Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 128
Текст из файла (страница 128)
либо дискретном уровне Е = Е, ( О. Для этого напишем уравнения, которым удовлетворяют функция Х и ее производная по энергии! К + ае (Š— У)К = О, ( де ) + ае (Š— У) де — — ае Х' 2т дх 2т Умножив первое на дХ)дЕ, второе — на Х, вычтя почленно одно из другого и проинтегрировав по Ег, получим и дЕ Х(дЕ) 6' о (128,!0) Применим это соотношение при Е = Ее и и -ь оо. Интеграл в пра. вой стороне равенства при и- оо обращается в единицу, если волновая функция связанного состояния нормирована обычным условием ) Х' г(г = 1.
В левую же сторону подставляем Х из (128,1), учитывая при этом, что вблизи точки Е = Е, А(Е)=А(Ео) — = Ае В(Е)=(Е+!Ее~) — ~ =Р(Е+~Ее~). В результате получим Аеа Г 2(Ее( С помощью этих выражений найдем, что вблизи точки Е = Е главный член в амплитуде рассеяния (совпадающий с амплитудой для ! = 0) имеет следующий вид: а А! 2~ Е+(Е~( (128,!!) Х=А,ехр( — 1 ' и) (128,12) а) 3а исключением точки Е = О, являющейся особой ввиду указанной выше особенности функций А (Е) и В(Е). Амплитуда рассеяния, однако, остается при Е -ь О конечной (см.
$ !32). Ниже мы, для краткости, не будем каждый раз делать зту оговорку. Таким образом, вычет амплитуды рассеяния в дискретном уровне определяется коэффициентом А, в асимптотическом выра- жении упРугив столкноввння [Гл хмн нормированной волновой функции соответствующего стационарного состояния, Возвращаясь к исследованию аналитических свойств амплитуды рассеяния, рассмотрим случаи, когда условие (128,6а) не выполняется. В таких полях в выра>кении (128,1) лишь возра стающий член является корректной частью асимптотической формы решения уравнения Шредингера на всем физическом листе. Соответственно этому, можно папрежнему утверждать, что функция В (Е) не имеет особенностей.
Функция же А (Е) в этих условиях может быть определена в комплексной плоскости лишь как аналитическое продолжение функция, представляющей собой коэффициент в асимптотическом выражении у на правой вещественной полуоси, где оба члена в )( являются законными. Такое продолжение, однако, дает теперь, вообще говоря, различные результаты в зависимости от того, производится ли оио с верхней или с нижней стороны раз. реза. Для достижения однозначности мы условимся определять А (Е) в верхней и нижней полуплоскостях как аналитические продолжения соответственно с верхней и с нижней сторон правой полуоси; разрез >ке при этом должен быть, вообще говоря, продолжен на всю вещественную ось.
Определенная таким образом функция по.прежнему обладает свойством А (Еч) = А" (Е), но, вообще говоря, не вещественна ни на правой, ни на левой части вещественной оси. Она может также в принципе обладать особенностями. Покажем, однако, что существует тем не менее категория по. лей, для которых функция А (Е) не обладает особенностями внутри физического листа, хотя условие (128,6а) не выполняется. Для этого будем рассматривать )( как функцию комплексного г при заданном (комплексном) значении Е. При этом достаточно ограничиться значениями Е в верхней полуплоскости, поскольку значения функции А (Е) в обеих полуплоскостях комплексно сопряжены друг с другом.
Для таких значений г, при которых Ег' есть вещественное положительное число, оба члена в волновой функции (128,1) одинакового порядка, т. е. мы возвращаемся к той ситуации, которая имеет место для Е ) О и вещественных г, когда оба члена в асимнтотическом выражении у законны при любом стремящемся на бесконечности к нулю поле (I (г). Поэтому можно утверждать, что А (Е) не может иметь особых точек при таких значениях Е, для которых (>' (г) - О, когда г стремится к са вдоль луча, на котором Егч > О. Когда Е пробегает все значения в верхней полуплоскости, условие Ег' ) О выделяет правый ниж.
ний квадрант плоскости комплексного г. Таким образом, мы приходим к выводу, что А (Е) не имеет особенностей внутри физиче- й 199) диспвр снонноа соотношгнив 615 ского листа также и в случаях, когда У (г) удовлетворяет условию ') У (г) — О, когда г- со в правой полуплоскости (128,!3) (Л. Д. Ландау, 1961). Условия (128,6а) и (!28,13) охватывают очень широкую кате горию полей. Поэтому можно сказать, что амплитуда рассеяния, как правило, не имеет особенностей внутри обеих полуплоско. стей.
На самой же левой полуоси (которая входит в состав фи зического листа при отсутствии разреза на ней) амплитуда рассеяния имеет полюсы, соответствующие энергиям связанных состояний; прн наличии разреза здесь могут находиться и другие особенности. Последнее имеет место, в частности, для полей вида У = сопя! г"е — о~в (128,14) (с любым п).
