Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 121
Текст из файла (страница 121)
$ 32), причем зто постоянное значение практически достигается уже вне ядра. Поэтому можно вынести чрэ из-под знака интеграла, заменив чр (г) ее значением при г = О, вычисленным для кулонова поля точечного заряда. ') В системе центра инерции атома сумма импульсов ядра н электронов равна нулю; ряд + ~ р~ О. Поэтому нх полная кинетическая энергия я) Излагаемый ннже расчет, не учнтывающнй релятивистских эффектов в двнженнн электрона вблизи ядра, справедлив прн выполнен нн условия л«э/ас ~ ~ 1. где М вЂ” масса ядра, а р, — импульсы электронов '). Поэтому связанное с данным эффектом изотопическое смещение находится как среднее значение 1гл.
хщ стггктггх атомного ядвх 676 Для дальнейшего преобразования интеграла воспользуемся тождеством Лг' =б и перепишем (120,2) в виде Ь Е = — — ефз (О) ( 1 ср — — 1 Лг' г(У = — — ефз (О) ~ гзй (~г — — ) бУ (при преобразовании объемного интеграла учтено, что возникающий при этом интеграл по бесконечно удаленной поверхности равен нулю). Но Л вЂ” = — 4п6 (г), а г'6 (г) 0 при всех г.
Со. гласно же электростатическому уравнению Пуассона Ьч~ — 4пр, где в данном случае р — плотность распределения электрического заряда в ядре. В результате получим окончательно АЕ = — фз (О) Ее'гз, з где гз = — 1 ргзаУ хг,) есть протонный средний квадратичный радиус ядра (при однородном распределении протонов в ядре было бы г' = ЗФ/5, где )г — геометрический радиус ядра). Изотопическое смещение уровня определяется разностью выражений (120,3) для двух изотопов. В 6 71 была произведена оценка величины ф (О) и выяснено, что оиа зависит от (предполагаемого большим) атомного номера как У У. Поэтому величина расщепления (120,3) оказывается пропорциональной )схЕ'. 5 121.
Сверхтонкая структура атомных уровней Другим атомлым эффектом, связанным со специфическими свойствамп ядра, являешься расщепление атомных уровней энергии в результате взаимодействия электронов со спином ядра — таи называемая саерхтснкая структура уровней. Ввиду слабости указанного взаимодействия интервалы шой структуры очень малы, в том числе по сравнению с интервалами тонкой структуры. Поэтому сверхтонкая структура должна рассматриваться для каждой из компонент тонкой структуры в отдельности. Спин ядра будем обозначать в этом параграфе (в соответствии с тем, как это принято в атомной спектроскопии) посредством ю', сохранив обозначение l для полно~о момента электронной оболочки атома.
Полный момент атома (вместе с ядром) обозиаяим как г = .1 + 1. Каждая компонента сверхтонкой структуры характеризуется определенным значением величины этого момента. $ м!] сВеРхтонкАя стРуктуРА Атомных уРОВней 579 По общим правилам сложения моментов квантовое число г" принимает значения г = 7 + 1, 7 + ( — 1, ..., ~ / — ! ~, (121,1) так что каждый уровень с заданным l расщепляется на 2( + ! (если ! «7) или 2/ + 1 (если 1-» ./) компонент.
Поскольку средние расстояния г электронов в атоме велики по сравнению с радиусом /7 ядра, основную роль в сверхтонком расщеплении играет взаимодействие электронов с мультипольными моментами ядра наиболее низких порядков. Таковыми являются магнитный дипольный и электрический квадрупольный моменты (средиий дипольный момент равен нулю — см. Э 75). Магнитный момент ядра имеет порядок величины р. е/7Р,А/с, где о,„— скорости нуклонов в ядре.
Энергия его взаимодействия с магнитным моментом электрона (р,а ей/тс) порядка (121,2) Квадрупольный момент ядра 9 — е/7'; энергия взаимодей-. ствия создаваемого им поля с зарядом электрона порядка (121,3) Сравнивая (121,2) и (121,3), мы видим, что магнитное взаимодействие (а потому и вызываемое им расщепление уровней) (о„,/с) (й/тс/т) — 15 раз больше квадрупольного взаимодействия; хотя отношение п„»/с сравнительно мало, зато отношение й/тс/7 вели ко. Оператор магнитного взаимодействия электронов с ядром имеет вид )/ы = а].) (121,4) (аналогично спин-орбитальному взаимодействию электронов (72,4)). Зависимость вызываемого им расщепления уровней от г дается, следовательно, выражением (121,5) 2 ( + (ср. (72,5)). Оператор же квадрупольного взаимодействия электронов с ядром составляется из оператора 1];» тензора квадрупольного момента ядра и компонент вектора ] момента электронов.
