Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 129
Текст из файла (страница 129)
(ось г направлена вдоль («). Это выражение имеет, конечно, лишь формальный смысл, поскольку в подынтегральное выражение снова входит неизвестная волновая функция. Оно позволяет, однако, сделать определенные заключения об аналитических свойствах величины ( (О, Е) как функции энергии Е ').
Функция ф под знаком интеграла состоит при больших г из двух частей — падающей и расходящейся волн. Последняя пра порциональна е'", так что соответствующая часть интеграла са держит в подынтегральном выражении ет" <' — '1. С другой стороны, при переходе в комплексную плоскость (с верхнего края разреза вдоль правой полуоси) й заменяется на — у' — 2«НЕ/г«, причем иа всем физическом листе Ке р' — Е ) О.
Поскольку г )~ г, то Ке 1(й (г — е)! < 0 н интеграл сходится при любом комплекс. ном Е. Что касается падающей волны в ф, пропорциональной ета', то в соответствующей части интеграла экспоненцяальные множители вообще сокращаются, так что и эта часть сходится. Функция ф в интеграле (129,3) однозначно определена при любом комплексном Е как решение уравнения Шредингера, содержащее, помимо плоской волны, лишь затухающую (при гоо) часть.
Поэтому однозначно определен и весь сходящийся интеграл (129,2), так что его особенности могут возникать только 1гл хуп упругнв столкновения 618 в результате обращения ф в бесконечность. Последнее имеет место в дискретных уровня х э верги и '). Легко видеть также, что )' (О, Е) остается конечной при ) Е )— со. При больших ) Е ) в уравнении Шредингера (129,1) можно пренебречь членом с К так что в ф остается лишь плоская волна! тр — е'".
В результате интеграл (129,2) переходит в Ю ) = — — 2„,Р ) () Е(г 'что совпадает, как и следовало, с борновской смплитудой (126,4) рассеяния на угол 0 (д = О); обозначим ее посредством Еа (0). Таким образом, мы приходим к выводу, О что амплитуда рассеяния на угол 0 регу- лярна на всем физическом листе (в том Е числе на бесконечности), за исключением лишь обязательных полюсов на левой вещественной полуоси в дискретных уровнях энергии *).
Рассмотрим интеграл ! г 1(0, Е') — )з Гис. 46 2 ' ) Е' — Е г)Е', (129,4) с взятый по изображенному на рис. 46 контуру, состоящему из бесконечно удаленной окружности и обхода вокруг разреза вдоль правой полуоси. Интеграл по окружности обращается в нуль, поскольку Е (О, оо) — )н = О. Интегрирование же по обеим сторонам разреза дает 1(0 Е') ЕЕС н,) Š— Е а здесь учтено, что по принятому в 2 126 определению физическая амплитуда рассеяния для вещественных положительных значе. т) Во избежание недоразумений подчеркнем, что здесь идет речь о полной волновой функции системы ф, нормированной условием равенства единице козффицнента при плоской волне в ее асимптотнческом выражении (ср.
(12З,З)). В предыдущем же параграфе рассматривалнсь части (ф!) волновой функции, отвечающие определенным значениям 1, причем ф! предполагались нормированными каким-либо произвольным условием. Еслк разложить полную функцию ф по функциям фе, то последние войдут в ф с коэффициентами, пропорциональиымн 1гВ!, тзк, функция (128,8) с 1 = 0 должна войти в ф в виде — — [(А + В) е~~~ — 2)В з!и йг).
В Поэтому ф обращается в бесконечность в нулях функций В! (Е), т. е. в днскрегнык уровнях знергин. з) Идея нзложенвого доказатеиьства принадлежит Д, Л. Фаддееву (1258), А 1201 АмплитудА РАссеяния В импульсном пРедстАВлении а1в ний Е задается иа верхней стороне разреза, а на нижней стороне имеет комплексно сопряженное значение. С другой стороны, согласно теореме Коши интеграл (129,4) равен сумме 7" (О, Е) — 1в и вычетов )с„подынтегрального выра жения во всех полюсах Е' = Е„фуикпии !'(О, Е')/(Е' — Е), где ń— дискретные уровни энергии; эти вычеты определяются с помощью формулы (128,17) и равны А2Л2 д'„= с " с, с(»» = — ( — 1)" (2!»»+ 1) з (!29,5) (1„— момент состояния с энергией Е„).