На отрезке О ( — Е ( йа/8таз левой полуоси выполняется условие (128,6), так что на нем не должно быть разреза, и амплитуда рассеяния имеет здесь лишь полюсы, соответствую. щие связанным состояниям. На остальной части левой полуоси могут иметься также и лишние полюсы и другие особенности (5. Т. Ма, 1946). Их появление связано с тем, что функция (! 28,14) перестает стремится к нулю, когда г- со вдоль луча, на ко. тором Еге ) О, сразу же, как только Е попадает под левую полуось (т. е. указанный луч попадает влево за мииимую ось пло. скости комплексного г). Далее, рассмотрим аналитические свойства амплитуды рассеяния при ~ Е ! — оо. Когда Š— + оо вдоль вещественной оси, справедливо борновское приближение и амплитуда рассеяния стремится к нулю.
Согласно сказанному выше такая же ситуация имеет место при стремлении Е к бесконечности в комплексной плоскости вдоль какой-либо прямой агй Е =. сопз1, если при этом рассматривать такие комплексные значения г, для которых Ег' ) О. 1 Если У вЂ” О, когда г — оо вдоль прямой агй г = — — агя Е и никаких особых точек на этой прямой У (г) не имеет, то выполнено условие применимости борнонского приближения и амплитуда рассеяния по-прежнему стремится к нулю.
Когда ага Е пробегает все значения от О до и, агд г пробегает значения от О до — я!2. В результате мы приходим к заключению, что амплитуда рассеяния стремится к нулю на бесконечности во всех направ. пениях в плоскости Е, если функция У (г) в правой полуплос. ') Ввилу вещественности )г (г) иа вещественной оси имеет место равенство 0 (г') = гг' (г); позтому выполнение условия (128,13) в нижнем правом квадранте автоматически означает его выполнение во всей правой полуплоскости. 1гл хвы упРуГие столкнонания 616 кости г не имеет особых точек и стремится к нулю на бесконечности.
Хотя мы говорили выше все время о рассеянии с моментом 1 = О, но в действительности все изложенные результаты спрн недлины и для парциальных амплитуд рассеяния с любым отличным от нуля моментом. Разница в выводах состоит лишь в том, что вместо множителей еегз' в асимптотических выражениях 1г надо было бы писать точные радиальные волновые функции сво бодного движения (33,18) '). Некоторые изменения надо ввести, при 1~ О, в формулы (!28,9) и (128,11). Вместо (128,7) имеем теперь !п у! = Г)с! —— сопз( ! ехр 111'ят — — + бгЯ~— 2 — ехр ~ — ! ~йг — — + б,) ~ ~ (128,15) и для парциальной амплитуды ~, (определенной согласно (123,15)) получим ~( — ')' Е + ! ~ (!28 !8) Главный же член в амплитуде рассеяния вблизи уровня Е = Еа с моментом ! дается, вместо (128,1!), формулой аздт (21+ !)~~Р~(созб) ( !)+ 2 е !е ! (21+1)~ ~(соз8)' (128, 1? $ 129.
Дисперсиониое соотношение В предыдущем параграфе мы изучали аналитические свойства парциальных амплитуд рассеяния с заданными значениями 1. Мы видели, что эти свойства осложняются возможностью появления «лишних» особенностей и нерегулярности на бесконечности. Та кими жс свойствами обладает, очевидно, и полная амплитуда, рассматриваемая как функция энергии при заданных значениях угла рассеяния. Исключение представляет, однако, амплитуда рассеяния на угол нуль.
Как мы сейчас покажем, ее аналитические свойства значительно проще. '! Пользоваться же предельной формой (33,17) зтнх функпнй довустнмо лишь прн Е > 0: в остальной плоскости Е, где оба члена в Х вЂ” разлнчных порядков велнчнны, нспользованне этих предельных выраженнй внесло бы в Х ошибку, вообще говоря, большую, чем ошибка, соответствующая пренебреженшо ГГ в уравненнн Шредингера. $129) диспврсионнов соотношение 612 Написав уравнение Шредингера для волновой функции рассеиваемой частицы в виде йф+ (таф = — „Ф (129,1) будем рассматривать его формальным образом как волновое уран.
пение с правой частью, т. е. как известное из электродинамики уравнение запаздывающих потенциалов. Решение этого уравнения, описывающее «излучение» в неко. тором направлении (г' на больших расстояниях Яа от центра, имеет, как известно, следующий вид (см. П, 5 66)1 1 еыл' Г 2л«У фрачо = 4 о ) а фе "'"м\ . (129,2) В данном случае это выражение представляет собой волновую функцию рассеянной частицы и коэффициент при е'ая яе есть амплитуда рассеяния ((8, Е). В частности, положив («' = й (й— волновой вектор падающей частицы), получим амплитуду рассеяния на угол О. (129,3) ') Подразумевается, конечно, что поле У (г) убывает прн г -» оо достаточно быстро для того, чтобы 1'(О, Е) (прн Е ) 0) вообще существовало (см. $ !24).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
