Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 126
Текст из файла (страница 126)
(1) упругие столкновения (гл. хпп Фазм б/ с большими 1 вычисляются по (124,!) ОЭ ест бт Д ) (гг+ ат)"/ (йг — /г/гг)>/г* 1/З Подстановкой гз+ аз = (аз+ 1з/йз)/ь интеграл приводится к известному интегралу Эйлера н дает (2) 2дг(агйг+ (г)! — >Пг Г (и/2) Интеграл (!) определяетсн областью 1 ай д> 1, чем оправдынается сделанное предположение.
Вычисление интеграла приводит к результату: и — 2 ~ Г (и/2) ) ~ азади — г ) Согласно (126,2) условие применимости бориовского приближения в данком случае дается неравенством ти/дма" ' < !. Обратим внимание нз зависимость о Й ', соответствующую сделанным в тексте общим утверждениям. 6. Найти в борновском приближении амплитуду рассеяния в двумерном случае (поле (/ (/ (х, х); поток частиц падает в направлении оси з).
Р е ш е и и е. Использовав примечание на стр. !96 и известное асимптотиче. ское выражение функции Ганкеля и('> (и) ш ф — ег га "/4' при и найдем для поправки к волновой фуикпин иа больших расстояниях ре от оси поля (ось у) выражение ( » рр) ем о' У вЂ” 1/ге й !27. Квазиклассический случай Проследим, каким образом происходит предельный переход от квантовомеханической теории, рассеяния к классической. Исключив из рассмотрения равный нулю угол рассеяния 6, мы можем написать амплитуду рассеяния, даваемую точной теорией, в виде (124,4) ОР 1(В)= 2,.
Е(21+1)Р!(соей)ам ' ° (127,1) где амплитуда рассеянна / (ф) = — ) у (р) е ' з Пгр Дг )/ 2пй 1 (р (х, х) — двумерный радиус-вектор; Пзр = Ых ~/х! Ч вЂ” угол рассеяния в плоскости хг). В двумерном случае амплитуда рассеянна имеет размерность корни нз длины, а сечение рассеяния ба = 1/ рдр — размерность длины. КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ $1271 Мы внаем, что квазиклассические волновые функции характеризуются большой величиной их фазы. Поэтому естественно предположить заранее, что предельному переходу в теории рассеяния соответствуют большие фазы бо Значение суммы (127,1) опреде.
ляется в основном членами с большими 1. Поэтому можно заменить Р, (соз О) асимптотическим выражением (49,7), которое напишем в виде Р1 (созО) ж — ~ехр ~1 (1+ ~ ) О+1 4 ]— Р( 1(1+ 2)О 1 4]), Подставив это выражение в (127,1), получим ~(О)= — „','~У' в.з',ае (ехр(1 [26 -(1+ з )О- 4])— — ехр (1 ~261+(1+ — ) О+ — "]]). (127,2) 2 — ~О=О.
061 ~И (127,3) В этой области имеется большое число членов ряда, для которых экспоненциальиые множители сохраняют почти постоянные значения (показатели медленно меняются вблизи точки своего экстремума) и которые поэтому не будут взаимно уничтожаться. Фазы 6, в квазиклассическом случае могут быть написаны (см. З 124) как предел, к которому стремится при г- со разность фазы l — + — ) )7 2т(Š— (7(г)) — 1(г я 1 Гз/ а2 (1 + 172)2 квазиклассической волновой функции в поле (7 (г) и фазы волновой функции свободного движения, равной йг — п1/2 (см.
О 33). Экспоненциальные множители, рассматриваемые как функции от 1, являются быстро осциллирующими функциями (поскольку их фазы велики). В связи с этим большинство членов суммы (127,2) взаимно уничтожаются. Сумма будет в основном определяться областью значений 1, близких к тому, при котором пока. ватель одной из экспонент имеет экстремум, т. е. близких к корню уравнения рпгтгив столкновения !гл хаи Таким образом, 6, = ~ ~ — )/ 2т,Š— (/) —,, — й1Й'+ Ге + 2 (!+ 2 ) — Ь'о (127,4) Это выражение надо подставить в уравнение (127,3).
При определении производной от интеграла надо помнить, что предел интегрирования г, тоже зависит от !; но получающийся от этого член й Ыг,/Ы сокращается с производной от члена — Ь; в бь Ве личина й (! + 1/2) есть момент импульса частицы. В классиче. ской механике его можно написать в виде тро, где р — прицела. лов ра~тпюяиие, а о — скорость частицы на бесконечности. Мы сделаем эту подстановку, после чего уравнение (127,3) примет окончательно вид ОЭ рлг я~а (12?,5) ,) „1/, и р Г Е гз В поле отталкивания это уравнение имеет корень (для р) лишь при знаке минус перед О в правой стороне, а в поле притяжения — при знаке плюс. Уравнение (127,5) в точности совпадает с классическим уравнением, определяющим угол рассеяния по прицельному расстоянию (см. 1, 2 18).
Легко убедиться и в том, что и для сечения действительно получается классическое выражение. Для этого разложим показатель экспоненты в (127,2) по сте. пеням !' = ! — !„(О), где !, (О) определяется уравнениями (127,3) — (!27,5). Будем для определенности рассматривать первый член в (127,2) и соответственно принимаем нижний знак в (127,3) (случай отталкивания). Заметив, что, согласно (127,3), а'ас 1 ! ав ям ~~=и 2 йр ' имеем ! (26, — 1,!+ 2/О 4 3 т! ~26ы — (!о+ 2/О 41+-уй!!'. Суммирование по ! в (127,2) заменяем теперь интегрированием по Ж' вблизи точки !' = О.