Таким образом, получаем ~(О„Е) =)е+ — ~ ~, 'и с(Е'+ э» и "и . (129,6) а л Это так называемое дисперсионное соотнои1ение определяет )' (О, Е) в любой точке физического листа по значениям ее мнимой части при Е > 0 (12. )Ролй, 1957; Ж. 1»». К)»иг1', 1957).
Когда точка Е устремляется к верхней стороне разреза, ин теграл вдоль вещественной аси в (129,6) должен быть взят, обходя полюс Е' = Е снизу; если произвести этот обход по бесконечно малой полуокружности (рис. 47), то соответствующая часть интеграла даст в правой стороне уравнения (129,6) величину 1 1ш 1 (О,-Е), а остающийся интеграл от 0 до оо должен Ряс, 47 пониматься в смысле главного значения, В результате падучим формулу ме»' (О, Е) =~~+ 1 Е' — я с(Е'+ ~~~ Р— и ' (129,7) о с определяющую при Е > 0 вещественную часть амплитуды рассеяния на угол О через ее мнимую часть. Напомним, что послед няя, согласна (125,9), непосредственно связана с полным сече. иием рассеяния. й 130.
Амплитуда рассеяния в импульсном представлении В понятии об амплитуде рассеяния фигурируют только иаправ. пения начального и конечного импульсов рассеиваемой частицы. Естественна поэтому, что к этому понятию можно прийти н при ггл хоп иппгги в стол кнов ения б2О формулировке задачи о рассеянии в импульсном представлении, где вопрос о пространственном распределении всей картины процесса вообще не ставится.
Покажем, как это делается. Прежде всего преобразуем к импульсному представлению ис. ходное уравнение Шредингера ае — — Лф(г)+ [(У (г) — Е) тР (г) = О, перейдя от координатных волновых функций к импульсным, т. е. к фурье. компонентам а (Ч) = ) ф (г) и†'чг Л'. (130,2) Обратно ф(г) = ~а(Ч)е' ' — ~, .
(130,3) Умножим уравнение (130,!) на е-'ч" и проинтегрируем его по Л'. В первом члене после двукратного интегрирования по частям получим ~ е-'чгйф (г) с()г = ~ ф(г) Ле — ~чгс()г = — Ч'а(Ч). Во втором члене, подставив в него тр (г) в виде (130,3), получим Ц (г) ф(г) е-кчг спг — ) ) Ц (г) е-~ага (Ч')есч гсвг — ч !2п)а = ) 11(ч — ч') (ч') 1,„')., где (г' (Ч) — фурье компонента поля (г' (г) ')1 ~ (у (г) е-счг с(1/ Таким образом, уравнение Шредингера в импульсном представле.
нии принимает вид ( — ~ — Е)а(Ч)+ ) сг(Ч вЂ” Ч)а(Ч) 12„), =О. (130,4) Обратим внимание на то„что это уравнение — интегральное, а не дифференциальное, Представим волновую функцию, описывающую рассеяние ча- стиц с импульсом Йк, в виде фк (г) = е'"' + )(„ (г), (130,6) где та (г) — функция, имеющая асимптотически (при г - оо) внд расходящейся сферической волны. Ее фурье. компонента а (Ч) = (2п)'б(Ч вЂ” к)+)(а(Ч) (130,6) г) Для удобства обозначений пишем и в виде аргумента фурье. компоненты вместо индекса. е тзв1 лмплнтидл рлссеяния в импнльсном предстлвлении в21 и подстановка в (130,4) приводит к следующему уравнению для функции Х» (Ч) '): (л Ч)Ке(Ч) =(' (Ч й)+ 3т 1 (Ч Ч )Хе(Ч) (2п)з ° (1307) Зто уравнение целесообразно преобразовать, введя вместо Хк (Ч) дРУгУю неизвестнУю фУнкцию, согласно опРеделению, Х"(Ч)= д, -й' ю 2 Р (й, ч) (130,8) Тем самым устраняется особенность при дз = й' в коэффициентах уравнения (130,7) и оно принимает вид 2ю (' У (Ч вЂ” Ч') Р (и Ч') бзе' Член 80 (обозначающий предел 16 при 6 — + 0) введен в опре.
