Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 130
Текст из файла (страница 130)
Для исследования этого случая можно воспользоваться выражением волновой функции в виде (45,9) г-р ррр, ррр=.*р( — — ' ) иг). рргргр рр 5 (р) = ехр (2Й (р)), 5 (р) = — + ~ и,2г (131,6) рг (р — радиус. вектор в плоскости хя). для применимости которого энергия должна удовлетворять только условию ) У ) « Е. В 3 45 было отмечено, что это выражение справедливо лишь пРи г г(„йпг; поэтомУ оно не может быть непосРеДственно пРодолжено до таких расстояний, где уже справедливо асимптотиче. ское выражение (123,3). В этом, однако, нет необходимости: для вычисления амплитуды рассеяния достаточно знать волновую функцию иа расстояниях г таких, что а « г « йаг; при этом интеграл в показателе в Е (г) может быть распространен до оо! гыг5 (р) 1151 5) где введено обозначение (гл хчп УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ 624 (с)ар = г)хе)у).
Коэффициент пропорциональности в этом выраже нии можно получить затем сравнением с предельным случаем борновского приближения (см. ниже). Можно провести вычисление также н другим способом, кото- рый сразу приводит к вполне определенному выражению. Для этого воспользуемся формулой (129,2), подставив в нее тр из (131,4). Заметив при этом, что, согласно (45,8), — х(/Р = 2(й —, 2гл .
др ПОЛУЧИМ ДЛЯ аМПЛИтУДЫ РаССЕЯНИЯ (КОЭффИЦИЕНт ПРИ Ееаалг)та) 1' = —. ! — е 'ча г)х г(у г)г = —. ) (Р (г = оо)— й Г дг" й Г 2п) „дг 2п),) — Р(г = — оо)] е-'час)хг)у. Подставив выражение для Р, окончательно получим ') 1 = —.~(З( ) — 1) — ' с)'р. й 2гд (131,7) Если энергия настолько велика, что б ( (7)а/йп с4', 1, то применимо борновское приближение. Действительно, разложив 8 — 1 ж 216, получим из (!31,7) в согласии с (126,4) = — — ~( 0 е — гча г('р,)г. ипвх г л) Такой способ определения амплитуды рассеяния аналогичен методу, применнемому при рассмотрении дифракции Фраунгофера (см. П, 4 61).
Заметим„ что именно дифракционные аффекты нарушают применимость формулы 1131,4) при г ~ йах. х) В двумерном случае амплитуда рассеянна в поле 0 (х, г), определенная как в задаче к $ !23, дается формулой / = —, 1/ — ! 15 (х) — 1)е гч" дх. (131,7а) 1 1 2п,! Величина 1) )'др есть сечение рассеянии, отнесенное к единице длины вдоль оси у, а ф — угол рассеяния в плоскости хг (ср. выражение для борновской амплитуды в задаче 6 4 126). Рассеяние быстрых частиц происходит в основном на малые углы, которые мы и будем рассматривать. При этом изменение импульса йс) относительно мало (д г' й), и потому вектор с) можно считать перпендикулярным к волновому вектору падающей частицы й, т. е.
лежащим в плоскости хр. Рассеянная волна получается вычитанием пз (131,5) падающей волны е'ь' (функция (131,4) прн г = — оо). Амплитуда же рассеяния с волновым вектором й' = )г + с) пропорциональна соответствующей компоненте Фурье рассеянной волны ') ~(З(р) — 1) е-'- )гр й 1з11 рассеяние при вольших энкргияя 625 Воспользовавшись оптической теоремой (125,9), можно получить из (!31,7) полное сечение рассеяния. Амплитуда рассеяния на нулевой угол есть значение 1 при г) = О. Поэтому находим о = ~ 2 гсе(1 — 5)с(зр = ~ 4з1п'6(р)с(зр.
(131,8) Выражение под знаком интеграла можно рассматривать как сечение рассеяния для частиц с прицельным расстоянием в интервале гРр '). Формула (131,7) не предполагает центральной симметрии поля. Поучительно увидеть, каким образом для центрально-симметричного поля эта формула может быть получена непосредственно из точной общей формулы (123,11). В условиях (131,1) — (131,3) основную роль в рассеянии играют парциальные амплитуды с большими моментами 1. Поэтому для волновых функций выполняется условие квазиклассичности, что позволяет воспользоваться для б, формулой (124,1).
Положив в ней г, т (7й г' = гз + Р(мз, получим СО ОЪ э, —" 1 "'ь --" 1иЬ|т+Иэь Дз л йгйа 1зУгз азй ,) эта о что совпадает со значением функции 6 (р) (131,6) при р = 1/й '). Далее, в области малых углов (О <С 1) полиномы Лежандра с большями 1 могут быть представлены в виде (49,6) Р, (соз 6) ж,уа (61) = — „~ е-'в' соа е сйр.
