Главная » Просмотр файлов » Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория)

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 126

Файл №1185132 Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu) 126 страницаЛандау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132) страница 1262020-08-21СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 126)

(1) упругие столкновения (гл. хпп Фазм б/ с большими 1 вычисляются по (124,!) ОЭ ест бт Д ) (гг+ ат)"/ (йг — /г/гг)>/г* 1/З Подстановкой гз+ аз = (аз+ 1з/йз)/ь интеграл приводится к известному интегралу Эйлера н дает (2) 2дг(агйг+ (г)! — >Пг Г (и/2) Интеграл (!) определяетсн областью 1 ай д> 1, чем оправдынается сделанное предположение.

Вычисление интеграла приводит к результату: и — 2 ~ Г (и/2) ) ~ азади — г ) Согласно (126,2) условие применимости бориовского приближения в данком случае дается неравенством ти/дма" ' < !. Обратим внимание нз зависимость о Й ', соответствующую сделанным в тексте общим утверждениям. 6. Найти в борновском приближении амплитуду рассеяния в двумерном случае (поле (/ (/ (х, х); поток частиц падает в направлении оси з).

Р е ш е и и е. Использовав примечание на стр. !96 и известное асимптотиче. ское выражение функции Ганкеля и('> (и) ш ф — ег га "/4' при и найдем для поправки к волновой фуикпин иа больших расстояниях ре от оси поля (ось у) выражение ( » рр) ем о' У вЂ” 1/ге й !27. Квазиклассический случай Проследим, каким образом происходит предельный переход от квантовомеханической теории, рассеяния к классической. Исключив из рассмотрения равный нулю угол рассеяния 6, мы можем написать амплитуду рассеяния, даваемую точной теорией, в виде (124,4) ОР 1(В)= 2,.

Е(21+1)Р!(соей)ам ' ° (127,1) где амплитуда рассеянна / (ф) = — ) у (р) е ' з Пгр Дг )/ 2пй 1 (р (х, х) — двумерный радиус-вектор; Пзр = Ых ~/х! Ч вЂ” угол рассеяния в плоскости хг). В двумерном случае амплитуда рассеянна имеет размерность корни нз длины, а сечение рассеяния ба = 1/ рдр — размерность длины. КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ $1271 Мы внаем, что квазиклассические волновые функции характеризуются большой величиной их фазы. Поэтому естественно предположить заранее, что предельному переходу в теории рассеяния соответствуют большие фазы бо Значение суммы (127,1) опреде.

ляется в основном членами с большими 1. Поэтому можно заменить Р, (соз О) асимптотическим выражением (49,7), которое напишем в виде Р1 (созО) ж — ~ехр ~1 (1+ ~ ) О+1 4 ]— Р( 1(1+ 2)О 1 4]), Подставив это выражение в (127,1), получим ~(О)= — „','~У' в.з',ае (ехр(1 [26 -(1+ з )О- 4])— — ехр (1 ~261+(1+ — ) О+ — "]]). (127,2) 2 — ~О=О.

061 ~И (127,3) В этой области имеется большое число членов ряда, для которых экспоненциальиые множители сохраняют почти постоянные значения (показатели медленно меняются вблизи точки своего экстремума) и которые поэтому не будут взаимно уничтожаться. Фазы 6, в квазиклассическом случае могут быть написаны (см. З 124) как предел, к которому стремится при г- со разность фазы l — + — ) )7 2т(Š— (7(г)) — 1(г я 1 Гз/ а2 (1 + 172)2 квазиклассической волновой функции в поле (7 (г) и фазы волновой функции свободного движения, равной йг — п1/2 (см.

О 33). Экспоненциальные множители, рассматриваемые как функции от 1, являются быстро осциллирующими функциями (поскольку их фазы велики). В связи с этим большинство членов суммы (127,2) взаимно уничтожаются. Сумма будет в основном определяться областью значений 1, близких к тому, при котором пока. ватель одной из экспонент имеет экстремум, т. е. близких к корню уравнения рпгтгив столкновения !гл хаи Таким образом, 6, = ~ ~ — )/ 2т,Š— (/) —,, — й1Й'+ Ге + 2 (!+ 2 ) — Ь'о (127,4) Это выражение надо подставить в уравнение (127,3).

При определении производной от интеграла надо помнить, что предел интегрирования г, тоже зависит от !; но получающийся от этого член й Ыг,/Ы сокращается с производной от члена — Ь; в бь Ве личина й (! + 1/2) есть момент импульса частицы. В классиче. ской механике его можно написать в виде тро, где р — прицела. лов ра~тпюяиие, а о — скорость частицы на бесконечности. Мы сделаем эту подстановку, после чего уравнение (127,3) примет окончательно вид ОЭ рлг я~а (12?,5) ,) „1/, и р Г Е гз В поле отталкивания это уравнение имеет корень (для р) лишь при знаке минус перед О в правой стороне, а в поле притяжения — при знаке плюс. Уравнение (127,5) в точности совпадает с классическим уравнением, определяющим угол рассеяния по прицельному расстоянию (см. 1, 2 18).

Легко убедиться и в том, что и для сечения действительно получается классическое выражение. Для этого разложим показатель экспоненты в (127,2) по сте. пеням !' = ! — !„(О), где !, (О) определяется уравнениями (127,3) — (!27,5). Будем для определенности рассматривать первый член в (127,2) и соответственно принимаем нижний знак в (127,3) (случай отталкивания). Заметив, что, согласно (127,3), а'ас 1 ! ав ям ~~=и 2 йр ' имеем ! (26, — 1,!+ 2/О 4 3 т! ~26ы — (!о+ 2/О 41+-уй!!'. Суммирование по ! в (127,2) заменяем теперь интегрированием по Ж' вблизи точки !' = О.

