Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 132
Текст из файла (страница 132)
е. по четным степеням й. О самой же амплитуде /, (/е) можно, следовательно, сказать, что она разлагается по целым степеням й; все члены с четными степенями Й вещественны, а члены с нечетными степенями й мнимы. Согласно (132,8) разложение /~ (й) начинается с члена б,/А со /е"; соответственно этому разложение д~ (/х) начинается с члена, пропорционального й ". При убывании поля на больших расстояниях по степенному закону (/ ж рг " с и ~( 3 результат (132,9) о постоянной амплитуде, как уже было указано, несправедлив.
Рассмотрим ситуацию, возникающую при различных значениях и. Для и .4 1 при достаточно малых скоростях, практиче- ') Пра малых Е условие (128,6) выколваетсв уже длв убывания У по закону е '~а. рлссвянив медлннных частиц у 1зз! ски при всех значениях прицельного параметра р выполняется условие р! (7 (р)! » йо (132,11) и потому рассеяние описывается классическими формулами (ср. условие (127,9)). При ! < а < 2 неравенство (132,11) выполняется в значительной области не слишком больших р; соответственно этому, оказывается классическим рассеяние на не слишком малые углы.
В то же время существует область значений р, для которых р ! 0 (р) ) «Йп, (132,12) т. е. выполняется условие применимости теории возмущений (ср. (!26,2)). При и > 2 на больших расстояниях имеет место неравенство ! () ! « —.'„, (132, 13) и поэтому вклад в рассеяние, возникающий от взаимодействия на этих расстояниях, может быть вычислен с помощью теории возмущений (в то время как на более близких расстояниях условие применимости теории возмущений может и не выполняться) '). Пусть г, есть такое значение г, что прн г » г, имеет место неравенство (132,13), и в то же время г, << 1/л.
Вклад в амплитуду рассеяния от области расстояний г » г„согласно (126,12), дается интегралом ОΠ— — — га е(г = — — „, д"-~ ) — „, !!в. (132,14) 2тй г 1 з!н ог а 2гл() „ з г з!и $ тя Р.„ При 2 < и < 3 этот интеграл сходится на нижнем пределе н для малых скоростей (Аго «1) можно заменить этот предел нулем, так что интеграл оказывается пропорциональным д — гз-"1, т.
е. отрицательной степени скорости. Этот вклад в амплитуду является, следовательно, в данном случае основным, так что Розг) — гз — «! 2 -п(З, (13215) Тем самым определяется зависимость сечения рассеяния от скорости частиц и от угла рассеяния. При и = 3 интеграл (132,!4) расходится логарифмически на нижнем пределе. При этом он все еще является главной частью амплитуды рассеяния, так что )со!п —, п=З. (132,!6) ') Рассеяние прн л!алик скоростяк нигде не становится в этом случае квазиклассическнм, так как неравенство (132,11) оказывается несовместимым с одновременно треоуемыв! условием ! У (р)! ~ Е.
Упругие столкновения !гл. ху!! При п > 3 вклад от области г 2» г, убывает при Й -ь 0 и рассеяние определяется постоянной амплитудой (132,9). Однако вклад (132,14) в амплитуду рассеяния, несмотря на свою относительную малость, н в этом случае представляет определенный интерес в силу его «аномальности». «Нормальной» ситуацией при достаточно быстром убывании (/ (г) является разложимость у (й) по целым степеням й, причем все вещественные члены разложения оказываются пропорциональными четным степеням й. Между тем, взяв интеграл (132,14) несколько раз по частям (понижая при этом степень й в знаменателе), мы выделим из него часть, содержащую четные степени й, после чего останется сходящийся прн |/гэ -ь О интеграл, пропорциональный степени й" з, которая, вообще говоря, не является четной ').
Задачи 1. Определить сечение рассеиния медленных частиц сферической прямоугольной потенциальной ямой глубины (/«и радиуса а. Р е ш е н н е. Волновой вектор частицы предполагается удовлетворяющим словиям йа к 1 и й к х, где н = РГ2ш(/«/а. Нас интересует только фаза б,. о»тому полагаем в уравнении (132,1) | = О и получаем для функции х = г/1«(г) уравнение Х'+ х»)( = О при г «.. а. Решение этого уравнения, обращающееся в нуль при г = О (х/г должно быть конечным при г = О), есть Х = А з!пнг, г(а.
При г > а функция Х удовлетворяет уравнению )('+ йь( .= О (уравнение (132,4) с / = О), откуда Х = В з!п (йг+ 6,), г > а. Условие непрерывности Х'/Х при г = а дает и н с(й ан = и с12 (йа+ б«) «и йа+б, ' откуда определяем б,. В результате для амплитуды рассеянна получим») /= 12 на — ка При иа К 1 (т. е. 1/, к «»/»газ) эта формула дает о = — ла (ка)«в согласии 4 с результатом борновского приближении (см.
э»дачу 1 4 !26). 2. То же лля рассеивая на прямоугольном сферическом «потенциальном горбе» высо~ы 1/,. ') Если л — нечетное целое число (л = 2р+ 1), то и — 3 = 2р — 2 есть четное число. Тем не менее интеграл (132,14) имеет и в этом случае «аномальную» гр — г часть, давая вклад в амплитуду рассеянна, пропорциональный 4» 1п ф ') Эта формула становится неприменимой, если ширина и глубина ямы таковы, что яа близко к нечетному кратному от и/2, При таина значениях ка среди дискретного спектра отрицательных уровней энергии имеется уровень, близкий к нулю (см, задачу 1 4 33), и рассеяние описывается формулами, которые будут получены в следующем параграфе.