деление (130,8) для придания определенного смысла интегралу в (130,9): им устанавливается способ обхода полюса д'= й' (ср. 2 43). Покажем, что именно такой способ обхода отвечает требуемому асимптотическому виду функции Хе(г) = —, 2т (' Р (и, Ч) етчт бзз л ) дз — й — ю (2п) Дла этого пишем дзд = Чзддс(оч и пРоизводим пРежде всего интегРиРование по 8оч — по напРавлениЯм вектоРа Ч относительно г.
Интегрирование такого вида уже производилось прн преобразовании первого члена в (125,2); оно приводит (в области больших г) к выражению 2т 2пт (' Р(й, дп ) ете' — Р(й, — дп )е тч' Чоя ае °,) ч — л — о (2п)з е (где и' = г/г) или г мп Г р(й, Чп)ееее,о ХЬ (Г) = 2пзаз ), з Лз;О * Подынтегральное выражение имеет полюсы в точках о = й+ + 10 и д = — й — 10, которые обходятся прн интегрировании (в плоскости комплексного д) соответственно снизу и сверху (рис, 48, а). Сместим несколько путь интегрирования в верхнюю полуплоскость, заменив его прямой линией, параллельной ') По свойствам 6-функции произведение (оз — йз) 6 (Ч вЂ” и), будучи умножено нз произвольную функцию 1(ч) (не имеющую особенности прн ч = и) и проинтетрировзно по Ы Ч, дает нуль.
В етом смысле произведение (Чз — лз) Х Х 6 (Ч вЂ” й) ы О. (гл. хуп упРуГие столкновения вещественной оси и замкнутой петлей, охватывающей полюс () = Ф (рис. 48, б). Интеграл по прямой линии обращается при г- оо в нуль (ввиду наличия в подынтегральном выражении множителя ехр ( — Г 1т())), а интеграл по замкнутой петле определяется вычетом подынтегрального выражения в полюсе д = й (умноженным на 2пг); окончательно находим пч е™ )(а (г) = р„, — Р(йп, йп') (130,11) (п — единичный вектор в направлении (г). Мы получили требуе.
мый асимптотический вид волновой функции, причем амплитуда рассеяния ) (п, и') = — „, Р(йп, йп'). (130,!2) Таким образом, амплитуда рассеяния определяется значением при д = й функции г'((с, и), удовлетворяющей интегральному уравнению (130,9). Рис 43 В случае применимости теории возмущений уравнение (130,9) легко решается последовательнымн итерациями. В первом приближении, опустив интегральный член вовсе, получим г ((г, 1() = = — () (с( — й).
В следующем приближении подставляем в интегральный член выражение г' (й, с)) первого приближения; для амплитуды рассеяния (130,!2) находим тогда (несколько изменив обозначения переменных) ((зо,)з) причем (с = йп, й' = лп'. Первый член совпадает с формулой (126,4) первого борновского приближения„а второй даст вклад второго приближения в амплитуду рассеяния '). Из (130,13) видно упомянутое уже в $ 126 обстоятельство, что уже во втором приближении амплитуда рассеяния теряет свойство симметрии (126,8). На первый взгляд может показаться, что интегральный член в (130,13) тоже симметричен по отноще- ") Этот результат легко получить, конечно, и без перехода к импульсному представлеинкн тот факт, что формула второго приближенна отличается от формулы первого приближении заменой с) (Е' — й) на выражение и фигурных скобках в (130,13), очевиден из сравнения формул (43,1) и (434).
з !з! 1 РАССЕЯНИЕ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ 623 нию к перестановке начального и конечного состояний. В дейст- вительности, однако, такая симметрия отсутствует в связи с тем, что при переходе к комплексно сопряженному выражению ме- няется контур интегрирования (направление обхода полюса). В 131. Рассеяние при больших энергиях Если потенциальная энергия не мала по сравнению с грг/таз (где а, как обычно, радиус действия поля), то возможна ситуация, когда энергия рассеиваемых частиц настолько велика, что ) У ~ << Š—., (рра)', (131,1) ио в то же время еще Аг «и, )(/~ . —,йп = — ', (131,2) при этом подразумевается, разумеется, что йа )) 1. (131,3) В таком случае мы имеем дело с рассеянием быстрых частиц, к которому, однако, неприменимо борновское приближение (не выполняется ни одно из условий (126,!) — (126,2)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