Рассматривая при этом !' как комплексную переменную, направим путь интегрирования вблизи указанной точки вдоль направления наиболее крутого спада показателя экспоненты, т. е, под углом и/4 или' — л/4 к вещест. венной оси, в зависимости от знака 40/г(! . Другими словами, полагаем !' *= $ ехр (-О!и/4) н интегрируем по вещественным зна, $!зт ! КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ чениям $; ввиду быстрой сходимости интеграла его можно рас. пространить от †до оо; м ) ехр ( — 2 ~,! ~)с(6= (2я ~ф~) ~, В результате получим ( з(п О ~,(О ~) ехр ( ! ~26м — (!е+ 2 ) 0 — а ] ~. (127,6) Отсюда х(а =)/)'.2пз!и ОЮ =2я — ', ~ — '~с(0, ' (!27,7) Аз и после введения прицельного расстояния согласно р = !о/й мы приходим к классической формуле с(а = 2яр с(р.
Таким образом, условие классичности рассеяния при заданном угле 0 заключается в том, чтобы было велико значение !, при котором имеет место (!27,3), и чтобы было велико также и 6! при этом значении ! '). Зто условие имеет простой смысл. Для того чтобы можно было говорить о классическом рассеянии на угол 0 при пролетании частицы на прицельном расстоянии р, необходимо, чтобы квантовомеханические неопределенности в значениях того и другого были относительно малы: Лр « р, ЛО « О. Неопределенность угла рассеяния имеет порядок величины 60 Лр/р, где р — импульс частицы, а Ьр — неопределенность его поперечной составляющей.
Так как Лр ° й/гзр )> й/р, то ЛО )> )) 6/)зр, а потому во всяком случае и 0 » — "„. (127,8) Заменяя момент импульса перо на й!, получим О! )) 1, что савва. дает с условием 6, )) 1 (так как 6, !О, как это видно из (127,3)). Классический угол отклонения частицы можно оценить как отношение поперечного приращения импульса Ьр за евремя столкновения» т р/о к первоначальному импульсу то. Сила, действующая в поле (/ (г) на частицу на расстоянии р, есть Р = = — г((l (р)/с(р, поэтому Ьр — Рр/и, так что 0 рР/и!сй. Эта оценка справедлива строго лишь, если угол 0 « 1, но по порядку величины ее можно продлить и до 0 — 1. Подставив это выра.
'! Связь О и р (даваемая формулой (!27,5)) может оказаться неоднозначной! тогда одному и тому же значению О отвечакзт более чем одно значение р. В таком случае амплитуда ! (О) дается суммой вмражений (!27,6) с соответствующими виаченнами (е. В точках экстРемУма фУнкпии О (Р), пРоизводнаЯ пР/ПО, а с неа» и классическое дифференциальное сечение х(оЯо обращаьотся в бесконе гность! вблизи этого угла классичесное приближение, конечно, недостаточно (см.
за. да ~у 2). упругив столкновения 1гл, хун жение в (127,8), получим условие квазиклассичности рассеяния в виде ) г1ре)) йп. (127,9) Задачи 1. Найти полное сечение квазиклаесичеекого рассеяния в поле, имеющем иа достаточио больших расстояииях вид 0 = а!г" е л > 2. Р е ш е и и е. Имея в виду, что осиовиую роль играют фазы б! с большими 1, вычисляем их по формуле (124,1) „, г( — )г~ — ) 2дв!" ! Г (л/2) » Г 6,= Ва ~ » / ! т !т/ т !та (вмчислеиие интеграла — ср. задачу Ь к 4 126). Заменив суммирование в (123,12) иятегрироваиием, пишем О~ 4л Г о = — ~ 2! а(пе б! б!.
д,) о После подстановки Ьг = и и интегрирования по Ыл по частям интеграл при. водится к Г-фуикции. В результате получим (2) [ при л = 3 раскрытие иеопределеииосги дает о = 2лхег!до). Это неравенства должно выполняться для всех значений р, при которых еще ) (/ (Р) ~ ~ Е. Если поле (/ (г) убывает быстрее, чем 1/г, та условие (127,9) во всяком случае перестает выполняться при достаточно больших р. Но большим р соответствуют малые 8; таким образом, рассеяние на достаточно малые углы во всяком случае не будет классическим. Если же поле спадает медленнее, чем 1/г, то рассеяние иа малые углы будет классическим; будет ли в этом случае классическим рассеяние на большие углы, зависит от характера хода поля на малых расстояниях.
Для кулонова поля (/ = а/г условие (127,9) выполняется, если а )) йп. Это условие обратно тому, которое позволяет рассматривать кулоново поле как возмущение. Мы увидим, впрочем, что по случайным причинам квантовая теория рассеяния в кулоновом поле приводит к результату, совпадающему с классическим во всех случаях. й 1З?1 КВАЭИКЛАССИЧЕСКИИ СЛУЧАИ 609 Условие применимости этого результата заключается прежде всего в том чтобы прн Ьг 1 было ! » 1; отсюда получим неравенство ~э-з/да Еще одно условие возникает из требования, чтобы поле (/ (г) имело рассматриваемый вид уже на расстояниях 1/й ( /дть)!~1.-0 (! из соотношения Ь! — 1), которые играют основную роль в интеграле (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
