Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 127
Текст из файла (страница 127)
Если зтот вид достигается лишь на расстояниях г» а (где а — характерные размеры поля), то отсюда возникает условие ша/лейон-!» 1 устанавливающее верхний предел допустимых скоростей. Напомним, что в этом случае при достаточно больших скоростях (при условии тп/А~Да" ' ~ 1) нмеет место ззвисимосп, и со й э (ср. задачу 5 $126). 2. Найти угловое распределение рассеяния вблизи точки экстремума классического угла рассеяния В(р) как функции прицельного расстояния р = !/Д. Р еще и не.
Наличие зкшремума функции В(1) при некотором означает, согласно (!2?,3), что фаза Ь! вблизи этой точка имеет вид м 26 яэ 23! + 6 1' +— где Ве = 6 (1е), 1' = 1 — !е (снова выбираем для определенности случай нижнего знака в (12?,3)); постоянная п С 0 или сг > О соответственно в случаях максимума или минимума функции 6 (/). Для амплитуды рассеяния получаем, вместо (127,6): (/(В)(= — ( ' ) ~ ехр~!( — ГВ'+ — Г )~31' где 6' =  — Ве. Выразив интеграл через функцию Эйри согласно (Ь, 3), найдем окончательно дли сечения рассеяния г) Зп/е ° 6' ° к е/3/ е ч „!(3 ) Дифференциальное сечение дп/36' затухает в глубь классически недоступной области рассеяния (В' > 0 при п к.
0 или 6' (О при и > 0), а подругуюсторону от точки В' = 0 испытывает колебания между нулем и постепенно убывающей амплитудой. Его максимальное значение достигается при В'сг '/з = 1,02, где Ф' = 0,90. 3. Найти угловое распределение квазнклассического рассеяния на малые углы, если классический угол отклонения В обращается в нуль при некотором конечном значении р = 1„/А. Р е ш е н и е. Предположенная ивазиклассичиость рассеяния в рассматриваемом случае означает, что 1е » 1 н Ь! » !. Тогда в рассеянии существеяны значения !, близкие и 1е, При малых 1 ! — !р имеем Ь/яеб/ + — ! ,> в 2 ') Этот тип рассеяния встречается в теории радуги, и его называют поэтому ридрзгныл рассеянием.
(гл. хчп ипрягие столкновения 010 (тогда, согласно (12?,3), О = 0 при Г 0), Это выражение яадо поставить в (127,1), причем Р~(соз О) люжет быть прелстанлено в виде (49,6). Суммнровзнве по 1 снова заменяется интегрированием по щ' вокруг точки 1' = 0'): 1 = — еехр(210~ ) ) «о(10) ехр(1Р1")Л1'. интеграл определяется областью 1' О пэ. лля углов 0 «1' р можно вынести функпию lе (10) нз-под знака интеграла, заменив ее значением при 1 = 1е. Оставшийся интеграл вычисляется, как объяснено в тексте.
В результате находим для сечения ') я(а «(а = — ' l"; (1 О) Ыо. 4 Аналогичный результат получается дли сечения рассеяния на углы, близкие к и, если классический угол рассеяния обращается в я прн некотором конеч ном (отлнчном от нуля) зиачеиви р. О 123. Аналитические свойства амплитуды рассеяния Ряд важных свойств амплитуды рассеяния может быть установлен путем изучения ее как функции энергии рассеиваемой части цы Е, формально рассматриваемой как комплексная переменная. Рассмотрим движение частицы в поле (I («), достаточно быстро обращающемся на бесконечности в нуль, — требуемая степень быстроты убывания будет указана ниже.
Для упрощения после дующих рассуждений будем сначала считать, что орбитальный момент частицы 1 = О. Напишем асимптотический вид волновой функции — решения уравнения Шредингера с ! 0 для произвольного заданного значения Š— в форме т = «ф =. А(Е) ехр ( — «(+В(Е)ехр( а «), )« — 2«л Е «)« — 2 Е (128,1) и будем рассматривать Е как комплекснуго переменную", будем при этом определять )«« — Е как положительную величину прн вещественных отрицательных значениях Е. Волновая функция предполагается нормированной каким-либо определенным уело.
вием, скажем, условием ф (0) = 1. На левой части вещественной оси (Е< 0) экспоненциальные множители в первом и втором члеяах в (128,!) вещественны; один из них убывает, а другой возрастает при « — оо. Из условия вещественности )( следует, что функции А (Е) и В (Е) вещественны при Е ( 0; в свою очередь отсюда следует, что эти функции ') Строго говоря, к этой амплитуде следует добавить член, отвечающий вкладу в рассеяние на малые углы от припельных расстояний р -+ оо.