нпригие столкновения (гл. кугг и прил=3 2т3 сопз( — — )п —, ар (2) по полиномам Лежандра, вшжно получить парциальные ампли(определенные согласно (123,14)) Разложив (1) гуды рассеяния Г ( — ') Г ( "~ ' + 1) (3) уравнение (132,1) для функции Х = г)7« принимает вид «( Х ! «(Х вЂ” + — — +Х= О. «(кр к «(к Общее решение этого уравнения: у - Аур (к)+ ВИ« (к), где ур и Двр — функции Бесселя соответственна первого н второго рода. Усло- вие Х = О при г = О дает А( — Мр (2ха)/«р (2ха). Области же а < г ~ 1!к отвечают к ~ 1 (при этом, конечно, подразумевается, что ах ехр ( — 1(ач) ~ 1); здесь 2 ук 2В В Хин А+  — 1п — = А -1- — 1п хау — — г, и 2 и иа где у = е = 1,78 ...
(С вЂ” постоянная Эйлера). Это выражение отвечает фор. С муле (132,3) и по полученным таким образом значениям св и ср находим ампли- туду рассеяния г пА ап 2 1 = — а ( — + 2 1п хат ) = 1( йгр (2ха) — — (п (хау) lэ (2ха) ~ ~ в ! «р (2ха) и В предельном случае ха С 1: 7 = 2а'х' (в согласии с формулой борвовсяого при. ближения (126,14)). При ха > 1 имеем Г = — 2а 1п (хау).
6. Во втором приближении теории возмущений определить амплитуду рассеявни в предельном случае малых энергий (И. Я. Померанчук, 1948). Р е ш е н и е. При й - О интеграл во втором члене формулы (130,131 прн. нимает вид Г (7 а„(га. а«й" = — ~~~ (Г (г) (7 (г') ев™ г 1 ~~ Н'«()«'= ,ц и(г)(1(г') „„„, (г — г'( При и ) 3 та же формула (1) определяет «аномальнуюр часть амплитуды рассеяния В парциальных же амплитудах величина (3) всегда является основной для таких значений 1, для которых 2! > и — 3; вместо (132,8) имеем при этом вч — 3, 5. Определить амплитуду рассеяния медленных частиц в поле (7 (г) = — (гр ехр ( — г(а), (гр,р О.
Р е ш е н и е. После замены переменной к = 2ахе гдмр х )72ш(7«)М рлссеяние медленных члстин $ !32! мы воспользовались злесь формулой еш !г-г'! 4и йзй ! (2и)з ) г — г' ( (см. П, 5 51). Таким образои, амплитуда рассеяния В случае центрального поля эта формула дает 2т Г з 8тз Гà — — ) (тгаог+ —, Ц (7 (г) У (г') г'г(г г'г)г'. г'>г Второй член в формуле (1) всегда положителен (как зто ясно нз исходного выражения внтеграла в й-пространстве).
Отсюда слелует, что в поле отталкивания ((7 > 0) первое борновское приближение дает всегда завышенный, а в поле притяжения ((7 с. 0) — заниженный результат для сечения рассеяния при малых энергиях. 7. Определить зависнлюсть от энергии амплитуды рассеяния меллевнык частиц в двумерном случае. Р е ш е н и е. Волновая функция на больших расстояниях дается в двумерном случае формулой (1) задачи к 6 124, Рассуждения, аналогичные проведенным в трехмерном случае, показывают, что главный вклад в рассеяние при малык энергиях вносит состояние с т = О, так что амплитуда рассеяния 1 ие зависит от угла рассеяния ф.
Это позволяет записать волновую функцию на всех расстояниях р » а просто заменив еыо/у р на точное решение уравнения Шредингера свободного движения, имеющее такую аснмптотику. (См примечание на стр, 198 и задачу 6 к 6 126.) Такам образом ф = ега* -1- ) ~l — !Н',! ! (йр). Перейдем в (1) к области мальм расстояний р ~ 1/й, используя приближенное выражение для Но" (х) прн малых х: и'ы' (х) = — ! — !и —, (х~ сз. 1, 2 2! Т = ес, С вЂ” постоянная Эйлера.
Получаем: (2) Формула (2), как н должно быть, соответствует общему решению уравнения дз ! '( Пф 1 — — — р — О, справедливого в области — » р »и, где в уран. 2т р бр 4) й ненни Шредингера можно пренебречь членами с У (х) и Е: ф гм с„+ сз !п р.
((ак н в (132,3), (! 32,9) отношение постоянных ст(сз определяется решением уравнения Шредингера с Е = 0 в области р и. Это отношение вещественно и ве зависит от энергии. Обозначим ст/сз = — 1и го, (3) УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ггл. хнн где г, — постоянная размерностн длины. Сравнивая (2) с (3», находнм т/ а ! Рг 2е 2 !п(г ) откуда сененна па ! о=2п)! (а = (4) !Ва +— т»га 4 Мы видны, что в двумерном случае, в отлнчне ог трехмерного, сечение рассеянна возрастает с уменыпеннем энергии. Заметим, что прн рассеянна на бесконечно-высоком пнлнндрнаеском потенпнальном барьере раднуса а постоянная г, в !3) совпадает с о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
