Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 122
Текст из файла (страница 122)
С другой стороны, раскрывая тензорное произведение в осях й, т), ь, получим Ь') ) =Ьйэ)йа+Ь У'+ЬйД. (122,6) Здесь учтено, что средние значения произведений 11Хп ... равны нулю '). Средние значения квадратов Л, ... вычисляются в принципе по волновым функциям соответствующих вращательных состояний волчка. В частности, для симметричного волчка имеем просто гйа Ьа 2 ( ( + Если спины ядер равны 1!2, квадрупольное взаимодействие отсутствует.
Одним из основных источников сверхтоикого расщепления в этом случае является прямое магнитное взаимодействие ядерных магнитных моментов друг с другом. Оператор ') Действительно, в представлении, в котором матрица одной из компонент а (скажем ус) диагональна, агатрипы произведений хйхй, хчзс содержат алементы лишь с изменением квантового чгсла й на 1; волновые же функции стационарных состояний асимметричного волчка содержат функции ф „со значениями й, отличающимися иа четное число (см. 4 103), ствуктуРА атомного ялга ~гл. хи взаимодействия двух магнитных моментов и, = р,,1,йм р, = = )з,!,й, дается формулой ~."~*, [1,1, — 3(1,п)(1,п)).
Для вычисления энергии расщепления он должен быть подвергнут усреднению по состоянию молекулы, подобному описанному выше. При наличии в молекуле тяжелых атомов сравнимый вклад в сверхтонкое расщепление вносит, наряду с прямым, также и непрямое взаимодействие ядерных моментов через посредство электронной оболочки. С формальной точки зрения это взаимодействие представляет собой эффект второго приближения теории возмущений по отношению к взаимодействию ядерного спина с электронами. С помощью результатов 5 121 легко найти, что отношение величины этого эффекта к эффекту прямого взаимо'действия ядерных моментов порядка (Хе'/йс); при больших Я оно сравнимо с единицей.
Наконец, определенный вклад в сверхтонкое расщепление молекулярных уровней дает эффект взаимодействия ядерного момента с вращением молекулы. Вращающаяся молекула, как движущаяся система зарядов, создает определенное магнитное поле; это поле может быть вычислено с помощью известных из электродинамики формул по заданной плотности тока ) = р )йг), где р — плотность зарядов (электронов и ядер) в неподвижной молекуле, а Я вЂ” угловая скорость ее вращения, Величина расщепления уровней получается как энергия магнитного момента ядра в этом поле, причем компоненты угловой скорости молекулы должны быть выражены через компоненты ее момента (ср. $ 103). ГЛАВА ХЧИ УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ $123.
Общая теория рассеяния В классической механике столкновения двух частиц полностью определяются их скоростями и прицельным расстоянием (расстоянием, на котором оии прошли бы друг мимо друга при отсутствии взаимодействия). В квантовой механике меняется сама постановка вопроса, так как при движении с определенными скоростями понятие траектории, а с иею и прицельного расстояния теряет смысл. Целью теории является здесь лишь вычисление вероятности того, что в результате столкновения частицы отклонятся (или, как говорят, расселзлил) на тот или иной угол. )т(ы говорим здесь о так называемых уп)тугах столкновениях, при которых не происходит никаких превращений частиц или (если это частицы сложные) не меняется их внутреннее состояние. Задача об упругом столкновении, как и всякая задача двух тел, сводится к задаче о рассеянии одной частицы с приведенной массой в поле (7 (г) неподвижного силового центра ').
Сведение осуществляется переходом к системе координат, в которой покоится центр инерции обеих частиц. Угол рассеяния в этой системе обозначим посредством О. Он связан простыми формулами с углами О, и О, отклонения обеих частиц в <лабораторной» системе координат, в которой одна из частиц (вторая) до столкновения покоилась: где лть лтя — массы частиц (см, 1, 3 17), В частности, если массы обеих частиц одинаковы (лт, = тз), то получается просто (123,2) сумма 6, + д, = и!2, т. е. частицы разлетаются под прямым углом.
') Мы пренебрегаем спин-орбитальным азаимодейстанел~ частиц (если оин обладают спнном). Предполагая поле центрально-симметричным, мы тем самьм исключаем здесь нз рассмотрения также и такие процессы, как, например, рас. сеяние электронов на молекулах. УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ (гл. хуп (123,3) Вероятность рассеянной частице пройти в единицу времени через элемент поверхности Ы = г' Фо (до — элемент телесного угла) равна ог а ~ ( )в с(5 = о ! ( )а с(о ').
Ее отношение к плотности патока в падающей волне равно сЬ = )((0) )а((о. () 23,4) Зта величина имеет размерность площади и называется э((нреюиивныле сечением (или просто сечением) рассеяния внутри телесного угла с(о. Если положить до = 2п з)п О с(0, то мы получим сечение Ио = 2п з)п О ) ( (0) )з 40 (123,5) для рассеяния в интервале углов между 0 и 9 + с(0. Решение уравнения Шредингера, описывающее рассеяние в центральном поле У (г), должно, очевидно, быть аксиальносимметричным относительно оси г — направления падающих частиц.
Всякое такое решение может быть представлено в виде суперпозицни волновых функций непрерывного спектра, отвечающих движению В данном поле частиц с заданной энергией йая"г2гл и орбитальными моментами с различными величинами 1 и равными нулю г-проекциями (эти функции не зависят от ази- >) 0 этом рассуждении молчаливо подразумевается, что падавший пучок частиц ограничен широкой (во избежание дифракционных эффектов), но конечной диафрагмой, как это н имеет место в реальных экспериментах по рассеяникь По втой причине нет интерференции между обоими членами в выражении (!хЗ,З); квадрат )ф 1' берется в точках, в которых отсутствует падающая волна. Ниже в этой главе мы пользуемся везде (где противное не оговорено особо) системой координат, связанной с центром инерции, а под и подразумевается приведенная масса сталкивающихся частиц.
