" — — „, (г'(г)Х= О, г а.
2гл (133,1) Во «внешней» же области (г )> а), напротив, можно пренебречь ЕЕ х" + 2",' ех=о, » (133,2) Решение уравнения (133,2) должно было бы быть «сшито» при некотором г, (таком, что 1/м )) г, >) а) с решением уравнения (133,!), удовлетворяющим граничному условию Х (0) = 0; условие сшивания заключается в непрерывности отношения Х'/Х, не зависящего от общего нормировочного множители волновой функции. Однако вместо того, чтобы рассматривать движение в области г а, мы наложим на решение во внешней области должным $]ед] РвзонАнснов РАссяяниа пРи мАлых энаРгиях аав (133,7) образом подобранное граничное условие для Х'/Х при малых г] поскольку внешнее решение медленно меняется при г — О, можно формально отнести это условие к точке г = О. Уравнение (133,!) в области г а не содержит Е; поэтому заменяющее его гранич- -ное условие тоже не должно зависеть от энергии частицы, Дру- гими словами, оно должно иметь вид х' ~ (133,3) ь 0 где х — некоторая постоянная.
Но раз х не зависит от Е, то это же условие (133„3) должно относиться и к решению уравнения Шредингера для малой отрицательной энергии Е = — ~ е), т. е. к волновой функции соответствующего стационарного состояния частицы. При Е = — ( е ( имеем из (133,2) Х=Аоехр( — А г) 1/2м]е( (133,4) (А, — постоянная), и подстановка этой функции в (133,3) пока- зывает, что х есть положительная величина, равная Э' 2щ(е( (133,5) Применим теперь граничное условие (133,3) к волновой функ- ции свободного движения Х = сопя( з]п (йг + б,), представляющей собой точное общее решение уравнения (!33,2) при Е > О.
В результате получим для искомой фазы б, ~1яб = — к к ч/ ]е( (133,6) Поскольку энергия Е ограничена здесь лишь условием ай (( 1, но не должна быть малой по сравнению с ( е ~, то фаза б„а 'с нею и амплитуда з-рассеяния могут оказаться не малыми величинами. Фазы же 61 с ! > О, а с ними и соответствующие парциальные амплитуды остаются по-прежнему малыми. Поэтому полную ам- плитуду можно по-црежнему считать совпадающей с амплитудой е-рассеяния 1 — (ех' — 1) = 1, 1 2Ы А (с!а оо — О ' Подставив сюда (133,6), получим ! к+ !а и для полного сечения рассеяния 4х 2кГя ! к'+ А~ т Е+ ]е( УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ 1гл.
хчм ео Таким образом, рассеяние по-прежнему изотропно, но его сечение зависит от энергии, и в области резонанса (Е ~ з 1) оказывается большим по сравнению с квадратом радиуса действия поля аа (поскольку 1/й )) а). Подчеркнем, что вид формулы (!33,8) не зависит от деталей взаимодействия частиц на малых расстояниях между ними и всецело определяется значением резонансного уровня '). Полученная формула имеет несколько более общий характер, чем сделанное при ее выводе предположение.
Подвергнем функцию У (г) небольшому изменению; при этом изменится и значение постоянной н в граничном условии (133,3). Соответствующим изменением У (г) можно добиться обращения к в нуль, а затем сделать малой отрицательной величиной. При этом мы получим ту же формулу (133,7) для амплитуды рассеяния и ту же формулу (!33,8) для сечения. В последней, однако, величина ~ е ~. = й'не/2т является теперь просто характерной для поля У (г) постоянной, но отнюдь не уровнем энергии в этом поле. В таких случаях говорят, что в поле имеется виртуальный уровень, имея в виду, что хотя в действительности никакого близкого к нулю уровня нет, но уже небольшого изменения поля было бы достаточно для того, чтобы такой уровень появился. При аналитическом продолжении функции (133,7) в плоскости комплексного Е на левой вещественной полуоси й переходит в — у' — 2лгЕ/й (см.
2 !28), и мы видим, что амплитуда рассеяния имеет полюс при Е = †!з~ в соответствии с общими результатами 2 128. Напротив, виртуальному уровню, как и следовало, ие соответствует на физическом листе никакой особенности в амплитуде рассеяния (полюс же Е = †~ е ! амплитуда рассеяния имеет на нефизическим листе — см. примечание на стр.