Этот вклад, однако, вообще говоря, мал по сравнению с написанным. з) Этот тип рассеяния называют сиюп«ем в связи с определенными меттороло. синеокими явлениями, в теории которых он встречается, й ьзз1 аналитические свойства лмплитнды РАссеяния щ) имеют комплексно сопряженные значения в любых двух точках, расположенных симметрично относительно вещественной оси: А (Ее) = Ае (Е), В (Е*) = В* (Е). (128,2) Совершая переход с левой вещественной полуоси на правую полуось через верхнюю полуплоскость, мы получим асимптотическое выражение для волновой функции при Е = 0 в виде )( А (Е) ечат+ В (Е)е — тчт й " (128 3) р' Вне Если же произвести переход через нижнюю полуплоскость, мы получили бы )! = А' (Е) е — '" + В* (Е) е'а'. Поскольку )( должна быть однозначной функцией Е, это значит, что А (Е) =- В* (Е) при Е ) О (! 28,4) (зто соотношение следует также и непосредственно из вещественности )( прн Е ) О).
Однако, благодаря неоднозначности корня р — Е в (128,1), сами коэффициенты А (Е) и В (Е) неоднозначны. Для устранения этой неоднозначности разрежем комплексную плоскость вдоль правой вещественной полуоси. Наличие разреза делает однозначным р' — Е и тем самым обеспечивает однознач. ность определения функций А (Е) и В (Е). При этом на верхнем и нижнем краях разреза эти функции имеют комплексно сопряженные значения (в выражении (!28,3) А (Е) и В (Е) берутся на верхнем краю разреза). Разрезанную указанным образом комплексную плоскость'будем называть физическим листом римановой поверхности. Согласно принятому нами определению на всем этом листе имеем 1хеу' — Е)0.
(128,5) В частности, на верхнем краю разреза определенный таким об. разом рà — Е переходит в — 1 р' Е '). В (128,3) множители е'а' и е — 'а', а с ними и оба члена в )(— одинакового порядка величины; асимптотическое выражение вида (128,3) поэтому всегда законно. На всем же остальном физиче- ') Везде ниже в этом параграфе мы изучаем спойства амплитуды рассеяния иа физическом листе. В дальнейшем, однако, нам придется в некоторых случаях рассматривать также н второй, яеФизическнй лист римаиовой поверхности (см. $184), На этом листе Ке х" — Е < О. (128,8а) Переход с правой полуоси на нефизическнй лист осуществляется непосредственно вниз, через разрез.
1гл. ХУ И эпгкгив столкиоввния 6!2 ском листе первый член в (128,1) экспоненциально затухает, а второй — возрастает при г - сю (ввиду (128,5)). Поэтому оба члена в (128,1) оказываются различного порядка величины и это выражение, как асимптотическая форма волновой функции, может оказаться незаконным — малый член в нем на фоне большого может оказаться недопустимым превышением точности. Для за. конности выражения (128,1) отношение малого члена к большому не должно быть меньше относительного порядка величины по. тенциальной энергии (У/Е), которой пренебрегают в уран. ненни Шредингера при переходе к асимптотической области. Другими словами, поле У (г) должно удовлетворять условию: У (г) убывает при г — оа быстрее, чем ехр ( — г Ке )/ — Е) .
(128,6) Если это условие выполняется для любого Ке)/ — Е ~) О, т. е. если У (г) убывает быстрее, чем е-ет (128,6а) с любой положительной постоянной с, асимптотическое выраже ние вида (128,1) справедливо на всем физическом листе. Вудучи решением уравнения с конечными коэффициентами, оно ие имеем особенностей по Е. Это значит что функции А (Е) и В (Е) регулярны на всем физическом листе, за исключением точки Е = О; последняя, будучи точкой начала разреза, является точкой разветвления этих функций.
Связанным состояниям частицы в поле У (г) соответствуюэ волновые функции, обращающиеся при г — оо в нуль. Это зна чит, что второй член в (128,1) должен отсутствовать, т. е. дискретным уровням энергии соответствуют нули функции В (Е). Поскольку уравнение Шредингера имеет лишь вещественные собственные значения, все нули В (Е) на физическом листе вещественны (и расположены на левой части вещественной оси). Функции А (Е) и В (Е) при Е )~ О непосредственно связаны с амплитудой рассеяния в поле У (г).
Действительно, сравнив (128,3) с асимптотическим выражением )(, написанным в форме (33,20) у = сопзце' (ы+ео) — е=) <"'+а~)), (128,7) мы видим, что А (Е) В (Е) — е~1ео 'е), (128 8) Амплитуда же рассеяния с моментом 1 = О есть, согласно (123,16), Й = — (емэ' — 1) = ! — + 1); (128,9) 2)à — 2е1Е ~ В при этом А и В берутся на верхнем краю разреза. й гза! анллитичвскив свойства дмплиттды рассеяния щз Рассматривая теперь амплитуду рассеяния как функцию Е на всем физическом листе, мы видим, что дискретные уровни энергии являются ее простыми полюсами. Если поле У (и) удовлетворяет условию(128,6а), то, согласно сказанному выше, амплитуда рассеяния не имеет других особых точек '). Вычислим вычет амплитуды рассеяния относительно полюса, который она имеет в каком.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
