Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 134
Текст из файла (страница 134)
Резонансному случаю соответствует аномально малое значение коэффициента при Е ', т. е. аномально малое а. Однако, ввиду малости Е, член ЬЕЕ ' все же может быть и велик по сравнению с й. Если е ( О, то знаменатель выражения (133,15) имеет вещественный корень Е ж — (е ), так что а есть дискретный уровень энергии (с моментом !) '). Однако в противоположность резонансу в з-рассеянии амплитуда (133,15) при этом нигде не становится большой по сравнению с а; амплитуда резонансного рассеяния с моментом 1+ 1 оказывается лишь того же порядка величины, что в амплитуда нерезонансного рассеяния с моментом !.
Если же е ) О, то амплитуда (133,15) достигает в области Е е порядка величины 1/й, т. е. становится большой по сравнению с а. Относительная ширина этой области мала: бЕ/и(ай)"-'. Таким образом, в этом случае имеет место резко выраженный резонанс. Такая картина резонансного рассеяния связана с тем, что положительный уровень с 1 чь О хотя н не является истинным дискретным уровнем, но представляет собой квазидискретный уровень: благодаря наличию центробежного потенциального барьера вероятность ухода частицы с малой энергией пз этого состояния на бесконечность мала, так что «продолжительность жизни» состояния велика (см. 2 134). В этом заклю- з) При е ( О и е, близком к (е(, имеем /г и; ( — 1)ььг (е 1г/б (и +(е !).
Сравнение с (!28,17) вокезывзет, что Ь ) О. й !зз) РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЭНЕРГИЯХ 643 чается причина отличия характера резонансного рассеяния нри 1 эь 0 от резонанса в з-состоянии, где центробежный барьер 9тсутствует. Знаменатель в (133,15) при в ) 0 обращается в нуль при Е = Е,— !Г/2, где Е в Г = е!+!(з 2 )гэги (133, Гб) Этот полюс амплитуды рассеяния находится, однако, на «нефизическом» листе. Малая величина Г является шириной квазидискретного уровня 5 134). Наконец, укажем интересное свойство фаз 6,, которое легко установить на основании изложенных выше результатов.
Будем рассматривать фазы 6, (Е) как непрерывные функции энергии, не приводя их к интервалу между 0 и и (ср. примечание на стр. 141). Покажем, что тогда имеет место равенство 6!(О) — 6!( ) = Лгп, (133,17) где и, — число дискретных уровней с моментом 1 в поле притяжения У (г) (6(. Ееи!Лэзп, 1949). Для этого заметим, что в иоле, удовлетворяющем условию ~ У ~ << йз/тпаа, при всех энергиях применимо борновское приближение, так что 6, (Е) « 1 при всех Е. При этом 6, (оо) = О, поскольку при Š— оо амплитуда рассеяния стремится к нулю; значение же 6! (0) = О в соответствии с общими результатами З 132.
В то же время в таком поле отсутствуют дискретные уровни (см. 3 45), так что и, = О. Будем теперь следить за изменением разности 6, (тз) — 6, (аа) (где Л вЂ” некоторая заданная малая величина) при постепенном углублении потенциальной ямы У (г). По мере углубления у верхнего края ямы последовательно появляются первый, второй и т. д. уровни. При,этом фаза 6,(сз) получает каждый раз приращение иа и '), Достигнув заданного У (г) и устремив затем ст — О, мы и получим формулу (133,17). Задачи 1, Выразить аффективный радиус взаимодействия г» через волновую функ.
пию связанного состояния (Е = в) во «внутренней» области, г а (Я. А. Сма)юднискна, !948). ") В формуле (!33,6) атому соответствует изменение б» ат о до к, когда, прн заданием мазом значении А, величина х меняется от отрииательнаго значения — х З» А до положительного значения х Ъ А. В случае ! Ф О то же самое следует из формулы Ф с(й б! = — ЬЕ ! (и — в), когда, при заданном Е = йч в меиается ог а З Ь до — в Э Ь. конягин столкновения 1гл хун Р е ш е н и е. Пусть ХΠ— волновая функция в области г ° а, нормировая- иаЯ Условием Ха -~ ! пРи г — ао. Тогда квадРат волновой фУикции во всем пРосгранстве можно ваписать в виде Х =Аз (а +Хо 1) (это выражение переходит в Ате ~ при кг > 1 и в Аздз при кг м.
1). Ои должен быть нормирован условием 07 С ! х'ь-Л( —,„-) и — ь)~)-~, О О и сравнение с (133,13) дает ге 2 ~ (! ХЬ)гт~ о Из уравнения (133,1) с У (г) с., О, решением которого является фуикшш Хе, следует что Хз (г) (Хе(ео) = 1. Поэтому всегда ге > О, 2. !)пределять нзменекие фаз бг прн варьировании поля У (г).