1 г о Подставив это выражение в формулу (123,11) н перейдя в ней ') В 4 152 будет дано обобщенне формул (131,)), (131,8) на случай рассенння на системе частиц. ') Квазнкласснческая функция 266 (р) представляет собой связанное с полем У изменение действия прн пролетаннн частицы вдоль классической траекторнн. для быстрой частицы агу траектарню можно счнтать прямолннейной, н тогда 26 (р) совпадает с разностью классических интегралов действия Р СО О ~'а *— йэн г т у й,— — и ба — ~ йс)а= — — ~ иаг. У В этом смысле функцня 26 (р) играет здесь роль, аналогичную роли эйконала в геомегрнческой оптике.
В связи с этнм рассматриваемое прнблнженне в теория рассенння часто называют эакональным. Подчеркнем, однако, что амплнтуда рассеянна отнюль не сводится к своему квазнкласснческому выражению, поскольку не выполннются, вообще говоря, условна 81 Ъ 1, бз Ль 1.
рпрнгие столкновения 1гл хтн от суммирования (по большим 1) к интегрированию, получим — /й-га~ ° ас(Ф 1сЦ = — "/,с — гчасрр (131 9) 1 сс ы с — л л е где о и р — двумерные векторы с абсолютными величинами д = йО, р = 1/й. Наконец, подставив сюда /, в виде (123,15) с 6, 5 (1//г), мы вернемся к формуле (131,7). Отметим также, что для рассеяния в центрально-симметрич. ном поле формула (131,7), после проведения в ней интегрирова ния по полярному углу Ф в плоскости ху(~Рр = рдрсвр), принимает вид / = — й ~ (ехр (215 (р)1 — 1)./а(др) р с(р.
(131,10) В $ 126 уже было указано, что борновское приближение неприменимо при рассеянии быстрых частиц на большие углы, если сечение при этом оказывается экспоненциально малым. Непригодна в этих условиях также и изложенная здесь методика. В действительности мы имеем в таких случаях дело с квазикласснческой ситуацией, к которой теория возмущений неприменима.
В соответствии с общими правилами квазиклассического приближения (ср 9 52, 53) показатель степени в экспоненциальном законе убывания сечений рассеяния можно определить путем рассмотрения «комплексных траекторий» в классически недоступной области движения '). В классической задаче о рассеянии зависимость между углом О отклонения частицы в поле (/ (г) и прицельным параметром р определяется формулой я~в рйг (131,11) где г, — минимальное расстояние от центра, являющееся корнем уравнения (131,12) (см. (127,5)), Интересующий нас случай соответствует области углов, на которые классическая частица не могла бы отклониться е). Этим углам отвечают поэтому комплексные решения р (О)' уравнения (131,11) (с соответственно комплексными значениями г ).
О Исследование вопроса о предэкспоненцнальном множителе в этом аа. ионе — см. А. 3. Паташанский, Н. Л. Покроеский, И. М. Халатников, ЖЗТФ йа, ввэ (!963). а) Иэлагаемма метод применим не только при йолыпнх Е, но вообше во всех случаях экспоиеициально малого рассеяния. По найденной таким образом функции р (О) и классическому орбитальному моменту частицы шпр вычисляется действие 3 (в) = ~ р (в) (е (131,13) (где о — скорость частицы на бесконечности). Амплитуда же рас- сеяния ехр ( — — „1ш 5 (В)). (131,14) Уравнение (131,12) имеет, вообще говоря, более чем один комплексный корень.
В качестве г, в (131,11) должен быть взят тот из них, который приводит к наименьшей по величине положительной мнимой части 1ш 3. Кроме того, если функция (х (г) обладает комплексными особыми точками, то они тоже должны входить в число конкурирующих значений г, '). Основную роль в интеграле (131,1!) играет область г При этом в случае больших энергий Е член (У)Е под знаком корня может быть опущен; произведя интегрирование, получим тогда р=гесоз 2 . 9 (131,15) Если г есть особая точка функции (х' (г), она зависит лишь от свойств поля, но не от р или Е.
Вычисляя 5 согласно (131,13), найдем в этом случае, что амплитуда рассеяния ехр ( — — „з!п — 1ш ге), 2хно 0 (131,16) Если же в качестве г, приходится взять корень уравнения (131,12), то вид экспоненты зависит от конкретных свойств поля, Так, для функции Ц Ц И вЂ” Отан (не имеющей вовсе особых точек на конечных расстояниях) нз уравнения и, Р, — =1 — —,ж з)ив 2 имеел) г, ж )а )/ 1п ( — зш" — ) (131,П) иа ВвидУ слабости зависимости от 0 га можно считать постоЯиным при интегрировании в (131,13) и для амплитуды рассеяния мы получим формулу (131,16) с г, из (131,17), ') Напомним (см. 5 )26), что если и р) имеет особенность прн нещестнеином Г, то убыиянне сечения происходит яообще не по експоиенцияльному закону. $ )31! РАССЕЯНИЕ ПРИ ЗОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ 627 (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