Ои пропорпионален составленному из этих операторов скаляру 4»,/Р/», ствкктгвд атомного ядгд (гл. хщ 580 т. е. имеет вид й [(А+!а(г — 3 «(+ !)ба1 (гг»' (121,6) здесь учтено, что Я;а выражается через оператор спина ядра формулой вида (75,2).
Вычислив собственные значения оператора (121,6) (это делается в точности аналогично вычислениям в задаче 1 5 64), мы найдем, что зависимость квадрупольного сверхтонкого расщепления уровней от квантового числа Р дается выражением — Р'(Р+ 1)'+ — Р(Р + 1) [1 — 2л(l + 1) — 2!(г+ 1)). (121,7) Эффект магнитного сверхтонкого расщепления в особенности заметен для уровней, связанных с внешним электроном, находящимся з з-состоянии, ввиду сравнительно большой вероятности нахождения такого электрона вблизи ядра. Вычислим сверхтонкое расщепление для атома, содержащего один внешний з-электрон (Е. Регги(, 1930). Этот электрон описывается сферически-симметричной волновой функцией ф (г) его движения в самосогласозанном поле остальных электронов и ядра '). Будем искать оператор взаимодействия электрона с ядром кан оператор энергии — рН магнитного момента ядра )к = р1/1 в ма.
гнитном поле, создаваемом (в начале координат) электроном. Согласно известной формуле электродинамики это поле (!2 1,6) где ) — оператор плотности тока, создаваемого движущимся электронным спином, а г = пг — радиус-вектор из центра к элементу с(У'). Согласно (115,4) имеем кф' (г) ) = — 2рнсго!(фтз) = — 2рвс [пз) (рз — магнетон Бора).
Написав с(У = г' с(г с(о и произведя интегр ироза нне, на ходим 8л Н = — 2рз~ — й ~ [п[пзНдо = — 2рнфа (О) — з. о т) Излагаемый ниже расчет предполагает выполненне условна Хепаг» 1 (ср. прнмечанне на стр. 577). е) См. 11, 4 43, формула (43,7); заметим, что в последней вектор К наорав леп в обратную сторону — от йУ к пентру (точке наблюдення поля). СВЕРХТОНКАЯ СТРУКТУРА АТОМНЫХ УРОВНЕЙ 581 йшм Окончательно для оператора взаимодействия имеем [г», = — )вй = —.р в[»'(О) [з, (121,9) Если полный момент атома»' = Я = 1»2, то сверхтонкое рас. щепление приводит к возникновению дублета (Р = г ~ 1/2); согласно (121,5) и (121,9) найдем для расстояния между двумя уровнями дублета Е»+1»з — Б»-»»я 31 ррв (21'+ 1) ф (О). (121,10) Поскольку значение тр (О) пропорционально Тг 2 (см.
3 71), ве. личина этого расщепления растет пропорционально атомному номеру. Задачи 1. Вычислить сверхтонкое расщепление (связанное с магнитным взаимо. действием) для атома, содержащего сверх замкнутых оболочех один электрон с орбитальным моментом» (Е. Реги», 1930). Р е ш е н и е. Векторный потенциал и напряженность магнитного поля, создаваемого магнитным моментом ядра р, равны [мп[ Зп [рп[ — р г г (д(т А О).
С помощью этих выражений пишем оператор взаимодействия в видо [е[ — [е[а 2Р — Ар+ — Н э = — и[1-[-3 (эп) п — в1. тс шс гв После усреднения по состоянию с заданным значением» выражение в квадратныи скобках будет направлено вдоль 1. Поэтому можно написать (г,» — — 2ра(1»9 [1 +3 (вп) (п») — зИ »(»+1) ' Среднее значение п;лз было вычислено в задаче к й 29. Воспользовавшись им и переходя к собственным значениям, получим 2ип[в ( 2» (1-1- 1) э) — б (з[) (11) ) г в 1 + (21 — 1) (2»+ 3) 1» (»+ 1) ' откуда после простого вычисления окончательно находим 1(» + 11 Р (Р.[ 1) г-в »(»+1) где р = 1+1, а [=1~ 1»2.