Рассматривая при этом !' как комплексную переменную, направим путь интегрирования вблизи указанной точки вдоль направления наиболее крутого спада показателя экспоненты, т. е, под углом и/4 или' — л/4 к вещест. венной оси, в зависимости от знака 40/г(! . Другими словами, полагаем !' *= $ ехр (-О!и/4) н интегрируем по вещественным зна, $!зт ! КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ чениям $; ввиду быстрой сходимости интеграла его можно рас. пространить от † до оо; м ) ехр ( — 2 ~,! ~)с(6= (2я ~ф~) ~, В результате получим ( з(п О ~,(О ~) ехр ( ! ~26м — (!е+ 2 ) 0 — а ] ~. (127,6) Отсюда х(а =)/)'.2пз!и ОЮ =2я — ', ~ — '~с(0, ' (!27,7) Аз и после введения прицельного расстояния согласно р = !о/й мы приходим к классической формуле с(а = 2яр с(р.

Таким образом, условие классичности рассеяния при заданном угле 0 заключается в том, чтобы было велико значение !, при котором имеет место (!27,3), и чтобы было велико также и 6! при этом значении ! '). Зто условие имеет простой смысл. Для того чтобы можно было говорить о классическом рассеянии на угол 0 при пролетании частицы на прицельном расстоянии р, необходимо, чтобы квантовомеханические неопределенности в значениях того и другого были относительно малы: Лр « р, ЛО « О. Неопределенность угла рассеяния имеет порядок величины 60 Лр/р, где р — импульс частицы, а Ьр — неопределенность его поперечной составляющей.

Так как Лр ° й/гзр )> й/р, то ЛО )> )) 6/)зр, а потому во всяком случае и 0 » — "„. (127,8) Заменяя момент импульса перо на й!, получим О! )) 1, что савва. дает с условием 6, )) 1 (так как 6, !О, как это видно из (127,3)). Классический угол отклонения частицы можно оценить как отношение поперечного приращения импульса Ьр за евремя столкновения» т р/о к первоначальному импульсу то. Сила, действующая в поле (/ (г) на частицу на расстоянии р, есть Р = = — г((l (р)/с(р, поэтому Ьр — Рр/и, так что 0 рР/и!сй. Эта оценка справедлива строго лишь, если угол 0 « 1, но по порядку величины ее можно продлить и до 0 — 1. Подставив это выра.

'! Связь О и р (даваемая формулой (!27,5)) может оказаться неоднозначной! тогда одному и тому же значению О отвечакзт более чем одно значение р. В таком случае амплитуда ! (О) дается суммой вмражений (!27,6) с соответствующими виаченнами (е. В точках экстРемУма фУнкпии О (Р), пРоизводнаЯ пР/ПО, а с неа» и классическое дифференциальное сечение х(оЯо обращаьотся в бесконе гность! вблизи этого угла классичесное приближение, конечно, недостаточно (см.

за. да ~у 2). упругив столкновения 1гл, хун жение в (127,8), получим условие квазиклассичности рассеяния в виде ) г1ре)) йп. (127,9) Задачи 1. Найти полное сечение квазиклаесичеекого рассеяния в поле, имеющем иа достаточио больших расстояииях вид 0 = а!г" е л > 2. Р е ш е и и е. Имея в виду, что осиовиую роль играют фазы б! с большими 1, вычисляем их по формуле (124,1) „, г( — )г~ — ) 2дв!" ! Г (л/2) » Г 6,= Ва ~ » / ! т !т/ т !та (вмчислеиие интеграла — ср. задачу Ь к 4 126). Заменив суммирование в (123,12) иятегрироваиием, пишем О~ 4л Г о = — ~ 2! а(пе б! б!.

д,) о После подстановки Ьг = и и интегрирования по Ыл по частям интеграл при. водится к Г-фуикции. В результате получим (2) [ при л = 3 раскрытие иеопределеииосги дает о = 2лхег!до). Это неравенства должно выполняться для всех значений р, при которых еще ) (/ (Р) ~ ~ Е. Если поле (/ (г) убывает быстрее, чем 1/г, та условие (127,9) во всяком случае перестает выполняться при достаточно больших р. Но большим р соответствуют малые 8; таким образом, рассеяние на достаточно малые углы во всяком случае не будет классическим. Если же поле спадает медленнее, чем 1/г, то рассеяние иа малые углы будет классическим; будет ли в этом случае классическим рассеяние на большие углы, зависит от характера хода поля на малых расстояниях.

Для кулонова поля (/ = а/г условие (127,9) выполняется, если а )) йп. Это условие обратно тому, которое позволяет рассматривать кулоново поле как возмущение. Мы увидим, впрочем, что по случайным причинам квантовая теория рассеяния в кулоновом поле приводит к результату, совпадающему с классическим во всех случаях. й 1З?1 КВАЭИКЛАССИЧЕСКИИ СЛУЧАИ 609 Условие применимости этого результата заключается прежде всего в том чтобы прн Ьг 1 было ! » 1; отсюда получим неравенство ~э-з/да Еще одно условие возникает из требования, чтобы поле (/ (г) имело рассматриваемый вид уже на расстояниях 1/й ( /дть)!~1.-0 (! из соотношения Ь! — 1), которые играют основную роль в интеграле (1).

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6458
Авторов
на СтудИзбе
305
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее