Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 123
Текст из файла (страница 123)
Поле У = У (р), р =. р хз+ з'. Поток частиц в направлении оси з. Р еще н н е. В двумерном случае волновая функция вдали от рассенвателя представляет собой суперпознцню плоской н расходящейся цилиндрической волн: егер ф=е з+1(~р) Здесь ~р — угол между осью г н направлением рассеянна, 1(ф) — амплитуда рассеянна, имеющая в двумерном случае размерность корня нз длины.
Множитель — ! = ехр ( — (и/2) под корнем введен для упрощенна последующих формул. Сечение рассеянна, отнесенное к единице длины вдоль осн у, равно до — )1!з д<р, Оно имеет размерность длины. Волновую функцию нужно разложить по функциям с определенной проекцией гл углового момента на ось у, амеющнм вид()щ(р) заме.
Радиальные функции иа больших расстояниях ог рассенвателя отлйчзются от полученных в за-' даче к 4 34 функций свободного движения только фановым сдвигом з/ 2, Г и ()„(р) = (~ ~~/ — зм ~)лр — — (гл — Кй) + 6„~, причем 6„, = 6 . Повторяя рассуждения настоящего параграфа с использованием разложения плоской волны нз задачи к 6 34, находим, что функция с аснмптотнческнм видом (!) дается рядом ю ггле Е ' "'Ь (р)а в амплитуда рассеянна равна (2) (гл, хуп ипгггив столкновения Интегрируя, находим полное сечение ея 00 4 о — ~ (Петр= ~ о„„где о„,=о — в(паб . о ПФ= — О Нетрудно убедиться в справедливости соотношения ч/ (тп1(о) = )г з, и, (3) выражающего собой оптическую теорему для двумерного случая (см.
ниже формулу ((25,9)), й 124. Исследование общей формулы Полученные формулы применимы в принципе к рассеянию в любом поле У (г), обращающемся на бесконечности в нуль. Исследование этих формул сводится к исследованию свойств входящих в них фаз 6,. Для оценки порядка величины фаз 6, с большими значениями 1 воспользуемся тем, что при больших 1 движение квазиклассично (см. 2 49). Поэтому фаза волновой функции определяется ин. чегралом -~/, (! + )(2)' 2т() (г) и и— Ве 4 гв где г, есть корень подкоренного выражения (г > г, есть класси. чески доступная область движения).
Вычтя отсюда фазу л — с(г +— Уг „х (! + !!2)е , и г~ волновой функции свободного движения и положив гь. оо, мы получим, по определению, величину бь При больших 1 значение ге тоже велико; поэтому во всей области интегрирования У (г) мало, и мы получаем приближенно !' ич (124,1) ) „е ч'; /2) гт г, По порядку величины этот интеграл (если он сходится) равен ~() (ге) е (124,2) йзх Порядок величины г, есть ге 1/А.
Если У (г) обращается на бесконечности в нуль, как с а > 1, то интеграл (124,1) сходится и фазы 6! конечны. На. $ иа1 ИССЛЕДОВАНИЯ ОБШЕЙ ФОРМУЛЫ 591 против, при л (1 интеграл расходится, так что фазы 6, оказы. ваются бесконечными. Это относится к произвольным 1, так каи сходимость или расходимость интеграла (124,1) зависит от поведения (/ (г) при больших г, а на больших расстояниях (где поле (/ (г) уже слабо) радиальное движение квазиклассично при любом 1.
Как надо понимать формулы (123,11) — (123,12) при бесконечных б„будет указано ниже. Рассмотрим сначала сходимость ряда (123,12), представляю. щего полное сечение рассеяния, При больших 1 фазы 6! с< 1, кйк это видно из (124,1), если учесть, что (/ (г) спадает быстрее, чем 1/г. Поэтому можно положить з)пя 6! ж 6), и, таким образом, сумма далеких членов ряда (123,12) будет порядка ~~ 161. Ю- гв! гласно известному интегральному признаку сходимости ряДов заключаем, что рассматриваемый ряд сходится> Если сходятся интеграл) 16) г(1. Подставив сюда (124,2) и заменив 1 на Ье, получим интеграл ~ 1/' (ге) го с(го Если (/ (г) спадает на бесконечности, как г-и с л > 2, этот интеграл сходится, и полное сечение конечно. Напротив, если поле (/ (г) убывает, как 1/гн, или еще медленнее, то полное сечение оказывается бесконечным.
Физически это связано с тем, что при медленном убывании поля с расстоянием вероятность рассеяния на малые углы становится очень большой. Напомним в этой связи, что в классической механике во всяком поле, обращаю. щемся в нуль только при г-н оо, частица, проходящая на любом сколь угодно большом, но конечном, прицельном расстоянии р, все же испытывает отклонение на некоторый малый, но отличный от нуля угол; поэтому полное сечение рассеяния оказывается бесконечным при всяком законе спадания (/ (г) '). В квантовой механике такое рассуждение неприменимо уже потому, что говорить о рассеянии на некоторый угол можно лишь при условии, чтобы этот угол был велик по сравнению с неопределенностью в направлении движения частицы. Если же прицельное расстон.
ние известно с точностью до Лр, то тем самым создается неопре. деленность Й/Лр в поперечной компоненте импульса, т. е. неопределенность Й/тпрр в угле. Ввиду большой роли, которую играет рассеяние на малые углы при медленном законе убывания (/ (г), естественно возни. кает вопрос — не будет ли расходиться амплитуда рассеяния / (6) !) Это проявляется в расходимости интеграла ) 2пр пр, которым определяется в классической механике полное сечение. 1гл, хщх упРуГие столкновения 592 при 0 = О даже при У (г), убывающем быстрее чем 1/гз. Поло.
жив в (123,11) 0 = О„получаем для далеких членов суммы выражение, пропорциональное ~ 16г. Рассуждая как в предыдущем гп 1 случае, приходим при отыскании критерия конечности суммы к интегралу и (г.) го (г„ расходящемуся уже при (г' (г) со г —" (и ( 3). Таким образом амплитуда рассеяния обращается в бесконечность при 0 = О в по. лях, спадающих как 1/гл или медленнее. Наконец, остановимся на случае, когда сама фаза 6~ беско. нечна, что имеет место при (1 (г) сог -" (и ( 1).
Заранее очевидно из полученных выше результатов, что при таком медленном убывании поля будет бесконечным как полное сечение, так и амплитуда рассеяния при 0 = О. Остается, однако, вопрос о вычислении 1 (8) для 8 чь О, Прежде всего заметим, что имеет место формула ') ~~ (21+!) Рг (соз 8) ~ 46 (1 — соз 8). (124,3) г=а Другими словами, при всех 0 ~ О эта сумма равна нулю. По. этому в выражении (123,11) для амплитуды рассеяния можно при 0 ~ О опустить единицу в квадратных скобках в каждом члене суммы, так что останется ° О 1(0) = —,. ~(21+1)Р,(соз8)е" П (124,4) Если умножить правую сторону равенства на постоянный мно.
житель ехр ( — 2гб,), то это не скажется на сечении, определяемом квадратом модуля )1(0) )з, а фаза комплексной функции 1 (О) изменится лишь на несущественную постоянную. С другой сто. роны, в разности 6, — 6, выражений (124,1) расходящийся инте. грал от 11 (г) сокращается и остается некоторая конечная величина. Таким образом, для вычисления амплитуды рассеяния в рао. сматриваемом случаЕ можно пользоваться формулой (й 1(8) = —,. ~ (21+ !)Р,(соз8)е~г(~( з) 2ГГг, ') Эта формула представляет собой разложение 6-функции по полиномам Лежандра и непосредственно проверяется умножением с обеих сторон на з!п О Рг (соз О) и интегрированием по г)О.
При этом интеграл ) б (х) пх от чет. о ной функции б (х) принимается равным Г/2, головин ннитднности для рассеяния 593 $!аб! й 125. Условие унитарности длн рассеяния Амплитуда рассеяния в произвольном (ие обязательно центральном) поле удовлетворяет определенным соотношениям, являющимся следствием некоторых общих физических требований Асимптотический вид волновой функции на больших расстоя. ниах при упругом рассеянии в произвольном поле фине' "' + — 1(п, п')н' 1 (125,1) Эта форма записи отличается от (123,3) в том отношении, что амплитуда рассеяния зависит здесь от направлений двух единичных векторов — вдоль направления падения частиц (п) и вдоль направления 'рассеяния (п), а ие только от угла между ними.
Любая линейная комбинация функций вида (125,1) с различ. ными направлениями падения п тоже представляет некоторый возможный процесс рассеяния. Умножив функции (125,1) иа произвольные коэффициенты Р (п) и проинтегрировав по всем направлениям и (элемент телесного угла с(о), напишем такую линейную комбинацию в виде интеграла ) Р(п)л "" г(о+ —,~Р(п)~(п, и')г(о.
(125,2) Перепишем это выражение в компактном операторном виде, опустив общий множитель 2п(/й: е есзг— Р ( — п') — — ', Зг (п'), где 3 = 1+ 2(йу, (125,4) М для вычисления интеграла смещаем путь интегрированна по переменной р соз О (Π— угол между п и п') в плоскости комплексного р тая, чтобы он выгибался в егорову верхней полуплоскостн, оставаясь закрепленным нв своих концах р = ~ц Тогда при удалении от каждого нз зтнх концов функция е а™ быстро затухает, Поскольку расстояние г сколь угодно велико, множитель ехр ((йгпп') в первом интеграле является быстро осциллирующей функцией направления переменного вектора п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