611). С формальной точки зрения форсанула (133,7) соответствуев случаю, когда в выражении (125,15) 1 = „(ь)-и первый член разложения функции йа (й) отрицателен и аномально мал. Для уточнения формулы можно учесть еще н следующий член разложения, написав 1о = (133,9) е+ ! г а 1а 2 (Л. Д. Ландау, Я: А. Смородинский, 1944); напомним, что при достаточно быстром убывании поля функции хг1 (й) разлагаются '! Формула (133.3) была впервые волучева Вигмером (Е. Ег1длег, Ш331: квев валовгенвого вывода орвваллежит Белы в Паггерлсу (Н.
А. Бейе, й. Рекг1в, 1933). 4 1»81 РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЭНЕРГИЯХ 041 по четным степеням й — см. 2 132. Мы обозначили здесь посредством — х, величину пе (0), имея в виду сохранить обозначение и для величины (133,5), связанной с уровнем энергии з.
Согласно сказанному выше х определяется как значение — !/с = х, обращающее в нуль знаменатель в (133,9), т. е. корень уравнения х = х,+ — г,х'. (133,10) Поправочный член ген»/2 в знаменателе в (133,9) мал по сравнению с х, в силу предполагаемой малости й, но сам по себе он имеет «нормальный» порядок величины: коэффициент г, ° а (этот коэффициент всегда положителен — см. задачу !). Следует подчеркнуть, что учет этого члена является еще законным уточнением формулы для амплитуды рассеяния, в которой пренебрежено вкладами от моментов ! Ф 0: он дает в / поправку относительного порядка ай, между тем как вклад от рассеяния с ! 1 имеет относительный порядок (ай)'.
При й -» 0 амплитуда /е — — 1/х,, т. е. 1/х, совпадает с введен. ной в предыдущем параграфе длиной рассеяния сс. Коэффициент г в формуле й~ (/с) = Й с!й бе = — — + — г,йз (133,11) 1 1 называют эффективным радиусом взаимодействия '). Для сечения рассеяния имеем из (133,9) 4я и чч (х» — — гойе/ + Аз Если пренебречь в знаменателе членом И (хотя он и является законным), то эту формулу можно представить (с учетом (!33,10)) в виде 4я (1+ тех) 4хаз 1+ г,х Аз+ к' т Е+1з! ' (133,12) Вернемся к выражению (133,4) волновой функции связанного состояния во «внешней» области и свяжем нормировочный коэффициент в ней с введенными выше параметрами.
Определив вычет г) укажем значения постоянных сс н гэ для важного случая вззннодействня двух нуклонов. )!ля нейтронз н протоне с пзрзллельнынн спннзмн (нзотопнческое состоянне с Т = 0) а = 5,4.10 'з, г„= 1,7 !О " сн; этны знзченнян соотнетствует нстннпый уровень с энергней )е ! = 2,23 Мэ — основное состоянне дейтронз. Длн нейтрона же н протона с знтнпзрэллельнынн синявин (нзотопнческое состоянне с Т 1) и = — 24 !О 'з, г,= 2,7 1О 'е сн; этим знзченнян огвечзет внртузльный уровень! е ! = 0,067 М»В. В силу нзотопнческой ннвзрнэнтностн последние значения должны относиться также н к системе двух нейтронов с знтнпэрзллельнымн спинами (пзрзллельные спины система нл в з-озстоянян вообще не может иметь в силу принципа Паули), упРуГие столкновения !гл.
КУП функции (133,9) в ее полюсе Е = а и сравнив с формулой (123,11), ивидем 1 1 Ге Лез (133,13) Второй член представляет собой малую поправку к первому, поскольку хг, ха « 1. Без этой поправки А,' = 2х, т. е. « — н« )(= У'2ха, ф= " = ~г — —, (133,14) что соответствует такой нормировке, как если бы выражение (133,14) было справедливым во всем пространстве. Остановимся кратко на резонансе в рассеянии с не равными нулю орбитальными моментами. Разложение функции а! (Й) начинается с члена й *', сохранив два первых члена разложения, напишем парциальвую амплитуду рассеяния в виде 1 (133,15 ЬЕ ~( — е+о)+1Ь ( ) где Ь и е — две постоянные, причем Ь > О (см. ниже).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