Р е шея н е. Варьируя У(г) в уравнении Шредингера 2т Г Аэ 1(! +!) Х" + — ~à — — —,— — У1, - О. Аэ ь 2т г ! получим 2т Г Аз 1(1+1) 1 2т ЬХ! + — Š—— А '( 2т °,) Аа — У !ЬХ1- — ХЬУ Огмиожив первое уравнение на ЬХн второе — иа Хг, вычтя почвенно одно нв другого и интегрируя по г(г, найдем 2т Г (Хгбх! — Х',ЬХ,)(, „= — „, ) Хэгбиу. О Подставив в левую сторону равенства асимптотические выражения (п Х! — — О(п (А — 2 + Ь!), ЬХг — — б(б!)сов (Аг — 2 + б!) 1п (выбором коэффициента 1 в этом выражении определяется принимаемая нами здесь нормировка Хг), получим 6(6!)=- Ада ) Х',ЬУ 0. 2т Г О На основании втой формулы можно сделать определенные заключения о знаке фаз бь рассматриваемых как непрерывные функции энергии.
Для устранения неоднозначности а определения этих функций (аддитивная постоянная, кратная и) будем нормировать нх условием бг (со) = О. Начав с У = О, когда все 61 = О, и постепенно увеличивая ( У(, найдем, что в поле оттгалкиваиия (У ) 0) все Ь! ч. О, а в поле притяжения (У(0) Ьг ) О. В поле отталкивания 6| (0) = О, и потому при малых энергиях бг малы) амплитуда рассеяния, следовательно, отрицательна: ! Оа б„/А с.,О. В поле притяжения аналогичное заключение о положительности ( можно сделать лишь $!34! РЕЗОНАНС НА КВАЗИДИСКРЕТНОМ УРОВНЯ 645 в случае отсутствия уровней; в противном случае при малых Е фазы б, близки не к нулю, а к лп (см. (133,17)) н никаких заключений о знаке ) сделать нельзя. 3.
Найти длину рассеянии сг и аффективный радиус взаимодействия гз для сферической прямоугольной потенциальной нмы радиуса о н глубины (ге, в которой имеется единственный дискретный уровень энергии, близкий к нулю. Р е ш е н и е. Поступаем, как в задаче 1 к 4 132, с той разницей, однако, чта в области внутри ямы не пренебрегаем знергней частицы Е = азйзг2т по сравнению с («е.
Для определенна фазы бз получаем уравнение йс!Е(б,+оЦ = Кс(йаК, К= — 1'2т ((!~+ Е) ° 1 д Для того чтобы в яме имелся лишь одни, близкий к нулю уровень, должно быть паде 'ге= 8 .з (!+ А) с ь «к 1 (см. задачу 1 к 4 33). Разлагая написанное уравнение по степеням йа я а, получим пз айз йс!Еб, =- — а+— 8а 2 откуда 44 = !/хе = ба«паа, ге = а.
Значение хз совпадает, кзк и следовало, с величиной )г 2т(Е, (lа, где Е, — энергия уровня в яме (см. задачу! к й 33). а 4. Выразить интеграл ~ Х'дг от квадрата волновой функции з-состояния о через фазу б, (й) для поля (г' (г), отлнчвого от нуля лишь внутри сферы радиуса а (6. Ейдегз, 1955). Р е ш е н и е. Согласно (128,10) имеем а 1Х -2А ~Х дй-Х(дй)] о где штрих означает дифференцирование па г (а производные по Е в (!28,!О) заменены производными по й =- 1/2тЕ/А). Поскольку прн г = а поле уже отсутствует, то в правой стороне равенства можно использовать волновую функцию свободнога движения Х = 2 Мп (Фг+ б,) (нормировка согласно (33,20)). В результате получим а дбз ! Хз дг = 2 (о + — ~ ) — — а)п 2 (йи + б ) ) О.
дй / з а Поскольку интеграл от Х' заведомо положителен, та должно быть положительно и выражение и правой стороне равенсзвз !). $ 134. Резонанс на квазиднскретном уровне Система, способная к распаду, не обладает, строго говоря, дискретным спектром энергий. Вылетающая из нее при распаде частица уходит на. бесконечность; в этом смысле движение системы ннфинитно, а потому энергетический спектр непрерывен.
Может, однако, оказаться, что вероятность распада системы очень мала. Простейший пример такого рода представляет ча- !) Это неравенство ранее было получено другим способом Вагнером (1955). упругие столкновения 1гл. хуп стива, окруженная достаточно высоким и широким потенциальным барьером. Другим источником метастабнльности состояния мажет явиться необходимость изменения спина системы при распаде, осуществляющегося за счет слабого опии-орбитального взаимодействн я. Для таких систем с малой вероятностью распада можно ввести понятие о квазистационорных состояниях, в которых частицы движутся в течение длительного времени «внутри системы», покидая ее лишь по истечении значительного промежутка времени т, которое можно назвать продолжительностью жизни данного почти стационарного состояния (т 1/ш, где гн — вероятность распада в единицу времени).
Энергетический спектр этих состояний будет квазидискретиым; он состоит из ряда размьпых уровней, ширина которых Г связана с продолжительностью жизни посредством Г' й/т (см. (44,7)). Ширины квазиднскретных уровней малы по сравнению с расстояниями между ними. При рассмотрении квазистационарных состояний можно применить следующий формальный метод.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