Свободная частица, движущаяся в положительном направлении оси г, описывается плоской волной, которую мы напишем в виде ф = е'"*,,т. е. выберем нормировку, при которой плотность потока в волне равна скорости частиц о. Рассеянные частицы описываются вдали от центра расходящейся сферической волной вида ~ (О) ага'/г, где 7 (О) — некоторая функция угла рассеяния О (угол между осью г и направлением рассеянной частицы); эту функцию называют алгллитудой рассеянии.
Таким образом, точная волновая функция, являющаяся решением уравнения Шредингера с потенциальной энергией (/ (г), должна иметь на больших расстояниях асимптотический вид агав + ееь' У (О) г ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ В !в31 мутального угла 1р вокруг оси з, т. е. аксиально-симметричны).
Таким образом, искомая волновая функция имеет форму ф = ~ А,Р, (сов О) ЙА1 (г), (123,6) 1=0 где А, — постоянные, а )тА1(г) — радиальные функции, удовле. твсряющие уравнению — — (~ еы ) + ~й —, — ле-У(г)~ Есве ~ О. (123,7) Коэффициенты А, должны быть выбраны так, чтобы функция (123,6) имела на больших расстояниях асимптотический Внд (123,3). Покажем, что для этого надо положить А1 = — (21 + 1) Р ехр (Е61)* (123,8) где 6, — фазовые сдвиги функций Ес„1. Тем самым будет решена также и задача о выражении амплитуды рассеяния через эти фазы. Асимптотический вид функции Ехв1 дается формулой (33,20) 2 1 Ея ЕхА1 ж — БЕп ~йг — — + 61) = 2 = — (( — Е)1 ехр (1(йг+ 61)) — Е1 ехр ( — Е(Ь.
+ 61))). Подставив зто выражение, а также (123,8) в (123,6), получим асимптотическое выражение волновой функции в виде ф ж —. ~), (2Е+ 1) Р1 (сов О) (( — 1)'+' в — 1«'+ 81е1А'), (123,9) 1=0 где введено обозначение 81 ехр (2161).
С другой стороны, разложение плоской волны (34,2), после такого же преобразования, есть ОР е'ы ж —. ~ (21 + 1) Р, (сов О) [( — 1)1 Р1 е — " '+ е1А'1. Мы видим, что в разности Ф вЂ” е1ы все члены, содержащие множители е — 1А', как и следовало, выпадают. Для коэффициента же при е1"Ег в втой разности, т. е. для амплитуды рассеяния, находим СО е (О) = —,. «(21+ 1)(51 — 1) Р1(сов О). (123,11) 1 О УПРУГИВ СТОЛКНОВВНИЯ (гл. хуп Эта формула решает задачу о выражении амплитуды рассеяния через фазы б, (О.
Радел,,г'. Оо1)атаги, 1927) '). Проинтегрировав ь(о по всем углам, мы получим полное сечение рассеяния о, представляющее собой отношение полной вероятности рассеяния частицы (в единицу времени) к плотности потока в падающей волне. Подставляя (123,11) в интеграл о = 2п ~ (~(0) !зз1п Ос(0 о и помня, что полиномы Лежандра с различными 1 взаимно ортогональны, а Р)(соз0) зрайсВ = —,, » о получим следующее выражение для полного сечения) 0» о= —," ~Р„(21+1)з)избы (123,12) ь а Каждый из членов этой суммы представляет собой гьарг(иаль.
нос сечение о, для рассеяния частиц с заданным орбитальным моментом 1. Отметим, что максимальное возможное значение этого сечения есть (123,13) о, юьз = —,(21+ 1). Сравнив его с формулой (34,5), видим, что число частиц, рассеянных с моментом 1, может оказаться в 4 раза большим числа таких частиц в падающем потоке. Это обстоятельство является чисто квантовым эффектом, связанным с интерференцией между. рассеянными и нерассеянными частицами.
») Принципиальный интерес представляет вопрос о восстановлении вида рассеивающего потенциала по предполагаемым известным фазам бь Этот вопрос решен И. М. Гельфандом, Б. М. Лазышаном и В. А. Марченко. Оказывается, что дзя определенна (»' (г) достаточно в принципе знать бь (й) как функцию волнового вектора во всей области от й О да й = оо, э также коэффициенты а„ в асимптотнческих (прв г - оо) выражениях )Зо»юа„е и Б (но Уйт!Ео!/Д) волновых функций состояний, соответствующих дискретным (отрицательным) уровням энергии Е„, если таковые вообще имеются.
Определение )У (г) по этим данным сводится к решению определенного лннейнога интегрального уравнения. Систематическое изложение этого вопроса можно найти в кинге: В. де Аль4юро, Т. Радже, Потенциальное рассеяние, »Мнр», 1966. ОБщАя ТБОРия РАссеяния 689 й ыз) Ниже нам будет удобно пользоваться также парциальныма амплитудами рассеяния ~п которые мы определим как коэффициенты разложения ~ (6) = ~; (21 + 1) ~, Р, (соз 6). (123,14) г=о Согласно (123,!1) они связаны с фазами б, посредством ~, = 2.6 (Я, — 1) = 2.6 (е ' г — 1)~ (!23,15) а парциальные сечения а, = 4п (21+ 1) ) ~, )з. (!23,16) Задача Выразить амплитуду рассеянна через фазовые сдвиги в двумерном случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