Усреднение г в производится по радиальной части волновой функции электрона. 2. Определить зеемановское расщепление компонент сверхтонкой струк. туры атомного уровня (5. А. 6ош»мп»», »Т. Р. Вагди, 1930). Р е ш е н и е. В формуле (113,4) (мы предполагаем поле настолько слабым, что вызываемое им расщепление мало по сравнению с интервалами сверхтонкой структуры) усреднение должно теперь производиться не только по электрон- мому состоянию, но и по направлениям ядерного спина. В результате первого СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА (гл. Куд усреднения получается ЬЕ (авиа),И с прежним Ш (113,7).
Втсрос усрслне нне даст, аналогично (!1Э,Э), (Др) уа — МР. ра Таким оправам, окончательно получаем Р(Р+ В+.1(1+  — 1(1+ В ЬИ ° маяРНМР, ЯР .я й 122. Сверхтоикая структура молекулярных уровней Сверхтонхая структура уровней энергии молекулы имеет природу, аналогичную природе сверхтонкой структуры атомных уровней. У огромного большинства молекул полный электронный спин равен нулю. Основным источником сверхтонкого расщепления уровней является для ннх нвадрупольное взаимодействие ядер с электронами; при этом, конечно, во взаимодействии участвуют лишь те из ядер, спин ( которых отличен от 0 или 1/2 — в против. ном случае квадрупольный момент равен нулю. Ввиду сравнительной медленности движения ядер в молекуле усреднение оператора квадрупольного взаимодействия по со.
стоянию молекулы производится в дза этапа: сначала должно быть произведено усреднение по электронному состоянию при закрепленных ядрах, а затем — усреднение по вращению молекулы. Рассмотрим сначала двухатомиую молекулу. В результате первого этапа усреднения взаимодействие каждого из ядер с электронами выразится оператором, пропорциональным ска. лару ((1ап1аа, составленному из оператора тензора квадруполь. ного момента ядра и единичного вектора и в направлении оси молекулы — единственной величины, определяющей ориентацию молекулы относительно направления спина ядра. Учитывая, что (с!1 — — О, этот оператор можно представить в виде Ж(!(А(й!пь — Э б!А)1 (122,1) при заданной величине проекции (с спина ядра на ось молекулы эта величина равна Ь ~(1 — — ( (( + 1)~.
1 3 В результате же усреднения оператора (122,1) по вращению молекулы он оказывается вырах<ениым 'через оператор К сохра. ияющегося вращательного момента. Усреднение произведения а,аь производится по формуле, полученной в задаче и $29 (с вектором К вместо 1), и дает в результате (ХК вЂ” 1) ЭК+Э) 11(а 1К1КА+ КАК' Э 6,АК(К+ 1)~, (122,2) а гяа1 свнрхтонкан стрнктивл молнхилЯРИЫХ нпояннп йав Собственные значения этого оператора находятся так же, как это было указано для оператора (121,6). В случае многоатомной молекулы вместо (122,Ц получается, вообще говоря, оператор вида Ьгагааю где Ьга — тензор с равным нулю следом, представляющий собой определенную характеристику электронного состониия молекулы.
После усреднения по вращению молекулы он оказывается выраженным через ее полный вращательный момент а формулой вгща Ьг = Ь ()Угда+УаУг — ~ У(,1+ Цбг ~. (122,4) Коэффициент Ь может быть в принципе выражен через комис. неиты тензора Ьгл относительно главных осей инерции моле. кулы й, Ч, ь; поскольку эти оси неподвижно 'связаны с молекулой, то компоненты Ьгн ... являются не затрагиваемой усреднением характеристикой молекулы. Для этого рассмотрим скаляр Ьга,/ьгь. Вычисление с помощью (122,4) дает ЬгаУД=ЬЗ(.)+Ц ЯУ(,)+Ц вЂ” 1~ (122,6) (вычисление аналогично произведенному в задаче к 5 29).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
